ม.4 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~24 นาที

จำนวนจริง

จัดระเบียบระบบจำนวนให้ครบ แล้วต่อด้วยเครื่องมือสองอย่างที่ใช้ตลอด ม.ปลาย — ค่าสัมบูรณ์ และ การแก้อสมการด้วยเส้นจำนวน

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · โครงสร้างจำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์ และอสมการ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกโครงสร้างของระบบจำนวนจริงและจำแนกจำนวนได้
✓แก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้
✓เขียนคำตอบในรูปช่วงได้
✓แก้อสมการพหุนามด้วยวิธีเส้นจำนวนได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ค่าสัมบูรณ์absolute value

ระยะห่างจากศูนย์ — ไม่ติดลบเสมอ

ช่วงinterval

เซตของจำนวนจริงที่ต่อเนื่องกัน เขียนด้วยวงเล็บ

5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

•จำนวนจริง $R$ = ตรรกยะ $\cup$ อตรรกยะ
•ตรรกยะ $Q$ = เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ ได้ → รวมจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบและซ้ำ
•จำนวนเต็ม $Z$ = $\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$
•จำนวนนับ $N$ = $1, 2, 3, \dots$
•อตรรกยะ = $2, π, e$ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

ความสัมพันธ์
$N \subset Z \subset Q \subset R$

การซ้อนกันของเซตจำนวน

📎น่ารู้

จำนวนอตรรกยะ ไม่เป็น สับเซตของตรรกยะ — ทั้งสองแยกกันเด็ดขาด (อินเตอร์เซกชันเป็นเซตว่าง) แต่รวมกันได้จำนวนจริงพอดี

5.2 ค่าสัมบูรณ์

นิยาม

∣ a ∣ = {a - a เมื่อ a \geq 0 เมื่อ a < 0

•ความหมายเชิงภาพ: ระยะจาก $0$ บนเส้นจำนวน จึงไม่ติดลบเสมอ
• $∣ a - b ∣$ = ระยะระหว่าง $a$ กับ $b$ — ตีความแบบนี้ทำให้โจทย์หลายข้อง่ายลงมาก
• $∣ a ∣ \geq 0$ · $∣ a ∣ = ∣ - a ∣$ · $∣ ab ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣$
• $a^{2} = ∣ a ∣$ ไม่ใช่ $a$ (สำคัญมาก)

⚠️ระวัง

$- a$ ไม่ได้แปลว่าค่าติดลบ — ถ้า $a = - 5$ แล้ว $- a = 5$ ซึ่งเป็นบวก · นิยามค่าสัมบูรณ์จึงถูกต้อง

5.3 สมการค่าสัมบูรณ์

รูปพื้นฐาน

∣ x ∣ = k ⟺ x = k หรือ x = - k (k \geq 0)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $∣2 x - 3∣ = 7$

ขั้นที่ 1แตกเป็นสองกรณี
ขั้นที่ 2กรณี $1$ : $2 x - 3 = 7 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$
ขั้นที่ 3กรณี $2$ : $2 x - 3 = - 7 \Rightarrow 2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2$
ขั้นที่ 4ตรวจทั้งคู่: $∣2 (5) - 3∣ = 7$ ✓ · $∣2 (- 2) - 3∣ = ∣ - 7∣ = 7$ ✓

ตอบ $x = 5$ หรือ $x = - 2$

⚠️ระวัง

ถ้า $k < 0$ เช่น $∣ x ∣ = - 3$ → ไม่มีคำตอบ เพราะค่าสัมบูรณ์ติดลบไม่ได้ · เจอแบบนี้ตอบได้ทันทีไม่ต้องแตะกรณี

5.4 อสมการค่าสัมบูรณ์

รูปแบบ	แปลว่า	คำตอบ
$∣ x ∣ < k$	อยู่ห่างจาก $0$ น้อยกว่า $k$	$- k < x < k$ (ช่วงตรงกลาง)
$∣ x ∣ > k$	อยู่ห่างจาก $0$ มากกว่า $k$	$x < - k$ หรือ $x > k$ (สองข้าง)

สองรูปแบบที่ต้องแยกให้ออก

💡จำด้วยภาพ ไม่ต้องท่อง

$<$ คือ “ใกล้ศูนย์” → ได้ช่วงเดียวตรงกลาง (เหมือนถูกบีบ) · $>$ คือ “ไกลศูนย์” → ได้สองช่วงแยกกันคนละฝั่ง

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $∣ x - 4∣ \leq 3$

ขั้นที่ 1รูป $\leq$ → ช่วงตรงกลาง
ขั้นที่ 2 $- 3 \leq x - 4 \leq 3$
ขั้นที่ 3บวก $4$ ทุกส่วน: $1 \leq x \leq 7$

ตอบ $1 \leq x \leq 7$ หรือช่วง $[1, 7]$

💡 ตีความ: “ $x$ ห่างจาก $4$ ไม่เกิน $3$ ” — ก็คือตั้งแต่ $1$ ถึง $7$ พอดี คิดในหัวได้เลยโดยไม่ต้องแก้

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $∣2 x + 1∣ > 5$

ขั้นที่ 1รูป $>$ → สองข้าง
ขั้นที่ 2 $2 x + 1 > 5$ หรือ $2 x + 1 < - 5$
ขั้นที่ 3 $2 x > 4 \Rightarrow x > 2$ · หรือ $2 x < - 6 \Rightarrow x < - 3$

ตอบ $x < - 3$ หรือ $x > 2$

5.5 การเขียนช่วง

อสมการ	ช่วง	วงเล็บ
$a < x < b$	$(a, b)$	เปิดทั้งสองข้าง (ไม่รวมปลาย)
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$	ปิดทั้งสองข้าง (รวมปลาย)
$a \leq x < b$	$[a, b)$	ปิดซ้าย เปิดขวา
$x > a$	$(a, \infty)$	อนันต์ใช้วงเล็บเปิดเสมอ
$x \leq b$	$(- \infty, b]$	—

⚠️ระวัง

$\infty$ ไม่ใช่จำนวน จึงรวมเข้าไปในช่วงไม่ได้ — ต้องใช้วงเล็บเปิด $($ หรือ $)$ เสมอ เขียน $[3, \infty]$ ถือว่าผิด

5.6 อสมการพหุนาม — วิธีเส้นจำนวน

วิธีที่ใช้ได้กับพหุนามทุกดีกรี

1ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว ให้อีกข้างเป็น $0$
2แยกตัวประกอบให้หมด
3หา จุดวิกฤต (ค่าที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์) แล้วเรียงบนเส้นจำนวน
4แบ่งเส้นจำนวนเป็นช่วง แล้วทดสอบเครื่องหมายทีละช่วงด้วยการแทนค่าสักตัว
5เลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายที่โจทย์ต้องการ

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $x^{2} - x - 6 > 0$

ขั้นที่ 1แยกตัวประกอบ: $(x - 3) (x + 2) > 0$
ขั้นที่ 2จุดวิกฤต: $x = 3$ และ $x = - 2$
ขั้นที่ 3แบ่งเป็น $3$ ช่วง: $x < - 2$ · $- 2 < x < 3$ · $x > 3$
ขั้นที่ 4ทดสอบ $x = - 3$ : $(- 6) (- 1) = 6 > 0$ ✓
ขั้นที่ 5ทดสอบ $x = 0$ : $(- 3) (2) = - 6 < 0$ ✗
ขั้นที่ 6ทดสอบ $x = 4$ : $(1) (6) = 6 > 0$ ✓

ตอบ $x < - 2$ หรือ $x > 3$ · หรือช่วง $(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

💡 เครื่องหมายจะ สลับกันไปมา ทีละช่วง (เมื่อไม่มีรากซ้ำ) — ทดสอบช่วงเดียวแล้วสลับเอาก็ได้ ประหยัดเวลา

⚠️ห้ามคูณไขว้ในอสมการที่มีตัวแปรเป็นตัวส่วน

$\frac{1}{x} > 2$ คูณไขว้ตรงๆ ไม่ได้ เพราะไม่รู้ว่า $x$ เป็นบวกหรือลบ (ถ้าลบต้องกลับเครื่องหมาย) — ต้องย้ายมาข้างเดียวแล้วใช้วิธีเส้นจำนวนแทน

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ค่าสัมบูรณ์

$∣ a ∣ = {a - a a \geq 0 a < 0$

รากของกำลังสอง

$a^{2} = ∣ a ∣$

สมการ

$∣ x ∣ = k ⟺ x = \pm k$

อสมการ (ใกล้)

$∣ x ∣ < k ⟺ - k < x < k$

อสมการ (ไกล)

$∣ x ∣ > k ⟺ x < - k หรือ x > k$

ระยะระหว่างจุด

$∣ a - b ∣$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗แก้ $∣ x ∣ = k$ โดยลืมกรณี $- k$
✗สับสน $∣ x ∣ < k$ กับ $∣ x ∣ > k$ (ช่วงเดียว vs สองช่วง)
✗เขียน $a^{2} = a$ แทนที่จะเป็น $∣ a ∣$
✗คูณไขว้ในอสมการที่มีตัวแปรเป็นตัวส่วน
✗ใส่วงเล็บปิดกับ $\infty$

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1แก้

∣ x + 2∣ = 6

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 4$ หรือ $x = - 8$

ข้อ 2แก้

∣ x ∣ < 3

เขียนเป็นช่วง(กดดูเฉลย)

ตอบ $(- 3, 3)$

ข้อ 3แก้

∣ x - 1∣ \geq 4

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x \leq - 3$ หรือ $x \geq 5$

ข้อ 4แก้

x^{2} - 4 < 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $- 2 < x < 2$

ข้อ 5

(- 7)^{2}

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $7$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ จำนวนจริง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด