ม.4 · บทที่ 2🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~24 นาที

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์คือการทำให้คำว่า “จริง/เท็จ” คำนวณได้ — เปลี่ยนประโยคภาษาคนเป็นสัญลักษณ์ แล้วตรวจด้วยตารางค่าความจริง ไม่ต้องเถียงกันด้วยความรู้สึก

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ประพจน์ ตัวเชื่อม ค่าความจริง และการให้เหตุผล (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกได้ว่าข้อความใดเป็นประพจน์
✓หาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมได้
✓สร้างตารางค่าความจริงและตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้
✓หาข้อความกลับ ข้อความแย้งสลับที่ และนิเสธได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ประพจน์proposition

ข้อความที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

นิเสธnegation

การกลับค่าความจริง เขียน $\sim p$

สัจนิรันดร์tautology

ประพจน์ที่เป็นจริงทุกกรณี

สมมูลequivalent

ประพจน์สองอันที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี

2.1 อะไรเป็นประพจน์

ข้อความ	เป็นประพจน์ไหม	เหตุผล
$2 + 3 = 5$	ใช่ (จริง)	ตัดสินได้
กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของญี่ปุ่น	ใช่ (เท็จ)	ตัดสินได้
ปิดประตูด้วย	ไม่ใช่	เป็นคำสั่ง
วันนี้อากาศดีจัง	ไม่ใช่	เป็นความรู้สึก แล้วแต่คน
$x + 1 = 5$	ไม่ใช่	ยังไม่รู้ $x$ จึงตัดสินไม่ได้

🔑สาระสำคัญ

เกณฑ์เดียว: ตัดสินได้ไหมว่าจริงหรือเท็จ — คำถาม คำสั่ง คำอุทาน และความคิดเห็น ไม่ใช่ประพจน์

2.2 ตัวเชื่อมและตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$p \land q$ (และ)	$p \lor q$ (หรือ)	$p \to q$ (ถ้า…แล้ว)	$p \leftrightarrow q$ (ก็ต่อเมื่อ)
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	T	F
F	F	F	F	T	T

T = จริง · F = เท็จ

•และ ( $\land$ ) จริงกรณีเดียว — เมื่อจริงทั้งคู่
•หรือ ( $\lor$ ) เท็จกรณีเดียว — เมื่อเท็จทั้งคู่ (เป็น “หรือ” แบบรวม คือจริงทั้งคู่ก็ยังจริง)
•ถ้า…แล้ว ( $\to$ ) เท็จกรณีเดียว — เมื่อ หน้าจริง แต่หลังเท็จ
•ก็ต่อเมื่อ ( $\leftrightarrow$ ) จริงเมื่อค่าความจริง เหมือนกัน
•นิเสธ ( $\sim$ ) กลับค่า: $\sim$ T $=$ F

⚠️จุดที่คนงงที่สุด — “ถ้าหน้าเท็จ แล้วทั้งประโยคจริง”

“ถ้าฉันเป็นนก แล้วฉันจะบินได้” — ในเมื่อฉันไม่ได้เป็นนก ไม่มีใครจับผิดคำสัญญานี้ได้ ประโยคจึงถือว่า จริง · $p \to q$ จะเท็จก็ต่อเมื่อ สัญญาแล้วไม่ทำ เท่านั้น (หน้าจริงแต่หลังเท็จ)

2.3 การสร้างตารางค่าความจริง

1นับจำนวนประพจน์ย่อย $n$ ตัว → ตารางมี $2^{n}$ แถว
2ไล่ค่าความจริงให้ครบทุกกรณีอย่างเป็นระบบ (คอลัมน์แรกครึ่งบน T ครึ่งล่าง F)
3คำนวณจากวงเล็บในสุดออกมา ทีละคอลัมน์
4ดูคอลัมน์สุดท้ายเพื่อสรุป

✏️ตัวอย่าง

ตรวจว่า $(p \to q) \lor p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ขั้นที่ 1 $p =$ T, $q =$ T: $p \to q =$ T → $T \lor T =$ T
ขั้นที่ 2 $p =$ T, $q =$ F: $p \to q =$ F → $F \lor T =$ T
ขั้นที่ 3 $p =$ F, $q =$ T: $p \to q =$ T → $T \lor F =$ T
ขั้นที่ 4 $p =$ F, $q =$ F: $p \to q =$ T → $T \lor F =$ T
ขั้นที่ 5จริงทั้ง $4$ กรณี

ตอบ เป็นสัจนิรันดร์

💡ทางลัดตรวจสัจนิรันดร์ของ $p \to q$

สมมติให้ทั้งประพจน์ เป็นเท็จ (คือหน้าจริง หลังเท็จ) แล้วไล่ย้อนกลับ — ถ้าเจอข้อขัดแย้ง แปลว่าเป็นเท็จไม่ได้ → เป็นสัจนิรันดร์ · เร็วกว่าทำตารางเต็มมากเมื่อมีประพจน์ย่อยหลายตัว

2.4 การสมมูลที่ต้องจำ

ประพจน์	สมมูลกับ
$p \to q$	$\sim p \lor q$
$\sim (p \to q)$	$p \land \sim q$
$\sim (p \land q)$	$\sim p \lor \sim q$
$\sim (p \lor q)$	$\sim p \land \sim q$
$p \leftrightarrow q$	$(p \to q) \land (q \to p)$

รูปสมมูลที่ออกสอบบ่อยที่สุด

🔑สาระสำคัญ

สองบรรทัดกลางคือ กฎเดอมอร์แกน ตัวเดียวกับในบทเซต — $\land$ คู่กับ $\cap$ และ $\lor$ คู่กับ $\cup$ · เรียนบทเซตมาแล้วบทนี้จึงคุ้นมือทันที

✏️ตัวอย่าง

หานิเสธของ “ถ้าฝนตก แล้วถนนเปียก”

ขั้นที่ 1ให้ $p =$ ฝนตก, $q =$ ถนนเปียก → ประโยคคือ $p \to q$
ขั้นที่ 2 $\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$
ขั้นที่ 3แปลกลับ: ฝนตก และ ถนนไม่เปียก

ตอบ “ฝนตก และ ถนนไม่เปียก”

💡 นิเสธของ “ถ้า…แล้ว…” ไม่ใช่ “ถ้า…แล้วไม่…” — เป็นจุดที่ผิดกันมากที่สุดทั้งบท

2.5 ข้อความกลับ แย้งสลับที่ และนิเสธ

ชื่อ	รูปแบบ	สมมูลกับเดิมไหม
เดิม	$p \to q$	—
ข้อความกลับ	$q \to p$	ไม่สมมูล
ข้อความแย้ง	$\sim p \to\sim q$	ไม่สมมูล
แย้งสลับที่	$\sim q \to\sim p$	สมมูล ✓

จากประโยคเดิม $p \to q$

✏️ตัวอย่าง

จาก “ถ้าเป็นสุนัข แล้วเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม” จงเขียนข้อความกลับและแย้งสลับที่ พร้อมบอกว่าจริงไหม

ขั้นที่ 1ข้อความกลับ: “ถ้าเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม แล้วเป็นสุนัข” → เท็จ (แมวก็เลี้ยงลูกด้วยนม)
ขั้นที่ 2แย้งสลับที่: “ถ้าไม่เป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม แล้วไม่เป็นสุนัข” → จริง

ตอบ ข้อความกลับเท็จ · แย้งสลับที่จริง (สมมูลกับต้นฉบับเสมอ)

💡 แย้งสลับที่สมมูลกับต้นฉบับ เสมอ — ใช้พิสูจน์ทางอ้อมได้ ถ้าพิสูจน์ตรงๆ ยาก ให้พิสูจน์แย้งสลับที่แทน

2.6 ตัวบ่งปริมาณ

• $\forall x$ อ่านว่า “สำหรับ $x$ ทุกตัว” — จะเป็นจริงต้องจริงหมดทุกตัว
• $\exists x$ อ่านว่า “มี $x$ บางตัว” — จริงแค่มีตัวเดียวก็พอ
•จะแสดงว่า $\forall$ เป็นเท็จ ใช้ ตัวอย่างค้านตัวเดียว
•จะแสดงว่า $\exists$ เป็นจริง ใช้ ตัวอย่างที่ใช้ได้ตัวเดียว

นิเสธของตัวบ่งปริมาณ (สลับกันเสมอ)

\sim \forall x P (x) \equiv \exists x \sim P (x) \sim \exists x P (x) \equiv \forall x \sim P (x)

✏️ตัวอย่าง

หานิเสธของ “นักเรียนทุกคนในห้องนี้สอบผ่าน”

ขั้นที่ 1รูปเดิมคือ $\forall$ → นิเสธกลายเป็น $\exists$ พร้อมกลับข้างใน
ขั้นที่ 2“มีนักเรียนบางคนในห้องนี้ที่สอบไม่ผ่าน”

ตอบ “มีนักเรียนบางคนสอบไม่ผ่าน” (ไม่ใช่ “นักเรียนทุกคนสอบไม่ผ่าน”)

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ถ้า…แล้ว สมมูลกับ

$p \to q \equiv\sim p \lor q$

นิเสธของ ถ้า…แล้ว

$\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$

เดอมอร์แกน

$\sim (p \land q) \equiv\sim p \lor \sim q$

แย้งสลับที่ (สมมูล)

$p \to q \equiv\sim q \to\sim p$

นิเสธตัวบ่งปริมาณ

$\sim \forall x P (x) \equiv \exists x \sim P (x)$

จำนวนแถวของตาราง

$2^{n}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗คิดว่านิเสธของ $p \to q$ คือ $p \to\sim q$ (ที่ถูกคือ $p \land \sim q$ )
✗คิดว่าข้อความกลับสมมูลกับต้นฉบับ
✗งงว่าทำไม $p \to q$ จริงเมื่อ $p$ เป็นเท็จ
✗นิเสธของ “ทุกคน…” เป็น “ทุกคนไม่…” (ที่ถูกคือ “มีบางคนไม่…”)

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

p \to q

เป็นเท็จเมื่อใด(กดดูเฉลย)

ตอบ เมื่อ $p$ จริง และ $q$ เท็จ

ข้อ 2นิเสธของ “ถ้าขยัน แล้วสอบผ่าน”(กดดูเฉลย)

ตอบ “ขยัน และ สอบไม่ผ่าน”

ข้อ 3แย้งสลับที่ของ

p \to q

คือ(กดดูเฉลย)

ตอบ $\sim q \to\sim p$

ข้อ 4ตารางค่าความจริงของ

3

ประพจน์ย่อยมีกี่แถว(กดดูเฉลย)

ตอบ $8$

ข้อ 5นิเสธของ “มีคนบางคนชอบทุเรียน”(กดดูเฉลย)

ตอบ “ทุกคนไม่ชอบทุเรียน”

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ตรรกศาสตร์เบื้องต้น →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด