ม.4 · บทที่ 1🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~24 นาที

เซต

เซตคือภาษาสำหรับพูดถึง “กลุ่มของสิ่งของ” อย่างแม่นยำ — เป็นรากฐานที่ใช้ต่อในความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็น และแทบทุกเรื่องหลังจากนี้

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · เซต การดำเนินการของเซต และการนำไปใช้ (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไขได้
✓หาสับเซตและเพาเวอร์เซตได้
✓หายูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่างของเซตได้
✓ใช้แผนภาพเวนน์และสูตรจำนวนสมาชิกแก้โจทย์ปัญหาได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

เซตset

กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่ระบุได้ชัดเจนว่าอะไรอยู่ในกลุ่มบ้าง

เอกภพสัมพัทธ์universal set

เซตที่กำหนดขอบเขตของเรื่องที่กำลังพูดถึง เขียนแทนด้วย $U$

สับเซตsubset

เซตที่สมาชิกทุกตัวอยู่ในอีกเซตหนึ่ง เขียน $A \subset B$

เพาเวอร์เซตpower set

เซตของสับเซตทั้งหมดของเซตหนึ่ง เขียน $P (A)$

1.1 การเขียนเซต

วิธีเขียน	ตัวอย่าง	ใช้เมื่อ
แจกแจงสมาชิก	$A = {1, 2, 3, 4}$	สมาชิกน้อย นับได้หมด
บอกเงื่อนไข	$A = {x ∣ x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5}$	สมาชิกเยอะหรือเป็นอนันต์

• $a \in A$ อ่านว่า “ $a$ เป็นสมาชิกของ $A$ ” · $a \in / A$ คือไม่เป็นสมาชิก
•ลำดับไม่สำคัญ: ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$
•สมาชิกซ้ำนับครั้งเดียว: ${1, 1, 2} = {1, 2}$
• $n (A)$ = จำนวนสมาชิกของ $A$

⚠️ $\in$ กับ $\subset$ ไม่เหมือนกัน

▸ $\in$ ใช้กับ สมาชิก กับ เซต: $1 \in {1, 2}$ ✓
▸ $\subset$ ใช้กับ เซต กับ เซต: ${1} \subset {1, 2}$ ✓
▸ $1 \subset {1, 2}$ ✗ (ผิด เพราะ $1$ ไม่ใช่เซต)
▸ ${1} \in {1, 2}$ ✗ (ผิด เพราะสมาชิกของ ${1, 2}$ คือ $1$ ไม่ใช่ ${1}$ )

1.2 ชนิดของเซต

•เซตว่าง $\emptyset$ หรือ ${}$ — ไม่มีสมาชิกเลย และ $n (\emptyset) = 0$
•เซตจำกัด — นับจำนวนสมาชิกได้ · เซตอนันต์ — นับไม่หมด เช่น เซตของจำนวนนับ
•เซตเท่ากัน $A = B$ — มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
•เอกภพสัมพัทธ์ $U$ — กรอบของเรื่องที่พูดถึง ต้องกำหนดก่อนจึงจะหาคอมพลีเมนต์ได้

⚠️ระวัง

$\emptyset$ กับ ${\emptyset}$ ไม่เหมือนกัน — ตัวแรกไม่มีสมาชิก ( $n = 0$ ) ส่วนตัวหลังมีสมาชิก $1$ ตัว (คือเซตว่าง) จึง $n = 1$ · เปรียบเหมือนกล่องเปล่า กับ กล่องที่ข้างในมีกล่องเปล่าอยู่

1.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

จำนวนสับเซตของเซตที่มีสมาชิก $n$ ตัว

2^{n}

•เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต — $\emptyset \subset A$ เสมอ
•ทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง — $A \subset A$
•สับเซตแท้ คือสับเซตที่ไม่ใช่ตัวมันเอง มี $2^{n} - 1$ สับเซต
•เพาเวอร์เซต $P (A)$ คือเซตที่เอาสับเซตทั้งหมดมาเป็นสมาชิก จึง $n (P (A)) = 2^{n}$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $A = {a, b, c}$ จงหาเพาเวอร์เซตของ $A$ และจำนวนสมาชิก

ขั้นที่ 1สับเซตขนาด $0$ : $\emptyset$
ขั้นที่ 2ขนาด $1$ : ${a}, {b}, {c}$
ขั้นที่ 3ขนาด $2$ : ${a, b}, {a, c}, {b, c}$
ขั้นที่ 4ขนาด $3$ : ${a, b, c}$
ขั้นที่ 5รวม $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}$ ✓

ตอบ $n (P (A)) = 8$

💡 ไล่เขียนตามขนาดจากเล็กไปใหญ่ จะไม่ตกหล่นและตรวจง่ายด้วย $2^{n}$

1.4 การดำเนินการของเซต

ชื่อ	สัญลักษณ์	ความหมาย
ยูเนียน	$A \cup B$	อยู่ใน $A$ หรือ $B$ (รวมทั้งสอง)
อินเตอร์เซกชัน	$A \cap B$	อยู่ใน $A$ และ $B$ (ส่วนที่ซ้อนกัน)
คอมพลีเมนต์	$A^{'}$	อยู่ใน $U$ แต่ ไม่อยู่ใน $A$
ผลต่าง	$A - B$	อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {1, 2, 3}$ , $B = {3, 4, 5}$ จงหา $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{'}$ , $A - B$

ขั้นที่ 1 $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ (รวมทุกตัว ไม่นับซ้ำ)
ขั้นที่ 2 $A \cap B = {3}$ (ตัวที่มีทั้งสองฝั่ง)
ขั้นที่ 3 $A^{'} = {4, 5, 6}$ (ตัวใน $U$ ที่ไม่อยู่ใน $A$ )
ขั้นที่ 4 $A - B = {1, 2}$ (อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$ )

ตอบ ตามที่แสดงในแต่ละขั้น

กฎเดอมอร์แกน (ออกสอบบ่อย)

(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'} (A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}

💡เคล็ดลับ

จำกฎเดอมอร์แกนเป็นภาษาคน: “ไม่(A หรือ B)” = “ไม่ A และ ไม่ B” — เช่น “ไม่ชอบทั้งชาและกาแฟ” = “ไม่ชอบชา และ ไม่ชอบกาแฟ”

1.5 แผนภาพเวนน์และการนับสมาชิก

สองเซต

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

สามเซต

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)

🔑ทำไมต้องลบ

ถ้าบวก $n (A) + n (B)$ ตรงๆ คนที่อยู่ทั้งสองกลุ่มจะถูกนับ สองครั้ง จึงต้องลบส่วนที่ซ้อนออกหนึ่งครั้ง — หลักการนี้เรียกว่า “รวมแล้วตัด”

✏️ตัวอย่าง

นักเรียน $50$ คน ชอบคณิต $30$ คน ชอบวิทย์ $25$ คน ชอบทั้งสองวิชา $12$ คน จงหาจำนวนคนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชา

ขั้นที่ 1 $n (A \cup B) = 30 + 25 - 12 = 43$ คน (ชอบอย่างน้อยหนึ่งวิชา)
ขั้นที่ 2ไม่ชอบทั้งสอง $= 50 - 43 = 7$

ตอบ $7$ คน

💡 โจทย์แนวนี้ให้วาดเวนน์แล้ว เติมตัวเลขจากส่วนที่ซ้อนกันตรงกลางออกไปข้างนอก จะไม่มีทางนับซ้ำ

✏️ตัวอย่าง

จากข้อบน จงหาจำนวนคนที่ชอบคณิตอย่างเดียว

ขั้นที่ 1ชอบคณิตทั้งหมด $30$ คน ในนั้นชอบทั้งสองวิชา $12$ คน
ขั้นที่ 2ชอบคณิตอย่างเดียว $= 30 - 12 = 18$

ตอบ $18$ คน

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

จำนวนสับเซต

$2^{n}$

เดอมอร์แกน

$(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$

เดอมอร์แกน

$(A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$

นับสองเซต

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

ผลต่าง

$A - B = A \cap B^{'}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗สับสน $\in$ กับ $\subset$
✗คิดว่า $\emptyset$ กับ ${\emptyset}$ เหมือนกัน
✗บวก $n (A) + n (B)$ โดยลืมลบส่วนที่ซ้อนกัน
✗หา $A^{'}$ โดยไม่ดูว่าเอกภพสัมพัทธ์คืออะไร

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

A = {1, 2, 3, 4}

มีสับเซตกี่เซต(กดดูเฉลย)

ตอบ $16$

ข้อ 2

n ({\emptyset})

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $1$

ข้อ 3

A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}

แล้ว

A - B

คือ(กดดูเฉลย)

ตอบ ${1}$

ข้อ 4

n (A) = 20, n (B) = 15, n (A \cap B) = 5

แล้ว

n (A \cup B)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $30$

ข้อ 5

(A \cap B)^{'}

เท่ากับอะไรตามกฎเดอมอร์แกน(กดดูเฉลย)

ตอบ $A^{'} \cup B^{'}$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ เซต →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด