หลักการนับเบื้องต้น

เดินทางจาก A ไป B ได้ $3$ เส้นทาง และจาก B ไป C ได้ $4$ เส้นทาง จะเดินจาก A ผ่าน B ไป C ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1ต้องทำทั้งสองขั้น (A→B แล้ว B→C) → กฎการคูณ
2. ขั้นที่ 2$3\times 4=12$

ตอบ  $12$ วิธี

มีเสื้อ $5$ ตัว กางเกง $4$ ตัว รองเท้า $3$ คู่ แต่งตัวได้กี่แบบ

1. ขั้นที่ 1เลือกทีละอย่างจนครบ → คูณกัน
2. ขั้นที่ 2$5\times 4\times 3=60$

ตอบ  $60$ แบบ

มีหนังสือ $5$ เล่มต่างกัน วางเรียงบนชั้นได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1เรียงทั้งหมด $5$ สิ่ง
2. ขั้นที่ 2$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$

ตอบ  $120$ วิธี

มีคน $8$ คน เลือกมาเป็นประธาน รองประธาน และเลขานุการ ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1ตำแหน่งต่างกัน → ลำดับสำคัญ → ใช้การเรียงสับเปลี่ยน
2. ขั้นที่ 2$P(8,3)=\frac{8!}{5!}=8\times 7\times 6=336$

ตอบ  $336$ วิธี

จัดเรียงตัวอักษรของคำว่า BANANA ได้กี่แบบ

1. ขั้นที่ 1มีตัวอักษร $6$ ตัว: A ซ้ำ $3$ · N ซ้ำ $2$ · B $1$
2. ขั้นที่ 2$\frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{6\times 2}=60$

ตอบ  $60$ แบบ

💡 ถ้าไม่หารด้วยของซ้ำ จะนับซ้ำหลายรอบ เพราะสลับ A ตัวไหนกับตัวไหนก็ได้คำเดิม

เลือกตัวแทน $3$ คนจาก $8$ คน (ไม่มีตำแหน่ง) ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1ไม่มีตำแหน่ง → ลำดับไม่สำคัญ → ใช้การจัดหมู่
2. ขั้นที่ 2$C(8,3)=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=\frac{336}{6}=56$

ตอบ  $56$ วิธี

💡 เทียบกับตัวอย่างประธาน-รอง-เลขา ($336$ วิธี) — โจทย์คล้ายกันมาก ต่างแค่ “มีตำแหน่งหรือเปล่า” แล้วคำตอบต่างกัน $6$ เท่า

จัดคน $5$ คนนั่งเรียงแถว โดยให้ ก. กับ ข. ต้องนั่งติดกัน ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1มัด ก. กับ ข. เป็นก้อนเดียว → เหลือของ $4$ ชิ้นให้เรียง
2. ขั้นที่ 2เรียง $4$ ชิ้น: $4!=24$
3. ขั้นที่ 3ภายในก้อนสลับได้ $2!=2$
4. ขั้นที่ 4$24\times 2=48$

ตอบ  $48$ วิธี

จากข้อบน ถ้า ก. กับ ข. ห้ามนั่งติดกัน ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1ทั้งหมดที่เป็นไปได้: $5!=120$
2. ขั้นที่ 2กรณีติดกัน (จากข้อบน) $=48$
3. ขั้นที่ 3$120-48=72$

ตอบ  $72$ วิธี

💡 โจทย์ “ห้าม…” เกือบทั้งหมดคิดจากส่วนเติมเต็มเร็วกว่านับตรงๆ

มีชาย $6$ คน หญิง $4$ คน เลือกกรรมการ $3$ คน โดยต้องมีหญิงอย่างน้อย $1$ คน ได้กี่วิธี

1. ขั้นที่ 1เลือก $3$ จาก $10$ ทั้งหมด: $C(10,3)=120$
2. ขั้นที่ 2กรณีไม่มีหญิงเลย (ชายล้วน): $C(6,3)=20$
3. ขั้นที่ 3$120-20=100$

ตอบ  $100$ วิธี