ม.4 · เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~24 นาที

เรขาคณิตวิเคราะห์

เอาพีชคณิตมาแก้ปัญหาเรขาคณิต — แทนที่จะวาดแล้ววัด เราคำนวณจากพิกัดได้เลย ทั้งระยะทาง ความชัน สมการเส้นตรง และสมการวงกลม

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · ระยะทาง ความชัน เส้นตรง และวงกลมในระบบพิกัด (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาระยะระหว่างจุดและจุดกึ่งกลางได้
✓หาความชันและเขียนสมการเส้นตรงในรูปต่างๆ ได้
✓ตรวจสอบเส้นขนานและเส้นตั้งฉากจากความชันได้
✓เขียนและอ่านสมการวงกลมได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ความชันslope

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ต่อ $x$ เขียนแทนด้วย $m$

จุดกึ่งกลางmidpoint

จุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสองจุด

7.1 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

ระยะระหว่างจุด (มาจากพีทาโกรัส)

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

จุดกึ่งกลาง (คือค่าเฉลี่ยของพิกัด)

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

✏️ตัวอย่าง

หาระยะระหว่าง $A (- 2, 3)$ กับ $B (4, 11)$ และจุดกึ่งกลางของ $A B$

ขั้นที่ 1 $d = (4 - (- 2))^{2} + (11 - 3)^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
ขั้นที่ 2 $= 36 + 64 = 100 = 10$
ขั้นที่ 3 $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{3 + 11}{2}) = (1, 7)$

ตอบ $d = 10$ · $M = (1, 7)$

💡 ระยะทางเป็นบวกเสมอ — จะเอา $x_{2} - x_{1}$ หรือ $x_{1} - x_{2}$ ก็ได้ เพราะยกกำลังสองแล้วเหมือนกัน

7.2 ความชัน

ความชัน

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}

ความชัน	ลักษณะเส้น
$m > 0$	เอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
$m < 0$	เอียงลง
$m = 0$	เส้นแนวนอน ( $y = k$ )
ไม่นิยาม	เส้นแนวตั้ง ( $x = k$ ) เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์

เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

ℓ_{1} ∥ ℓ_{2} ⟺ m_{1} = m_{2} ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2} ⟺ m_{1} m_{2} = - 1

💡เคล็ดลับ

ตั้งฉาก = ความชันกลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น $m = \frac{2}{3}$ → ตั้งฉากคือ $- \frac{3}{2}$ · ตรวจง่ายๆ ด้วยการคูณกันต้องได้ $- 1$

7.3 สมการเส้นตรง

รูป	สมการ	ใช้เมื่อรู้
ความชัน-จุดตัดแกน	$y = m x + c$	ความชันและจุดตัดแกน $Y$
จุดและความชัน	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	จุด $1$ จุดและความชัน
ทั่วไป	$A x + B y + C = 0$	รูปมาตรฐานสำหรับคำนวณ

เลือกใช้ตามข้อมูลที่โจทย์ให้มา

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(2, 5)$ และมีความชัน $3$

ขั้นที่ 1ใช้รูปจุดและความชัน: $y - 5 = 3 (x - 2)$
ขั้นที่ 2 $y - 5 = 3 x - 6$
ขั้นที่ 3 $y = 3 x - 1$

ตอบ $y = 3 x - 1$

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(1, 2)$ และ $(4, 11)$

ขั้นที่ 1หาความชันก่อน: $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$
ขั้นที่ 2ใช้จุด $(1, 2)$ : $y - 2 = 3 (x - 1)$
ขั้นที่ 3 $y = 3 x - 1$
ขั้นที่ 4ตรวจกับอีกจุด: $3 (4) - 1 = 11$ ✓

ตอบ $y = 3 x - 1$

💡 มีสองจุด → หาความชันก่อนเสมอ แล้วค่อยใช้จุดไหนก็ได้ (ได้สมการเดียวกัน) · ตรวจด้วยจุดที่เหลือ

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(3, - 1)$ และตั้งฉากกับ $y = 2 x + 5$

ขั้นที่ 1เส้นเดิมมี $m = 2$ → เส้นตั้งฉากมี $m = - \frac{1}{2}$
ขั้นที่ 2 $y - (- 1) = - \frac{1}{2} (x - 3)$
ขั้นที่ 3 $y + 1 = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
ขั้นที่ 4 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

ตอบ $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

7.4 ระยะจากจุดถึงเส้นตรง

ระยะตั้งฉากจากจุด $(x_{0}, y_{0})$ ถึงเส้น $A x + B y + C = 0$

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

✏️ตัวอย่าง

หาระยะจากจุด $(3, 4)$ ถึงเส้นตรง $3 x + 4 y - 10 = 0$

ขั้นที่ 1 $A = 3, B = 4, C = - 10$
ขั้นที่ 2 $d = \frac{∣3 ( 3 ) + 4 ( 4 ) - 10∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣9 + 16 - 10∣}{5}$
ขั้นที่ 3 $= \frac{15}{5} = 3$

ตอบ $3$ หน่วย

💡 ต้องจัดสมการเป็นรูป $A x + B y + C = 0$ (ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว) ก่อนใช้สูตรเสมอ

7.5 สมการวงกลม

จุดศูนย์กลาง $(h, k)$ รัศมี $r$

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

📎น่ารู้

สูตรนี้ก็คือ สูตรระยะทาง นั่นเอง — วงกลมคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$ พอดี

•จุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
•เครื่องหมายในวงเล็บกลับกับพิกัด: $(x - 3)^{2}$ → จุดศูนย์กลางที่ $x = 3$
•รูปทั่วไป $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ → จัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาจุดศูนย์กลางและรัศมี

✏️ตัวอย่าง

หาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$

ขั้นที่ 1จัดกลุ่ม: $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) = 12$
ขั้นที่ 2ทำกำลังสองสมบูรณ์: $x$ เติม $(\frac{- 6}{2})^{2} = 9$ · $y$ เติม $(\frac{4}{2})^{2} = 4$
ขั้นที่ 3 $(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 4 y + 4) = 12 + 9 + 4$
ขั้นที่ 4 $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$

ตอบ จุดศูนย์กลาง $(3, - 2)$ · รัศมี $5$

💡 อย่าลืมบวกตัวที่เติมเข้าไป ทางขวาด้วย — เป็นจุดที่พลาดกันมากที่สุด

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ระยะระหว่างจุด

$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

จุดกึ่งกลาง

$M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

ความชัน

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

จุดและความชัน

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

ขนาน / ตั้งฉาก

$m_{1} = m_{2} / m_{1} m_{2} = - 1$

ระยะจุดถึงเส้น

$d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

วงกลม

$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗อ่านเครื่องหมายจุดศูนย์กลางวงกลมผิด ( $(x + 2)^{2}$ คือ $h = - 2$ )
✗ลืมบวกตัวที่เติมทางขวาตอนทำกำลังสองสมบูรณ์
✗ใช้สูตรระยะจุดถึงเส้นโดยยังไม่จัดเป็นรูป $A x + B y + C = 0$
✗คิดว่าเส้นแนวตั้งมีความชันเป็น $0$ (ที่จริงคือไม่นิยาม)

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1ระยะระหว่าง

(0, 0)

กับ

(3, 4)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $5$

ข้อ 2จุดกึ่งกลางของ

(2, 6)

และ

(8, 10)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(5, 8)$

ข้อ 3ความชันของเส้นผ่าน

(1, 1)

และ

(3, 7)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $3$

ข้อ 4เส้นตั้งฉากกับ

y = 4 x

มีความชันเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $- \frac{1}{4}$

ข้อ 5

(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 16

มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ จุดศูนย์กลาง $(1, - 3)$ รัศมี $4$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ เรขาคณิตวิเคราะห์ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด