ม.4 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~26 นาที

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ลอการิทึมคือ การถามกลับของเลขยกกำลัง — “ต้องยกกำลังเท่าไรถึงจะได้เลขนี้” ใช้จัดการกับตัวเลขที่โตหรือลดแบบทวีคูณ เช่น ดอกเบี้ยทบต้น ความเข้มเสียง แผ่นดินไหว

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓ใช้สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะได้
✓แปลงระหว่างรูปเลขยกกำลังกับรูปลอการิทึมได้
✓ใช้สมบัติของลอการิทึมย่อและกระจายนิพจน์ได้
✓แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมอย่างง่ายได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลอการิทึมlogarithm

เลขชี้กำลังที่ต้องใช้ยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ

ฐานbase

จำนวนที่ถูกยกกำลัง ต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1

8.1 เลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ

รากเขียนเป็นเลขยกกำลังได้

a^{\frac{1}{n}} = n a a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}

•สมบัติของเลขยกกำลังทั้งหมดจาก ม.2 ยังใช้ได้เหมือนเดิม
• $a^{\frac{1}{2}} = a$ · $a^{\frac{1}{3}} = 3 a$
•ตัวส่วนของเลขชี้กำลังคือ อันดับของราก · ตัวเศษคือ กำลัง

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $8^{\frac{2}{3}}$ และ $1 6^{- \frac{1}{2}}$

ขั้นที่ 1 $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$
ขั้นที่ 2 $1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 6 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

ตอบ $4$ และ $\frac{1}{4}$

💡 ถอดรากก่อน แล้วค่อยยกกำลัง จะได้เลขเล็กกว่ามาก — $3 8^{2} = 364$ ก็ได้ $4$ เหมือนกันแต่คิดยากกว่า

8.2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

รูปทั่วไป

y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)

เงื่อนไข	ลักษณะกราฟ
$a > 1$	เพิ่มขึ้น (โตแบบทวีคูณ)
$0 < a < 1$	ลดลง (สลายตัว)
ทุกกรณี	ผ่านจุด $(0, 1)$ เสมอ เพราะ $a^{0} = 1$
ทุกกรณี	$y > 0$ เสมอ — กราฟไม่แตะแกน $X$

⚠️ระวัง

ฐานต้อง เป็นบวกและไม่เท่ากับ $1$ — ถ้า $a = 1$ จะได้ $y = 1$ ตลอด (เป็นเส้นตรง ไม่ใช่เอกซ์โพเนนเชียล) และถ้าฐานติดลบ ค่าจะกระโดดไปมาจนไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

8.3 ลอการิทึมคืออะไร

นิยาม — สองรูปนี้พูดเรื่องเดียวกัน

lo g_{a} N = x ⟺ a^{x} = N

🔑อ่านให้เป็นภาษาคน

$lo g_{2} 8 = 3$ อ่านว่า “ต้องยก $2$ กำลังเท่าไรถึงได้ $8$ ? ตอบ $3$ ” — ถ้าอ่านแบบนี้ได้ ลอการิทึมจะไม่ยากเลย

รูปลอการิทึม	รูปเลขยกกำลัง
$lo g_{2} 8 = 3$	$2^{3} = 8$
$lo g_{10} 100 = 2$	$1 0^{2} = 100$
$lo g_{5} 1 = 0$	$5^{0} = 1$
$lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$	$3^{- 2} = \frac{1}{9}$

ฝึกแปลงกลับไปมา

• $lo g N$ (ไม่เขียนฐาน) หมายถึงฐาน $10$
• $ln N$ หมายถึงฐาน $e \approx 2.718$ (ลอการิทึมธรรมชาติ)
• $N$ ต้องมากกว่า $0$ เสมอ — $lo g$ ของศูนย์หรือจำนวนลบไม่มีค่า

8.4 สมบัติของลอการิทึม

สมบัติ	สูตร
ผลคูณ	$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
ผลหาร	$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
เลขชี้กำลัง	$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$
ค่าพื้นฐาน	$lo g_{a} 1 = 0$ · $lo g_{a} a = 1$
เปลี่ยนฐาน	$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$

ลอการิทึมเปลี่ยนคูณเป็นบวก — นี่คือเหตุผลที่มันถูกคิดค้นขึ้นมา

⚠️สิ่งที่ไม่มีในตาราง = ทำไม่ได้

▸ $lo g (M + N) \neq = lo g M + lo g N$
▸ $\frac{lo g M}{lo g N} \neq = lo g \frac{M}{N}$
▸ $(lo g M)^{2} \neq = 2 lo g M$

✏️ตัวอย่าง

เขียน $lo g_{2} 32 - lo g_{2} 4$ ให้เป็นค่าเดียว

ขั้นที่ 1ใช้สมบัติผลหาร: $lo g_{2} \frac{32}{4} = lo g_{2} 8$
ขั้นที่ 2 $2^{3} = 8$ → $lo g_{2} 8 = 3$

ตอบ $3$

✏️ตัวอย่าง

กระจาย $lo g \frac{x ^{3} y}{z}$

ขั้นที่ 1ผลหาร: $lo g (x^{3} y) - lo g z$
ขั้นที่ 2ผลคูณ: $lo g x^{3} + lo g y - lo g z$
ขั้นที่ 3เลขชี้กำลัง: $3 lo g x + lo g y - lo g z$

ตอบ $3 lo g x + lo g y - lo g z$

8.5 การแก้สมการ

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

1ถ้าทำให้ ฐานเท่ากัน ได้ ให้จับเลขชี้กำลังมาเท่ากันเลย
2ถ้าฐานเท่ากันไม่ได้ ให้ใส่ $lo g$ ทั้งสองข้าง

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2^{x + 1} = 32$

ขั้นที่ 1ทำฐานให้เท่ากัน: $32 = 2^{5}$
ขั้นที่ 2 $2^{x + 1} = 2^{5}$
ขั้นที่ 3 $x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4$

ตอบ $x = 4$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $lo g_{3} (x - 1) = 2$

ขั้นที่ 1แปลงเป็นรูปเลขยกกำลัง: $3^{2} = x - 1$
ขั้นที่ 2 $9 = x - 1 \Rightarrow x = 10$
ขั้นที่ 3ตรวจ: $x - 1 = 9 > 0$ ✓ ใช้ได้

ตอบ $x = 10$

💡 ⚠️ สมการลอการิทึมต้องตรวจคำตอบเสมอ — ถ้าแทนกลับแล้วข้างในล็อกเป็นศูนย์หรือติดลบ ต้องตัดทิ้ง (เรียกว่าคำตอบแปลกปลอม)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$

ขั้นที่ 1รวมเป็นล็อกเดียว: $lo g_{2} (x (x - 2)) = 3$
ขั้นที่ 2 $x (x - 2) = 2^{3} = 8$
ขั้นที่ 3 $x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 2) = 0$
ขั้นที่ 4 $x = 4$ หรือ $x = - 2$
ขั้นที่ 5ตรวจ: $x = - 2$ ทำให้ $lo g_{2} (- 2)$ ไม่มีค่า → ตัดทิ้ง

ตอบ $x = 4$

8.6 การนำไปใช้

ดอกเบี้ยทบต้น

A = P (1 + r)^{n}

$P$ = เงินต้น · $r$ = อัตราต่อรอบ · $n$ = จำนวนรอบ

✏️ตัวอย่าง

ฝากเงิน $10, 000$ บาท ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ $5$ ต่อปี อีก $3$ ปีจะได้เงินเท่าใด

ขั้นที่ 1 $A = 10000 (1 + 0.05)^{3} = 10000 (1.05)^{3}$
ขั้นที่ 2 $(1.05)^{3} \approx 1.157625$
ขั้นที่ 3 $A \approx 11576.25$

ตอบ ประมาณ $11, 576$ บาท

💡 เทียบกับดอกเบี้ยอย่างง่าย (ม.1) ที่ได้ $11, 500$ บาท — ส่วนต่างเกิดจากดอกเบี้ยของดอกเบี้ย ยิ่งเวลานานยิ่งต่างกันมาก

•มาตราริกเตอร์ (แผ่นดินไหว) และ เดซิเบล (เสียง) เป็นสเกลลอการิทึม — เพิ่ม $1$ หน่วยคือแรงขึ้นหลายเท่า
•pH ในเคมี $= - lo g [H^{+}]$
•ใช้ลอการิทึมเมื่อข้อมูลมีช่วงกว้างมาก เพราะช่วยบีบให้อ่านง่ายขึ้น

📎น่ารู้

แผ่นดินไหวขนาด $7$ ปลดปล่อยพลังงานมากกว่าขนาด $6$ ประมาณ $32$ เท่า ไม่ใช่ $1$ เท่า — นี่คือเหตุผลที่ต้องเข้าใจสเกลลอการิทึม ไม่งั้นจะประเมินความรุนแรงต่ำเกินจริงมาก

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

นิยามลอการิทึม

$lo g_{a} N = x ⟺ a^{x} = N$

ผลคูณ

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$

ผลหาร

$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$

เลขชี้กำลัง

$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$

เปลี่ยนฐาน

$lo g_{a} M = \frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} a}$

เลขชี้กำลังตรรกยะ

$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$

ดอกเบี้ยทบต้น

$A = P (1 + r)^{n}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ $lo g (M + N) = lo g M + lo g N$ (ผิด — สมบัติใช้กับผลคูณ)
✗ลืมตรวจคำตอบของสมการลอการิทึม (คำตอบแปลกปลอม)
✗คิดว่า $lo g$ ของจำนวนลบมีค่า
✗สับสน $(lo g M)^{2}$ กับ $lo g M^{2}$
✗ยกกำลังก่อนถอดราก ทำให้ตัวเลขใหญ่เกินจำเป็น

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

lo g_{2} 16

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $4$

ข้อ 2

lo g_{5} 1

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $0$

ข้อ 3

2 7^{\frac{2}{3}}

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $9$

ข้อ 4แก้

3^{x} = 81

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 4$

ข้อ 5

lo g 2 + lo g 50

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $2$ (เพราะ $lo g 100$ )

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด