ม.3 · บทที่ 10📊 สถิติและความน่าจะเป็นอ่าน ~20 นาที

สถิติ (3)

ค่ากลางอย่างเดียวบอกไม่หมด — ข้อมูลสองชุดค่าเฉลี่ยเท่ากันได้ทั้งที่หน้าตาต่างกันลิบ บทนี้จึงเพิ่มเครื่องมือวัด การกระจาย

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: สถิติและความน่าจะเป็น · ควอร์ไทล์ แผนภาพกล่อง และการกระจายของข้อมูล

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาควอร์ไทล์และพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ได้
✓เขียนและอ่านแผนภาพกล่องได้
✓เปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุดโดยดูทั้งค่ากลางและการกระจาย
✓ระบุค่านอกเกณฑ์ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ควอร์ไทล์quartile

ค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์IQR

$Q_{3} - Q_{1}$ — ช่วงที่ข้อมูลตรงกลาง 50% กระจายอยู่

แผนภาพกล่องbox plot

ภาพสรุปข้อมูลด้วยค่า 5 ตัว ต่ำสุด $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ สูงสุด

ค่านอกเกณฑ์outlier

ค่าที่ห่างจากกลุ่มมากผิดปกติ

10.1 ทำไมค่ากลางอย่างเดียวไม่พอ

ชุด	ข้อมูล	ค่าเฉลี่ย	พิสัย
A	$49, 50, 50, 50, 51$	$50$	$2$
B	$10, 30, 50, 70, 90$	$50$	$80$

สองชุดนี้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่ต่างกันมาก

🔑สาระสำคัญ

ชุด A เกาะกลุ่มแน่น ชุด B กระจายกว้างมาก — ถ้าดูแค่ค่าเฉลี่ยจะสรุปว่า “เหมือนกัน” ซึ่งผิดอย่างสิ้นเชิง การกระจายจึงสำคัญพอๆ กับค่ากลาง

10.2 ควอร์ไทล์

1เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากก่อนเสมอ
2 $Q_{2}$ = มัธยฐาน (แบ่งครึ่งข้อมูล)
3 $Q_{1}$ = มัธยฐานของครึ่งล่าง (ไม่รวม $Q_{2}$ ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นคี่)
4 $Q_{3}$ = มัธยฐานของครึ่งบน

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

IQR = Q_{3} - Q_{1}

✏️ตัวอย่าง

หาควอร์ไทล์ของข้อมูล $4, 7, 8, 10, 12, 15, 18$

ขั้นที่ 1เรียงแล้ว มีข้อมูล $7$ ตัว (คี่)
ขั้นที่ 2 $Q_{2}$ = ตัวกลาง = ตัวที่ $4$ = $10$
ขั้นที่ 3ครึ่งล่าง (ไม่รวม $10$ ): $4, 7, 8$ → $Q_{1} = 7$
ขั้นที่ 4ครึ่งบน (ไม่รวม $10$ ): $12, 15, 18$ → $Q_{3} = 15$
ขั้นที่ 5 $IQR = 15 - 7 = 8$

ตอบ $Q_{1} = 7, Q_{2} = 10, Q_{3} = 15$ · IQR $= 8$

💡เคล็ดลับ

IQR ดีกว่าพิสัย ตรงที่ไม่ถูกค่าสุดโต่งลากไป — พิสัยดูแค่ตัวมากสุดกับน้อยสุด ค่าประหลาดตัวเดียวก็ทำให้พิสัยเพี้ยนทั้งชุด

10.3 แผนภาพกล่อง

•ใช้ ค่า $5$ ตัว: ต่ำสุด · $Q_{1}$ · $Q_{2}$ · $Q_{3}$ · สูงสุด
•กล่อง ครอบจาก $Q_{1}$ ถึง $Q_{3}$ = ข้อมูลตรงกลาง $50%$
•เส้นในกล่อง คือมัธยฐาน — ถ้าไม่อยู่กลางกล่อง แปลว่าข้อมูลเบ้
•หนวด ยื่นไปหาค่าต่ำสุดและสูงสุด
•แต่ละส่วน (หนวดล่าง กล่องซ้าย กล่องขวา หนวดบน) มีข้อมูลอยู่ ส่วนละ $25%$

สิ่งที่เห็น	แปลว่า
กล่องแคบ	ข้อมูลตรงกลางเกาะกลุ่มแน่น
กล่องกว้าง	ข้อมูลตรงกลางกระจาย
เส้นกลางค่อนไปซ้าย	ข้อมูลเบ้ขวา (มีค่าสูงลากหาง)
หนวดข้างหนึ่งยาวมาก	มีค่าสุดโต่งฝั่งนั้น

อ่านรูปร่างการกระจายจากแผนภาพกล่อง

10.4 ค่านอกเกณฑ์

เกณฑ์มาตรฐาน

x < Q_{1} - 1.5 IQR หรือ x > Q_{3} + 1.5 IQR

✏️ตัวอย่าง

ข้อมูลมี $Q_{1} = 20, Q_{3} = 32$ ค่า $60$ เป็นค่านอกเกณฑ์หรือไม่

ขั้นที่ 1 $IQR = 32 - 20 = 12$
ขั้นที่ 2ขอบบน $= 32 + 1.5 (12) = 32 + 18 = 50$
ขั้นที่ 3 $60 > 50$

ตอบ เป็นค่านอกเกณฑ์

⚠️เจอค่านอกเกณฑ์แล้วทำอย่างไร

อย่าเพิ่งลบทิ้ง — ต้องดูก่อนว่าเป็น ความผิดพลาดในการบันทึก (เช่น พิมพ์ $180$ เป็น $1800$ ) หรือเป็น ข้อมูลจริงที่พิเศษ (เช่น นักกีฬาในกลุ่มคนทั่วไป) กรณีหลังคือข้อมูลที่มีค่าที่สุด ไม่ใช่ขยะ

10.5 การเปรียบเทียบและแปลความ

เปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุดอย่างเป็นระบบ

1เทียบ ค่ากลาง — ชุดไหนสูงกว่าโดยรวม
2เทียบ การกระจาย (IQR หรือความกว้างกล่อง) — ชุดไหนสม่ำเสมอกว่า
3ดู ความเบ้ — เส้นกลางอยู่กลางกล่องไหม
4ดู ค่านอกเกณฑ์ — มีอะไรผิดปกติหรือเปล่า
5สรุปเป็นภาษาคน โดยอ้างตัวเลขประกอบ

✏️ตัวอย่าง

คะแนนห้อง A: มัธยฐาน $70$ IQR $= 8$ · ห้อง B: มัธยฐาน $70$ IQR $= 25$ ควรสรุปอย่างไร

ขั้นที่ 1ค่ากลางเท่ากัน → ผลโดยรวมพอๆ กัน
ขั้นที่ 2IQR ของ A น้อยกว่ามาก → คะแนนเกาะกลุ่ม นักเรียนเก่งใกล้เคียงกัน
ขั้นที่ 3IQR ของ B กว้าง → มีทั้งคนได้สูงมากและต่ำมาก ความต่างในห้องสูง

ตอบ ห้อง A สม่ำเสมอกว่า · ห้อง B ควรได้รับการดูแลแบบแยกกลุ่ม เพราะระดับต่างกันมาก

💡 ในงานจริง การกระจายมักสำคัญกว่าค่าเฉลี่ย — ครูที่เห็นแค่ค่าเฉลี่ยจะไม่รู้เลยว่ามีเด็กตามไม่ทันอยู่

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

พิสัย

$R = x_{m a x} - x_{m i n}$

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

$IQR = Q_{3} - Q_{1}$

ค่านอกเกณฑ์ (ล่าง)

$x < Q_{1} - 1.5 IQR$

ค่านอกเกณฑ์ (บน)

$x > Q_{3} + 1.5 IQR$

แผนภาพกล่องใช้ค่า

$x_{m i n}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{m a x}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗หาควอร์ไทล์โดยไม่เรียงข้อมูลก่อน
✗รวม $Q_{2}$ เข้าไปในครึ่งล่าง/ครึ่งบนตอนหา $Q_{1}, Q_{3}$ (กรณีข้อมูลเป็นจำนวนคี่)
✗สรุปว่าสองชุดเหมือนกันเพราะค่าเฉลี่ยเท่ากัน
✗ลบค่านอกเกณฑ์ทิ้งทันทีโดยไม่ตรวจสอบที่มา

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1ข้อมูล

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

มี

Q_{1}

เท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $4$

ข้อ 2ข้อมูลชุดเดียวกัน IQR เท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $8$ ( $Q_{3} = 12, Q_{1} = 4$ )

ข้อ 3แผนภาพกล่องใช้ค่ากี่ตัว(กดดูเฉลย)

ตอบ $5$ ตัว

ข้อ 4ข้อมูลตรงกลางกี่เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ในกล่อง(กดดูเฉลย)

ตอบ $50%$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ สถิติ (3) →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด