ม.3 · บทเสริม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~18 นาที

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ต่อยอดจากความคล้าย — ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมเท่ากัน อัตราส่วนของด้านจะเท่ากันเสมอไม่ว่ารูปจะใหญ่แค่ไหน เราจึงตั้งชื่ออัตราส่วนพวกนี้ว่า sin cos tan

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · อัตราส่วนตรีโกณมิติในสามเหลี่ยมมุมฉาก (นอกเนื้อหาพื้นฐาน ม.3 — ใส่ไว้เพราะออกสอบเข้า ม.4 บ่อย)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกความหมายของ sin cos tan ในสามเหลี่ยมมุมฉากได้
✓จำค่าของมุมพิเศษ $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ ได้
✓หาความยาวด้านหรือขนาดมุมที่ไม่ทราบค่าได้
✓แก้โจทย์มุมก้มมุมเงยได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ด้านตรงข้ามopposite

ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ

ด้านประชิดadjacent

ด้านที่ติดกับมุมที่เราสนใจ (ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

มุมเงยangle of elevation

มุมที่วัดขึ้นจากแนวระดับสายตา

มุมก้มangle of depression

มุมที่วัดลงจากแนวระดับสายตา

E.1 ที่มา — ทำไมอัตราส่วนถึงคงที่

•สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีมุมแหลมเท่ากัน จะ คล้ายกัน (เงื่อนไข ม.ม.)
•รูปคล้ายมีด้านคู่สมนัยเป็นอัตราส่วนเดียวกัน → อัตราส่วนของด้านในรูปเดียวกันจึงคงที่
•ดังนั้นอัตราส่วนเหล่านี้ขึ้นกับ ขนาดของมุมเท่านั้น ไม่ขึ้นกับขนาดของสามเหลี่ยม
•จึงตั้งชื่อให้มันได้ว่า $sin, cos, tan$ ของมุมนั้น

E.2 นิยามทั้งสาม

สำหรับมุมแหลม $A$ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

sin A = \frac{ตรงข้าม}{ฉาก} cos A = \frac{ประชิด}{ฉาก} tan A = \frac{ตรงข้าม}{ประชิด}

💡วิธีจำแบบไทยๆ

▸ซาย = ข้าม/ฉาก
▸คอส = ชิด/ฉาก
▸แทน = ข้าม/ชิด
▸หรือจำว่า “ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด” เรียงตาม sin cos tan

⚠️ระวัง

ด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเปลี่ยนไปตามมุมที่เลือก — ในสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน ด้านที่เป็น “ตรงข้าม” ของมุม $A$ จะเป็น “ประชิด” ของอีกมุมหนึ่ง ต้องดูให้ดีว่ากำลังพูดถึงมุมไหน

ความสัมพันธ์ที่ใช้ตรวจคำตอบ

tan A = \frac{sin A}{cos A} sin^{2} A + cos^{2} A = 1

E.3 ค่าของมุมพิเศษ (ต้องจำ)

มุม	$sin$	$cos$	$tan$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

ตารางที่ออกสอบแทบทุกครั้ง

💡เทคนิคจำที่ไม่ต้องท่อง

▸ $sin$ ของ $30, 45, 60$ คือ $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ — แค่นับ $1, 2, 3$ ใต้ราก
▸ $cos$ คือชุดเดียวกัน อ่านย้อนกลับ
▸ $tan = \frac{sin}{cos}$ หารเอาได้เลย ไม่ต้องจำแยก

•มุม $4 5^{\circ}$ มาจากสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ด้าน $1 : 1 : 2$
•มุม $3 0^{\circ}$ และ $6 0^{\circ}$ มาจากครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่า ด้าน $1 : 3 : 2$

E.4 หาด้านและมุม

ขั้นตอนที่ใช้ได้ทุกข้อ

1ทำเครื่องหมายว่ามุมไหนที่เราสนใจ
2ระบุว่าด้านที่รู้กับด้านที่ต้องการเป็น ตรงข้าม/ประชิด/ฉาก
3เลือกอัตราส่วนที่ใช้ สองด้านนั้นพอดี
4ตั้งสมการแล้วแก้

✏️ตัวอย่าง

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่ง $3 0^{\circ}$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. ด้านตรงข้ามมุม $3 0^{\circ}$ ยาวเท่าใด

ขั้นที่ 1รู้ด้านฉาก ต้องการด้านตรงข้าม → ใช้ $sin$
ขั้นที่ 2 $sin 3 0^{\circ} = \frac{x}{10}$
ขั้นที่ 3 $\frac{1}{2} = \frac{x}{10}$
ขั้นที่ 4 $x = 5$

ตอบ $5$ เซนติเมตร

✏️ตัวอย่าง

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามยาว $7$ และด้านประชิดยาว $7$ มุมนั้นกางเท่าใด

ขั้นที่ 1รู้ตรงข้ามกับประชิด → ใช้ $tan$
ขั้นที่ 2 $tan θ = \frac{7}{7} = 1$
ขั้นที่ 3จากตาราง $tan 4 5^{\circ} = 1$

ตอบ $4 5^{\circ}$

E.5 มุมก้มและมุมเงย

•มุมเงย — มองขึ้น วัดจากแนวระดับขึ้นไปหาวัตถุ
•มุมก้ม — มองลง วัดจากแนวระดับลงไปหาวัตถุ
•มุมก้มจากยอดตึกลงมาหาคน เท่ากับ มุมเงยจากคนขึ้นไปหายอดตึก (เป็นมุมแย้งของเส้นขนาน)
•วาดรูปก่อนเสมอ — โจทย์ประเภทนี้ผิดเพราะวาดรูปผิดมากกว่าคำนวณผิด

✏️ตัวอย่าง

ยืนห่างจากตึก $50$ เมตร มองยอดตึกด้วยมุมเงย $6 0^{\circ}$ ถ้าระดับสายตาสูง $1.5$ เมตร ตึกสูงเท่าใด

ขั้นที่ 1ด้านประชิด (ระยะราบ) $= 50$ · ต้องการด้านตรงข้าม (ความสูงเหนือระดับสายตา) → ใช้ $tan$
ขั้นที่ 2 $tan 6 0^{\circ} = \frac{h}{50}$
ขั้นที่ 3 $3 = \frac{h}{50} \Rightarrow h = 503 \approx 86.6$
ขั้นที่ 4บวกความสูงระดับสายตา: $86.6 + 1.5 = 88.1$

ตอบ ประมาณ $88.1$ เมตร

💡 อย่าลืมบวกความสูงระดับสายตา — ตรีโกณให้ความสูงเหนือระดับตาเท่านั้น เป็นจุดที่คนพลาดเยอะที่สุดในโจทย์แบบนี้

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

sin

$sin A = \frac{ตรงข้าม}{ฉาก}$

cos

$cos A = \frac{ประชิด}{ฉาก}$

tan

$tan A = \frac{ตรงข้าม}{ประชิด}$

ความสัมพันธ์

$tan A = \frac{s i n A}{c o s A}$

เอกลักษณ์พื้นฐาน

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

มุมพิเศษ 45°

$sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗สับสนด้านตรงข้ามกับด้านประชิด (เปลี่ยนตามมุมที่เลือก)
✗ใช้ $sin$ ทั้งที่โจทย์ไม่ได้ให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก
✗ลืมบวกความสูงระดับสายตาในโจทย์มุมเงย
✗จำค่ามุมพิเศษสลับกันระหว่าง $sin 3 0^{\circ}$ กับ $cos 3 0^{\circ}$

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

sin 3 0^{\circ}

มีค่าเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $\frac{1}{2}$

ข้อ 2

tan 4 5^{\circ}

มีค่าเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $1$

ข้อ 3

cos 6 0^{\circ}

มีค่าเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $\frac{1}{2}$

ข้อ 4สามเหลี่ยมมุมฉาก ฉากยาว

20

มุม

3 0^{\circ}

ด้านตรงข้ามมุมนั้นยาวเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $10$

ข้อ 5ถ้า

tan θ = 3

แล้ว

θ

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $6 0^{\circ}$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ อัตราส่วนตรีโกณมิติ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด