ม.3 · บทที่ 5🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~22 นาที

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

กราฟของ $y = a x^{2} + b x + c$ เป็นเส้นโค้งรูปพาราโบลา — รู้ค่า $a, h, k$ ก็วาดได้ทันทีโดยไม่ต้องแทนค่าทีละจุด และหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดได้

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · กราฟของฟังก์ชันกำลังสองและการนำไปใช้

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกลักษณะของกราฟพาราโบลาจากค่าสัมประสิทธิ์ได้
✓หาจุดยอด แกนสมมาตร และจุดตัดแกนได้
✓เขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองได้
✓ใช้จุดยอดหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดในสถานการณ์จริง

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

พาราโบลาparabola

เส้นโค้งรูปตัว U ที่เป็นกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

จุดยอดvertex

จุดต่ำสุดหรือสูงสุดของพาราโบลา

แกนสมมาตรaxis of symmetry

เส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดยอด แบ่งกราฟเป็นสองข้างเท่ากัน

5.1 หน้าตาของพาราโบลา

$a$	กราฟ	จุดยอดคือ
$a > 0$	หงายขึ้น (รูปตัว U)	จุดต่ำสุด
$a < 0$	คว่ำลง (รูปตัว ∩)	จุดสูงสุด
$∣ a ∣$ มาก	แคบ/ชัน	—
$∣ a ∣$ น้อย	กว้าง/แบน	—

ค่า $a$ บอกอะไรบ้าง

💡เคล็ดลับ

จำง่ายๆ: $a$ เป็น บวก = ยิ้ม 😊 (หงาย) · $a$ เป็น ลบ = เศร้า 😞 (คว่ำ)

5.2 รูปมาตรฐาน — วาดกราฟได้ทันที

รูปมาตรฐาน (vertex form)

y = a (x - h)^{2} + k

จุดยอดอยู่ที่ $(h, k)$ · แกนสมมาตรคือ $x = h$

สมการ	จุดยอด	ลักษณะ
$y = x^{2}$	$(0, 0)$	หงาย มาตรฐาน
$y = x^{2} + 3$	$(0, 3)$	เลื่อนขึ้น $3$
$y = (x - 2)^{2}$	$(2, 0)$	เลื่อนขวา $2$
$y = - 2 (x + 1)^{2} - 4$	$(- 1, - 4)$	คว่ำ แคบขึ้น เลื่อนซ้าย $1$ ลง $4$

อ่านกราฟจากสมการโดยไม่ต้องคำนวณ

⚠️เครื่องหมายของ $h$ หลอกตา

$y = (x - 2)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = + 2$ (ไม่ใช่ $- 2$ ) · $y = (x + 1)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = - 1$ — ให้คิดว่า “ค่าที่ทำให้ในวงเล็บเป็นศูนย์”

5.3 หาจุดยอดจากรูปทั่วไป

แกนสมมาตร / พิกัด $x$ ของจุดยอด

x = - \frac{b}{2 a}

จาก $y = a x^{2} + b x + c$

1หา $x$ ของจุดยอดด้วย $- \frac{b}{2 a}$
2แทน $x$ กลับเข้าสมการเพื่อหา $y$
3ได้จุดยอด $(x, y)$ และแกนสมมาตรคือเส้น $x =$ ค่านั้น

✏️ตัวอย่าง

หาจุดยอดและแกนสมมาตรของ $y = x^{2} - 6 x + 5$

ขั้นที่ 1 $a = 1, b = - 6$
ขั้นที่ 2 $x = - \frac{- 6}{2 ( 1 )} = 3$
ขั้นที่ 3แทนกลับ: $y = 3^{2} - 6 (3) + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$

ตอบ จุดยอด $(3, - 4)$ · แกนสมมาตร $x = 3$

5.4 จุดตัดแกน

•จุดตัดแกน $Y$ — แทน $x = 0$ ได้ $y = c$ ทันที (ง่ายที่สุด)
•จุดตัดแกน $X$ — แทน $y = 0$ แล้วแก้สมการกำลังสอง $a x^{2} + b x + c = 0$
•จำนวนจุดตัดแกน $X$ ดูจากดิสคริมิแนนต์: $D > 0$ ตัด $2$ จุด · $D = 0$ สัมผัส $1$ จุด · $D < 0$ ไม่ตัดเลย

✏️ตัวอย่าง

หาจุดตัดแกนทั้งหมดของ $y = x^{2} - 6 x + 5$ แล้วร่างกราฟ

ขั้นที่ 1ตัดแกน $Y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 5$ → จุด $(0, 5)$
ขั้นที่ 2ตัดแกน $X$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$
ขั้นที่ 3 $x = 1$ หรือ $x = 5$ → จุด $(1, 0)$ และ $(5, 0)$
ขั้นที่ 4จุดยอดจากข้อก่อนคือ $(3, - 4)$
ขั้นที่ 5 $a = 1 > 0$ → หงายขึ้น

ตอบ ตัดแกน $X$ ที่ $(1, 0), (5, 0)$ · ตัดแกน $Y$ ที่ $(0, 5)$ · จุดยอด $(3, - 4)$

💡 สังเกตว่าจุดยอดอยู่ตรงกลางระหว่างจุดตัดแกน $X$ พอดี ( $\frac{1 + 5}{2} = 3$ ) — ใช้ตรวจคำตอบได้เร็วมาก

5.5 การนำไปใช้ — ค่าสูงสุดและต่ำสุด

🔑สาระสำคัญ

ปัญหาแนว “ทำอย่างไรให้ได้มากที่สุด/น้อยที่สุด” ที่เขียนเป็นสมการกำลังสองได้ ตอบด้วย จุดยอด เสมอ

✏️ตัวอย่าง

ยิงลูกบอลขึ้นไป ความสูง $h$ เมตร หลังเวลา $t$ วินาที เป็นไปตาม $h = - 5 t^{2} + 20 t$ จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ถึงจุดนั้น

ขั้นที่ 1 $a = - 5 < 0$ → คว่ำ จุดยอดคือจุดสูงสุด
ขั้นที่ 2 $t = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = 2$ วินาที
ขั้นที่ 3 $h = - 5 (2)^{2} + 20 (2) = - 20 + 40 = 20$

ตอบ สูงสุด $20$ เมตร ที่เวลา $2$ วินาที

✏️ตัวอย่าง

มีรั้วยาว $40$ เมตร ล้อมที่ดินสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด

ขั้นที่ 1ให้กว้าง $= x$ → เส้นรอบรูป $2 (x + y) = 40 \Rightarrow y = 20 - x$
ขั้นที่ 2พื้นที่ $A = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x$
ขั้นที่ 3 $a = - 1 < 0$ → มีค่าสูงสุดที่จุดยอด
ขั้นที่ 4 $x = - \frac{20}{2 ( - 1 )} = 10$
ขั้นที่ 5 $A = - (10)^{2} + 20 (10) = 100$

ตอบ พื้นที่มากที่สุด $100$ ตารางเมตร (เป็นรูปจัตุรัส $10 \times 10$ )

💡 ผลนี้เป็นจริงเสมอ — เส้นรอบรูปเท่ากัน รูปจัตุรัสให้พื้นที่มากที่สุด

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

รูปทั่วไป

$y = a x^{2} + b x + c$

รูปมาตรฐาน

$y = a (x - h)^{2} + k$

จุดยอด (รูปมาตรฐาน)

$(h, k)$

แกนสมมาตร (รูปทั่วไป)

$x = - \frac{b}{2 a}$

ตัดแกน Y

$(0, c)$

ตัดแกน X

$a x^{2} + b x + c = 0$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗อ่านเครื่องหมาย $h$ ผิด — $(x - 2)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = 2$
✗ลืมเครื่องหมายลบในสูตร $- \frac{b}{2 a}$
✗หาจุดยอดได้แต่ลืมแทนกลับหาค่า $y$
✗คิดว่า $a$ ยิ่งมากกราฟยิ่งกว้าง (ตรงกันข้าม — ยิ่งแคบ)

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

y = (x + 3)^{2} - 1

จุดยอดอยู่ที่ใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $(- 3, - 1)$

ข้อ 2

y = 2 x^{2} - 8 x + 1

แกนสมมาตรคือ(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 2$

ข้อ 3

y = - x^{2} + 4

กราฟหงายหรือคว่ำ และจุดยอดคือ(กดดูเฉลย)

ตอบ คว่ำ · จุดยอด $(0, 4)$

ข้อ 4

y = x^{2} - 4

ตัดแกน

X

ที่จุดใดบ้าง(กดดูเฉลย)

ตอบ $(2, 0)$ และ $(- 2, 0)$

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด