ม.3 · บทที่ 3🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~24 นาที

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

สมการรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ แก้ได้ 3 วิธี — แยกตัวประกอบ (เร็วสุดถ้าแยกได้) · ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ · สูตรกำลังสอง (ใช้ได้ทุกกรณี)

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · สมการกำลังสองตัวแปรเดียวและการนำไปใช้

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓เขียนสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน $a x^{2} + b x + c = 0$ ได้
✓แก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบ การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และสูตรกำลังสอง
✓ใช้ดิสคริมิแนนต์บอกจำนวนคำตอบได้โดยไม่ต้องแก้
✓แก้โจทย์ปัญหาที่นำไปสู่สมการกำลังสองได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

สมการกำลังสองquadratic equation

สมการที่เขียนได้ในรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$

ราก / คำตอบroot

ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง

ดิสคริมิแนนต์discriminant

ค่า $b^{2} - 4 a c$ ที่บอกจำนวนคำตอบ

3.1 รูปมาตรฐาน

รูปมาตรฐาน (ต้องจัดให้ได้รูปนี้ก่อนเสมอ)

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)

•ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว ให้อีกข้างเป็น $0$
• $a$ = สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ · $b$ = ของ $x$ · $c$ = ค่าคงตัว
•ถ้าไม่มีพจน์ไหนให้ถือว่าสัมประสิทธิ์นั้นเป็น $0$ เช่น $x^{2} - 9 = 0$ มี $b = 0$
•สมการกำลังสองมีคำตอบได้ มากที่สุด $2$ คำตอบ

✏️ตัวอย่าง

จัด $3 x^{2} = 5 x + 2$ ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน แล้วระบุ $a, b, c$

ขั้นที่ 1ย้ายทุกอย่างไปซ้าย: $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

ตอบ $a = 3, b = - 5, c = - 2$

💡 เครื่องหมายลบเป็นส่วนหนึ่งของค่า — $b = - 5$ ไม่ใช่ $5$ (พลาดตรงนี้แล้วใช้สูตรผิดทั้งข้อ)

3.2 วิธีที่ 1 — แยกตัวประกอบ (เร็วที่สุด)

🔑หลักการ: ผลคูณเป็นศูนย์

ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$ — เป็นสมบัติที่ใช้ได้เฉพาะกับ ศูนย์ เท่านั้น (ถ้า $A \times B = 6$ สรุปอะไรไม่ได้เลย)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $x^{2} - 7 x + 12 = 0$

ขั้นที่ 1แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนคูณได้ $12$ บวกได้ $- 7$ → $- 3$ กับ $- 4$
ขั้นที่ 2 $(x - 3) (x - 4) = 0$
ขั้นที่ 3 $x - 3 = 0$ หรือ $x - 4 = 0$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = 4$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2 x^{2} = 8 x$

ขั้นที่ 1จัดรูป: $2 x^{2} - 8 x = 0$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $2 x (x - 4) = 0$
ขั้นที่ 3 $2 x = 0$ หรือ $x - 4 = 0$

ตอบ $x = 0$ หรือ $x = 4$

💡 ⚠️ ห้ามหารทั้งสองข้างด้วย $x$ ตั้งแต่แรก — จะทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป ต้องย้ายมาข้างเดียวแล้วดึงร่วมเสมอ

3.3 วิธีที่ 2 — ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ใช้เมื่อแยกตัวประกอบไม่ได้ (และเป็นที่มาของสูตรกำลังสอง)

1จัดให้ $a = 1$ (ถ้าไม่ใช่ ให้หารทั้งสมการด้วย $a$ )
2ย้ายค่าคงตัวไปขวา
3นำ $(\frac{b}{2})^{2}$ บวกทั้งสองข้าง
4ข้างซ้ายจะกลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์ $(x + \frac{b}{2})^{2}$
5ถอดรากทั้งสองข้าง อย่าลืม $\pm$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ขั้นที่ 1ย้ายค่าคงตัว: $x^{2} + 6 x = 7$
ขั้นที่ 2 $(\frac{6}{2})^{2} = 9$ → บวก $9$ ทั้งสองข้าง
ขั้นที่ 3 $x^{2} + 6 x + 9 = 16$
ขั้นที่ 4 $(x + 3)^{2} = 16$
ขั้นที่ 5 $x + 3 = \pm 4$
ขั้นที่ 6 $x = - 3 + 4 = 1$ หรือ $x = - 3 - 4 = - 7$

ตอบ $x = 1$ หรือ $x = - 7$

3.4 วิธีที่ 3 — สูตรกำลังสอง (ใช้ได้ทุกกรณี)

สูตรกำลังสอง

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ด้วยสูตร

ขั้นที่ 1 $a = 2, b = - 5, c = - 3$
ขั้นที่ 2 $b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 (2) (- 3) = 25 + 24 = 49$
ขั้นที่ 3 $x = \frac{- ( - 5 ) \pm 49}{2 ( 2 )} = \frac{5 \pm 7}{4}$
ขั้นที่ 4 $x = \frac{12}{4} = 3$ หรือ $x = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = - \frac{1}{2}$

⚠️จุดที่พลาดบ่อยตอนใช้สูตร

▸ $- b$ เมื่อ $b$ ติดลบอยู่แล้ว จะกลายเป็นบวก เช่น $b = - 5 \Rightarrow - b = 5$
▸ $- 4 a c$ เมื่อ $c$ ติดลบ จะกลายเป็นบวก (ลบคูณลบ)
▸ส่วนคือ $2 a$ ทั้งก้อน ไม่ใช่แค่ $a$

3.5 ดิสคริมิแนนต์ — รู้จำนวนคำตอบก่อนแก้

ดิสคริมิแนนต์

D = b^{2} - 4 a c

ค่า $D$	จำนวนคำตอบ (จำนวนจริง)	กราฟตัดแกน $X$
$D > 0$	$2$ คำตอบต่างกัน	ตัด $2$ จุด
$D = 0$	$1$ คำตอบ (ซ้ำกัน)	สัมผัส $1$ จุด
$D < 0$	ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง	ไม่ตัดแกน $X$

✏️ตัวอย่าง

สมการ $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงกี่คำตอบ

ขั้นที่ 1 $a = 1, b = - 4, c = 7$
ขั้นที่ 2 $D = (- 4)^{2} - 4 (1) (7) = 16 - 28 = - 12$
ขั้นที่ 3 $D < 0$

ตอบ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

💡 ข้อสอบชอบถามแค่ “มีกี่คำตอบ” — คำนวณ $D$ อย่างเดียวก็ตอบได้ ไม่ต้องแก้สมการทั้งข้อ

3.6 โจทย์ปัญหา

✏️ตัวอย่าง

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวมากกว่าความกว้าง $3$ เมตร และมีพื้นที่ $54$ ตารางเมตร จงหาความกว้าง

ขั้นที่ 1ให้กว้าง $= x$ → ยาว $= x + 3$
ขั้นที่ 2 $x (x + 3) = 54$
ขั้นที่ 3 $x^{2} + 3 x - 54 = 0$
ขั้นที่ 4แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนคูณได้ $- 54$ บวกได้ $3$ → $9$ กับ $- 6$
ขั้นที่ 5 $(x + 9) (x - 6) = 0$ → $x = - 9$ หรือ $x = 6$
ขั้นที่ 6ความกว้างเป็นลบไม่ได้ → ตัด $x = - 9$ ทิ้ง

ตอบ กว้าง $6$ เมตร (และยาว $9$ เมตร)

💡 ต้องคัดคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผลทิ้งเสมอ — ความยาว อายุ จำนวนคน ติดลบไม่ได้ นี่คือขั้นที่นักเรียนลืมมากที่สุด

✏️ตัวอย่าง

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนเรียงติดกัน คูณกันได้ $132$ จงหาสองจำนวนนั้น

ขั้นที่ 1ให้จำนวนแรก $= x$ → จำนวนถัดไป $= x + 1$
ขั้นที่ 2 $x (x + 1) = 132$
ขั้นที่ 3 $x^{2} + x - 132 = 0$
ขั้นที่ 4 $(x + 12) (x - 11) = 0$ → $x = - 12$ หรือ $x = 11$
ขั้นที่ 5ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก → $x = 11$

ตอบ $11$ และ $12$

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

รูปมาตรฐาน

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

สูตรกำลังสอง

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

ดิสคริมิแนนต์

$D = b^{2} - 4 a c$

ผลคูณเป็นศูนย์

$A B = 0 \Rightarrow A = 0 หรือ B = 0$

ผลบวกและผลคูณของราก

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗หารทั้งสองข้างด้วย $x$ ทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป
✗ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ทั้งที่อีกข้างไม่ใช่ $0$
✗แทนค่า $b$ ผิดเครื่องหมายในสูตร
✗ลืมคัดคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผลออกในโจทย์ปัญหา
✗ลืม $\pm$ ตอนถอดราก

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1แก้

x^{2} - 9 = 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = - 3$

ข้อ 2แก้

x^{2} + 5 x + 6 = 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = - 2$ หรือ $x = - 3$

ข้อ 3แก้

x^{2} - 6 x = 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 0$ หรือ $x = 6$

ข้อ 4

x^{2} + 2 x + 5 = 0

มีคำตอบจริงกี่คำตอบ(กดดูเฉลย)

ตอบ ไม่มี ( $D = - 16 < 0$ )

ข้อ 5แก้

x^{2} - 4 x + 4 = 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 2$ (คำตอบเดียว)

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ สมการกำลังสองตัวแปรเดียว →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด