ม.3 · บทที่ 2🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~18 นาที

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

ต่อยอดจาก ม.2 — เพิ่มสูตรผลบวก/ผลต่างกำลังสาม และเทคนิคจัดกลุ่ม ทำให้แยกพหุนามดีกรี 3 ขึ้นไปได้

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓ใช้สูตรผลบวกและผลต่างของกำลังสามแยกตัวประกอบได้
✓ใช้วิธีจัดกลุ่มแยกตัวประกอบพหุนามสี่พจน์ได้
✓แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงให้สมบูรณ์ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ผลต่างกำลังสามdifference of cubes

$a^{3} - b^{3}$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้

การจัดกลุ่มgrouping

จับพจน์เป็นคู่ๆ แล้วดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่

2.1 ทบทวนเครื่องมือเดิม (ต้องแม่นก่อน)

รูปแบบ	แยกได้เป็น
ตัวประกอบร่วม	$ab + a c = a (b + c)$
ผลต่างกำลังสอง	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
กำลังสองสมบูรณ์	$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
สามพจน์ทั่วไป	$x^{2} + (m + n) x + mn = (x + m) (x + n)$

🔑สาระสำคัญ

ดึงตัวประกอบร่วมออกก่อนเสมอ — ในบทนี้ยิ่งสำคัญ เพราะพหุนามดีกรีสูงมักดึง $x$ ออกได้ แล้วเหลือของที่แยกต่อได้ง่ายกว่ามาก

2.2 ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ผลต่างกำลังสาม

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

ผลบวกกำลังสาม

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

💡วิธีจำที่ไม่มีวันสับสน

▸วงเล็บแรกใช้ เครื่องหมายเดียวกับโจทย์ ( $a^{3} - b^{3}$ → $(a - b)$ )
▸วงเล็บหลังพจน์กลางใช้ เครื่องหมายตรงข้าม
▸พจน์สุดท้าย บวกเสมอ
▸ต่างจากกำลังสอง: $a^{2} + b^{2}$ แยกไม่ได้ แต่ $a^{3} + b^{3}$ แยกได้

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{3} - 27$

ขั้นที่ 1 $27 = 3^{3}$ → เป็นผลต่างกำลังสาม โดย $a = x, b = 3$
ขั้นที่ 2 $= (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

ตอบ $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $8 x^{3} + 125$

ขั้นที่ 1 $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ และ $125 = 5^{3}$ → $a = 2 x, b = 5$
ขั้นที่ 2 $= (2 x + 5) ((2 x)^{2} - (2 x) (5) + 5^{2})$
ขั้นที่ 3 $= (2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

ตอบ $(2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

⚠️ระวัง

วงเล็บหลัง เช่น $x^{2} + 3 x + 9$ แยกต่อไม่ได้ — อย่าเสียเวลาหาคู่ที่คูณได้ $9$ บวกได้ $3$ (ไม่มี)

2.3 การจัดกลุ่ม (ใช้กับสี่พจน์)

1จับพจน์เป็น $2$ คู่ (มักเป็นคู่หน้ากับคู่หลัง)
2ดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่ออกมา
3ถ้าวงเล็บที่เหลือ เหมือนกัน ให้ดึงวงเล็บนั้นออก
4ถ้าไม่เหมือน ลองจับคู่ใหม่ หรือสลับลำดับพจน์

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$

ขั้นที่ 1จับคู่: $(x^{3} + 2 x^{2}) + (3 x + 6)$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $x^{2} (x + 2) + 3 (x + 2)$
ขั้นที่ 3วงเล็บเหมือนกัน → ดึง $(x + 2)$ ออก
ขั้นที่ 4 $= (x + 2) (x^{2} + 3)$

ตอบ $(x + 2) (x^{2} + 3)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์: $x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36$

ขั้นที่ 1จับคู่: $(x^{3} - 4 x^{2}) - (9 x - 36)$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$
ขั้นที่ 3ดึง $(x - 4)$ : $(x - 4) (x^{2} - 9)$
ขั้นที่ 4 $x^{2} - 9$ เป็นผลต่างกำลังสอง แยกต่อได้อีก
ขั้นที่ 5 $= (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

ตอบ $(x - 4) (x + 3) (x - 3)$

💡 แยกแล้วต้อง มองต่อทุกครั้ง ว่าวงเล็บที่ได้ยังแยกได้อีกไหม — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

2.4 เลือกวิธีให้ถูก

จำนวนพจน์	ลองอะไรก่อน
ทุกกรณี	ดึงตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ
$2$ พจน์	ผลต่างกำลังสอง → ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม
$3$ พจน์	กำลังสองสมบูรณ์ → หาคู่คูณ-บวก → แยกกลางพจน์
$4$ พจน์	จัดกลุ่ม

ดูจำนวนพจน์เป็นตัวตัดสินใจ

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์: $2 x^{4} - 32$

ขั้นที่ 1ดึงร่วม $2$ : $2 (x^{4} - 16)$
ขั้นที่ 2 $x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2}$ เป็นผลต่างกำลังสอง
ขั้นที่ 3 $= 2 (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$
ขั้นที่ 4 $x^{2} - 4$ ยังเป็นผลต่างกำลังสองอีก
ขั้นที่ 5 $= 2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

ตอบ $2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

💡 $x^{2} + 4$ เป็นผลบวกกำลังสอง แยกต่อไม่ได้ — หยุดตรงนี้ถูกแล้ว

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ผลต่างกำลังสาม

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

ผลบวกกำลังสาม

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

ผลต่างกำลังสอง

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

จัดกลุ่ม

$a x + a y + b x + b y = (a + b) (x + y)$

แยกไม่ได้

$a^{2} + b^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗สับสนเครื่องหมายในสูตรกำลังสาม (พจน์กลางของวงเล็บหลังต้องตรงข้ามกับวงเล็บแรก)
✗พยายามแยก $x^{2} + ab + b^{2}$ ต่อ ทั้งที่แยกไม่ได้
✗แยกไม่สุด — ลืมเช็คว่าวงเล็บที่ได้ยังแยกต่อได้อีก
✗ลืมดึงตัวประกอบร่วมก่อน ทำให้มองไม่เห็นรูปแบบ

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1แยกตัวประกอบ

x^{3} + 8

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

ข้อ 2แยกตัวประกอบ

27 x^{3} - 1

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$

ข้อ 3แยกตัวประกอบ

x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(x + 3) (x^{2} + 2)$

ข้อ 4แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์

3 x^{3} - 12 x

(กดดูเฉลย)

ตอบ $3 x (x + 2) (x - 2)$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด