ม.2 · บทที่ 2🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~22 นาที

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง

จำนวนจริงแบ่งเป็นตรรกยะ (เขียนเป็นเศษส่วนได้) กับอตรรกยะ (เขียนไม่ได้ เช่น $2$ ) — บทนี้คือการรู้จักราก หาค่าประมาณ และคำนวณกับรากให้คล่อง

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · จำนวนตรรกยะ อตรรกยะ รากที่สองและรากที่สาม

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓จำแนกจำนวนตรรกยะและอตรรกยะได้
✓หารากที่สองและรากที่สามของจำนวนที่กำหนดได้
✓ประมาณค่ารากที่สองที่ถอดไม่ลงตัวได้
✓บวก ลบ คูณ หาร จำนวนที่ติดรากอย่างง่ายได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

จำนวนตรรกยะrational number

จำนวนที่เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq = 0$

จำนวนอตรรกยะirrational number

จำนวนจริงที่เขียนเป็นเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้

รากที่สองsquare root

จำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้จำนวนนั้น

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์perfect square

จำนวนที่ถอดรากที่สองได้ลงตัว เช่น $1, 4, 9, 16, 25$

2.1 ตรรกยะ กับ อตรรกยะ

ชนิด	ลักษณะทศนิยม	ตัวอย่าง
ตรรกยะ	รู้จบ หรือ ซ้ำ	$0.75$ · $\frac{2}{3} = 0. 6$ · $- 7$ · $9 = 3$
อตรรกยะ	ไม่รู้จบ และ ไม่ซ้ำ	$2$ · $7$ · $π$

•จำนวนเต็มทุกตัวเป็นตรรกยะ เพราะเขียนเป็น $\frac{n}{1}$ ได้
•ทศนิยมซ้ำก็เป็นตรรกยะ เช่น $0. 3 = \frac{1}{3}$
• $n$ เป็นตรรกยะ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นจำนวนกำลังสองสมบูรณ์
•จำนวนจริง = ตรรกยะ $\cup$ อตรรกยะ (ไม่มีจำนวนจริงตัวไหนเป็นทั้งสองอย่าง)

⚠️ระวัง

$16$ ไม่ใช่ อตรรกยะ เพราะมันคือ $4$ — ดูที่ ค่า ไม่ใช่ที่หน้าตาว่ามีเครื่องหมายรากหรือเปล่า

2.2 รากที่สอง

นิยาม

a = b ⟺ b^{2} = a และ b \geq 0

• $x^{2} = 25$ มีคำตอบ สองค่า คือ $x = 5$ และ $x = - 5$
•แต่ $25$ หมายถึง รากที่สองที่เป็นบวก เท่านั้น คือ $5$
•เขียนคำตอบของสมการเป็น $x = \pm 25 = \pm 5$
•จำนวนลบไม่มีรากที่สองในระบบจำนวนจริง เช่น $- 9$ ไม่มีค่า

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^{2}$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
$n$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$n^{2}$	121	144	169	196	225	256	289	324	361	400

จำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ควรจำ

2.3 ประมาณค่ารากที่ถอดไม่ลงตัว

วิธีขนาบ (หาว่าอยู่ระหว่างจำนวนเต็มคู่ไหน)

1หาจำนวนกำลังสองสมบูรณ์ที่ น้อยกว่า และ มากกว่า จำนวนนั้น
2รากที่สองจะอยู่ระหว่างรากของสองจำนวนนั้น
3ดูว่าจำนวนเดิมใกล้ฝั่งไหนมากกว่า เพื่อประมาณทศนิยมตำแหน่งแรก

✏️ตัวอย่าง

ประมาณค่า $50$

ขั้นที่ 1 $49 < 50 < 64$
ขั้นที่ 2 $49 = 7$ และ $64 = 8$ ดังนั้น $7 < 50 < 8$
ขั้นที่ 3 $50$ ใกล้ $49$ มาก → คำตอบใกล้ $7$
ขั้นที่ 4ลอง $7. 1^{2} = 50.41$ ซึ่งเกินไปนิด → คำตอบอยู่ราว $7.07$

ตอบ ประมาณ $7.07$

💡เคล็ดลับ

ข้อสอบมักถามแค่ว่า “อยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด” — ตอบด้วยวิธีขนาบก็พอ ไม่ต้องกดเครื่องคิดเลข

2.4 รากที่สาม

นิยาม

3 a = b ⟺ b^{3} = a

•ต่างจากรากที่สอง — รากที่สามของจำนวนลบมีค่า เช่น $3 - 8 = - 2$ (เพราะ $(- 2)^{3} = - 8$ )
•เหตุผล: ยกกำลังสามของจำนวนลบยังเป็นลบ แต่ยกกำลังสองของอะไรก็เป็นบวก
•รากที่สามมีคำตอบเดียวเสมอในระบบจำนวนจริง

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^{3}$	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000

จำนวนกำลังสามที่ควรจำ

✏️ตัวอย่าง

ลูกบาศก์มีปริมาตร $343$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ด้านยาวเท่าใด

ขั้นที่ 1 $a^{3} = 343$
ขั้นที่ 2 $a = 3343 = 7$

ตอบ $7$ เซนติเมตร

2.5 การดำเนินการกับราก

คูณและหารรากทำได้ตรงๆ

a \cdot b = ab \frac{a}{b} = \frac{a}{b}

⚠️แต่บวกลบทำแบบนั้นไม่ได้

$a + b \neq = a + b$ — ลองแทน $a = 9, b = 16$ : ซ้าย $= 3 + 4 = 7$ แต่ขวา $= 25 = 5$ ไม่เท่ากัน

ทำรากให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1แยกตัวเลขในรากเป็น (กำลังสองสมบูรณ์) × (ที่เหลือ)
2ถอดรากเฉพาะส่วนที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ออกมานอกราก

✏️ตัวอย่าง

ทำ $72$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

ขั้นที่ 1 $72 = 36 \times 2$ โดย $36$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตัวใหญ่ที่สุดที่หารลงตัว
ขั้นที่ 2 $72 = 36 \cdot 2$
ขั้นที่ 3 $= 62$

ตอบ $62$

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $18 + 50$

ขั้นที่ 1 $18 = 9 \cdot 2 = 32$
ขั้นที่ 2 $50 = 25 \cdot 2 = 52$
ขั้นที่ 3ตอนนี้ “ตัวราก” เหมือนกันแล้ว จึงบวกสัมประสิทธิ์ได้: $32 + 52 = 82$

ตอบ $82$

💡 คิดว่า $2$ เป็นตัวแปร $x$ — $3 x + 5 x = 8 x$ ทำแบบเดียวกันเป๊ะ

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

รากที่สอง

$a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0$

รากที่สาม

$3 a = b ⟺ b^{3} = a$

คูณ/หารราก

$a b = ab$

ทำรากอย่างง่าย

$k^{2} m = k m$

สมการกำลังสอง

$x^{2} = a \Rightarrow x = \pm a$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ $a + b = a + b$ (ผิดสนิท)
✗ลืมใส่ $\pm$ ตอนแก้สมการ $x^{2} = k$
✗คิดว่า $- 4 = - 2$ (ผิด — จำนวนลบไม่มีรากที่สองในจำนวนจริง แต่รากที่สามมี)
✗แยกกำลังสองสมบูรณ์ไม่หมด เช่น ตอบ $218$ แทนที่จะเป็น $62$

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

196

(กดดูเฉลย)

ตอบ $14$

ข้อ 2

3 - 125

(กดดูเฉลย)

ตอบ $- 5$

ข้อ 3ทำ

98

ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย(กดดูเฉลย)

ตอบ $72$

ข้อ 4

45

อยู่ระหว่างจำนวนเต็มใด(กดดูเฉลย)

ตอบ ระหว่าง $6$ กับ $7$

ข้อ 5

12 + 27

(กดดูเฉลย)

ตอบ $53$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับจำนวนจริง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด