ม.2 · บทที่ 6🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~20 นาที

พหุนาม

พหุนามคือผลบวกของเอกนามหลายตัว — หัวใจคือ “บวกลบได้เฉพาะพจน์ที่คล้ายกัน” ส่วนการคูณต้องกระจายให้ครบทุกคู่

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · เอกนาม พหุนาม และการดำเนินการ

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกได้ว่านิพจน์ใดเป็นเอกนาม/พหุนาม และหาดีกรีได้
✓บวกและลบพหุนามได้
✓คูณพหุนามด้วยเอกนามและพหุนามด้วยพหุนามได้
✓หารพหุนามด้วยเอกนามได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

เอกนามmonomial

นิพจน์ที่เป็นผลคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์

พหุนามpolynomial

ผลบวกของเอกนามตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป

ดีกรีdegree

ผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรทั้งหมดในพจน์นั้น (ของพหุนาม = ดีกรีสูงสุด)

พจน์ที่คล้ายกันlike terms

พจน์ที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกันทุกประการ

6.1 เอกนามและดีกรี

นิพจน์	เป็นเอกนามไหม	เหตุผล
$5 x^{2} y$	ใช่	ค่าคงตัวคูณตัวแปร กำลังเป็นจำนวนเต็มบวก
$- 7$	ใช่	ค่าคงตัว (ดีกรี $0$ )
$\frac{3}{x}$	ไม่ใช่	เท่ากับ $3 x^{- 1}$ กำลังติดลบ
$x$	ไม่ใช่	กำลังไม่ใช่จำนวนเต็ม

•ดีกรีของเอกนาม = ผลบวกของเลขชี้กำลังของตัวแปรทุกตัว เช่น $5 x^{2} y^{3}$ มีดีกรี $2 + 3 = 5$
•ดีกรีของพหุนาม = ดีกรีที่สูงที่สุดในบรรดาพจน์ทั้งหมด
• $4 x^{3} - 2 x + 7$ มีดีกรี $3$ · เรียกว่าพหุนามดีกรีสาม

6.2 การบวกและลบพหุนาม

🔑กฎเดียวที่ต้องจำ

บวกลบได้เฉพาะ พจน์ที่คล้ายกัน เท่านั้น — ตัวแปรและเลขชี้กำลังต้องเหมือนกันเป๊ะ แล้วบวกลบเฉพาะสัมประสิทธิ์

• $3 x^{2}$ กับ $5 x^{2}$ คล้ายกัน → รวมได้เป็น $8 x^{2}$
• $3 x^{2}$ กับ $5 x^{3}$ ไม่คล้ายกัน → รวมไม่ได้
• $3 x y$ กับ $3 y x$ คล้ายกัน (การคูณสลับที่ได้)

✏️ตัวอย่าง

หาผลลบ: $(5 x^{2} - 3 x + 7) - (2 x^{2} + 4 x - 1)$

ขั้นที่ 1กระจายเครื่องหมายลบเข้าไปทุกพจน์ในวงเล็บหลัง
ขั้นที่ 2 $= 5 x^{2} - 3 x + 7 - 2 x^{2} - 4 x + 1$
ขั้นที่ 3รวมพจน์คล้าย: $(5 - 2) x^{2} + (- 3 - 4) x + (7 + 1)$
ขั้นที่ 4 $= 3 x^{2} - 7 x + 8$

ตอบ $3 x^{2} - 7 x + 8$

💡 เครื่องหมายลบหน้าวงเล็บคือจุดที่ผิดกันมากที่สุด — ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย ทุกพจน์ ไม่ใช่แค่พจน์แรก

6.3 การคูณพหุนาม

คูณด้วยเอกนาม — แจกแจงให้ครบ

a (b + c + d) = ab + a c + a d

✏️ตัวอย่าง

หาผลคูณ: $3 x (2 x^{2} - 4 x + 5)$

ขั้นที่ 1 $3 x \cdot 2 x^{2} = 6 x^{3}$
ขั้นที่ 2 $3 x \cdot (- 4 x) = - 12 x^{2}$
ขั้นที่ 3 $3 x \cdot 5 = 15 x$

ตอบ $6 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x$

คูณพหุนามสองพจน์ด้วยพหุนามสองพจน์ (วิธีหน้า-นอก-ใน-หลัง)

1หน้า: คูณพจน์หน้าของทั้งสองวงเล็บ
2นอก: พจน์หน้าของวงเล็บแรก × พจน์หลังของวงเล็บสอง
3ใน: พจน์หลังของวงเล็บแรก × พจน์หน้าของวงเล็บสอง
4หลัง: คูณพจน์หลังของทั้งสองวงเล็บ
5รวมพจน์ที่คล้ายกัน

✏️ตัวอย่าง

หาผลคูณ: $(x + 3) (x - 5)$

ขั้นที่ 1หน้า: $x \cdot x = x^{2}$
ขั้นที่ 2นอก: $x \cdot (- 5) = - 5 x$
ขั้นที่ 3ใน: $3 \cdot x = 3 x$
ขั้นที่ 4หลัง: $3 \cdot (- 5) = - 15$
ขั้นที่ 5รวม: $x^{2} - 5 x + 3 x - 15 = x^{2} - 2 x - 15$

ตอบ $x^{2} - 2 x - 15$

รูปแบบ	ผลลัพธ์
$(a + b)^{2}$	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b)$	$a^{2} - b^{2}$

รูปแบบที่ควรจำ (จะได้ไม่ต้องกระจายทุกครั้ง)

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $(2 x + 3)^{2}$

ขั้นที่ 1ใช้รูปแบบ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ โดย $a = 2 x, b = 3$
ขั้นที่ 2 $= (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + 3^{2}$
ขั้นที่ 3 $= 4 x^{2} + 12 x + 9$

ตอบ $4 x^{2} + 12 x + 9$

6.4 การหารพหุนามด้วยเอกนาม

แยกหารทีละพจน์

\frac{a + b + c}{d} = \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}

✏️ตัวอย่าง

หาผลหาร: $(12 x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2}) \div 4 x^{2}$

ขั้นที่ 1 $\frac{12 x ^{4}}{4 x ^{2}} = 3 x^{2}$
ขั้นที่ 2 $\frac{- 8 x ^{3}}{4 x ^{2}} = - 2 x$
ขั้นที่ 3 $\frac{4 x ^{2}}{4 x ^{2}} = 1$

ตอบ $3 x^{2} - 2 x + 1$

💡 พจน์สุดท้ายหารกันลงตัวได้ $1$ ไม่ใช่ $0$ — เป็นจุดที่พลาดกันบ่อยมาก

⚠️ระวัง

แยกหารแบบนี้ได้เฉพาะเมื่อ ตัวหารเป็นเอกนาม เท่านั้น · ถ้าตัวหารเป็นพหุนามหลายพจน์ จะทำแบบนี้ไม่ได้

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

แจกแจง

$a (b + c) = ab + a c$

กำลังสองสมบูรณ์

$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$

ผลต่างกำลังสอง

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

หารด้วยเอกนาม

$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗เครื่องหมายลบหน้าวงเล็บ กระจายไม่ครบทุกพจน์
✗รวมพจน์ที่ไม่คล้ายกัน เช่น $2 x + 3 x^{2} = 5 x^{3}$
✗ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ (ลืมพจน์กลาง $2 ab$ )
✗หารพหุนามลงตัวแล้วตอบ $0$ แทนที่จะเป็น $1$

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

(3 x^{2} + 2 x) - (x^{2} - 5 x)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $2 x^{2} + 7 x$

ข้อ 2

(x + 4) (x - 4)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x^{2} - 16$

ข้อ 3

(x - 6)^{2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x^{2} - 12 x + 36$

ข้อ 4

2 x (3 x^{2} - x + 4)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $6 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x$

ข้อ 5ดีกรีของ

7 x^{3} y^{2} - 4 x y + 9

(กดดูเฉลย)

ตอบ $5$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ พหุนาม →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด