ม.2 · บทที่ 5🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~18 นาที

สมบัติของเลขยกกำลัง

ต่อยอดจาก ม.1 — เพิ่มเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มลบ ซึ่งแปลว่า “ส่วนกลับ” ไม่ใช่ “ค่าติดลบ” และรวมสมบัติทั้งหมดให้ใช้คล่อง

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓ใช้สมบัติของเลขยกกำลังทั้งหมดในการทำนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายได้
✓เข้าใจความหมายของเลขชี้กำลังศูนย์และจำนวนเต็มลบ
✓คำนวณและเปรียบเทียบจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

เลขชี้กำลังลบnegative exponent

$a^{- n}$ หมายถึงส่วนกลับของ $a^{n}$ ไม่ได้แปลว่าค่าติดลบ

รูปอย่างง่ายsimplest form

เขียนให้เลขชี้กำลังเป็นบวกและไม่มีสมบัติที่ยังย่อได้เหลืออยู่

5.1 เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบ

นิยาม

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0)

📎ที่มา (ไม่ใช่กฎที่จำมาลอยๆ)

จากสมบัติการหาร $a^{2} \div a^{5} = a^{2 - 5} = a^{- 3}$ และถ้าหารตรงๆ ก็ได้ $\frac{a \cdot a}{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a} = \frac{1}{a ^{3}}$ — สองทางต้องได้ค่าเท่ากัน จึงสรุปว่า $a^{- 3} = \frac{1}{a ^{3}}$

⚠️อย่าสับสนเด็ดขาด

▸ $2^{- 3} = \frac{1}{8}$ (เป็นบวก ค่าน้อย) — ไม่ใช่ $- 8$
▸ $(- 2)^{3} = - 8$ (ฐานลบ) คนละเรื่องกับ $2^{- 3}$ (เลขชี้กำลังลบ)

เศษส่วนยกกำลังลบ = กลับเศษเป็นส่วน

(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}

5.2 สมบัติทั้งหมด (ตารางเดียวจบ)

สมบัติ	สูตร	ตัวอย่าง
คูณฐานเดียวกัน	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$
หารฐานเดียวกัน	$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$	$5^{6} \div 5^{2} = 5^{4}$
ยกกำลังซ้อน	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{4} = 3^{8}$
ยกกำลังผลคูณ	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 x)^{3} = 8 x^{3}$
ยกกำลังผลหาร	$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
เลขชี้กำลังศูนย์	$a^{0} = 1$	$7^{0} = 1$
เลขชี้กำลังลบ	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$3^{- 2} = \frac{1}{9}$

ใช้ได้เมื่อ $a, b \neq = 0$

⚠️สิ่งที่ไม่มีในตาราง = ทำไม่ได้

▸ $(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$
▸ $a^{m} + a^{n}$ ย่อไม่ได้ ถ้า $m \neq = n$ (บวกไม่ใช่คูณ)
▸ $a^{m} \cdot b^{n}$ ย่อไม่ได้ถ้าฐานต่างกันและเลขชี้กำลังต่างกัน

5.3 การทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

ลำดับที่ทำแล้วไม่พลาด

1กระจายเลขชี้กำลังนอกวงเล็บเข้าไปให้หมดก่อน
2รวมฐานเดียวกันด้วยการบวก/ลบเลขชี้กำลัง
3จัดให้เลขชี้กำลังเป็นบวกทั้งหมด (ย้ายข้ามเส้นเศษส่วน)
4คูณตัวเลขล้วนออกมาเป็นค่าสุดท้าย

✏️ตัวอย่าง

ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\frac{( 2 x ^{3} ) ^{2}}{4 x ^{- 1}}$

ขั้นที่ 1กระจายกำลังบนตัวเศษ: $(2 x^{3})^{2} = 4 x^{6}$
ขั้นที่ 2 $\frac{4 x ^{6}}{4 x ^{- 1}}$
ขั้นที่ 3ตัดเลข $4$ : เหลือ $\frac{x ^{6}}{x ^{- 1}}$
ขั้นที่ 4หารฐานเดียวกัน: $x^{6 - (- 1)} = x^{7}$

ตอบ $x^{7}$

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $(\frac{3}{4})^{- 2}$

ขั้นที่ 1กำลังลบของเศษส่วน = กลับเศษกับส่วน แล้วเปลี่ยนกำลังเป็นบวก
ขั้นที่ 2 $= (\frac{4}{3})^{2} = \frac{16}{9}$

ตอบ $\frac{16}{9}$

5.4 สัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (คำนวณได้ด้วย)

คูณและหารในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

(A \times 1 0^{m}) (B \times 1 0^{n}) = (A B) \times 1 0^{m + n}

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $(3 \times 1 0^{5}) \times (2 \times 1 0^{- 8})$

ขั้นที่ 1คูณตัวหน้า: $3 \times 2 = 6$
ขั้นที่ 2บวกเลขชี้กำลัง: $1 0^{5 + (- 8)} = 1 0^{- 3}$

ตอบ $6 \times 1 0^{- 3}$

💡เคล็ดลับ

ถ้าคูณแล้วตัวหน้าเกิน $10$ เช่นได้ $35 \times 1 0^{4}$ ต้องจัดใหม่เป็น $3.5 \times 1 0^{5}$ ให้ตรงรูปแบบมาตรฐาน

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

คูณฐานเดียวกัน

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$

หารฐานเดียวกัน

$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$

ยกกำลังซ้อน

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

เลขชี้กำลังลบ

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

เศษส่วนกำลังลบ

$(\frac{a}{b})^{- n} = (\frac{b}{a})^{n}$

เลขชี้กำลังศูนย์

$a^{0} = 1$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗คิดว่า $2^{- 3} = - 8$ (จริงๆ คือ $\frac{1}{8}$ )
✗บวกเลขชี้กำลังทั้งที่ฐานต่างกัน
✗ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$
✗ลืมกระจายเลขชี้กำลังให้สัมประสิทธิ์ด้วย เช่น $(2 x)^{3} = 2 x^{3}$ (ที่ถูกคือ $8 x^{3}$ )

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

5^{- 2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $\frac{1}{25}$

ข้อ 2

(2 a^{2})^{3}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $8 a^{6}$

ข้อ 3

\frac{x ^{5}}{x ^{- 2}}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x^{7}$

ข้อ 4

(\frac{1}{2})^{- 3}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $8$

ข้อ 5

(4 \times 1 0^{6}) \div (8 \times 1 0^{2})

(กดดูเฉลย)

ตอบ $5 \times 1 0^{3}$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ สมบัติของเลขยกกำลัง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด