ความเท่ากันทุกประการ
สองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อทับกันสนิท — สำหรับสามเหลี่ยม เราไม่ต้องเช็คครบทั้ง 6 อย่าง แค่ตรวจ 3 อย่างที่ถูกชุด (ส.ด.ส. · ด.ม.ด. · ม.ด.ม. · ม.ม.ด. · ฉ.ด.ด.) ก็สรุปได้
อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้
- ✓บอกความหมายของความเท่ากันทุกประการและเขียนสัญลักษณ์ได้ถูกต้อง
- ✓ระบุเงื่อนไขที่ใช้สรุปความเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยมได้
- ✓ใช้ความเท่ากันทุกประการพิสูจน์ว่าด้านหรือมุมที่ต้องการเท่ากัน
📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท
เท่ากันทุกประการcongruent
มีรูปร่างและขนาดเท่ากันทุกอย่าง เขียนแทนด้วย
ด้านคู่ที่สมนัยกันcorresponding sides
ด้านที่อยู่ตำแหน่งตรงกันของสองรูป
8.1 ความหมายและการเขียน
- •รูปสองรูป เท่ากันทุกประการ ถ้าเคลื่อนย้าย (เลื่อน/สะท้อน/หมุน) แล้วทับกันสนิทพอดี
- •เขียนแทนด้วย
- •⚠️ ลำดับตัวอักษรสำคัญมาก — สมนัยกับ , กับ , กับ
- •เมื่อเท่ากันทุกประการ จะได้ทันทีว่า ด้านคู่สมนัยยาวเท่ากัน และมุมคู่สมนัยเท่ากัน (รวม อย่าง)
🔑ประโยชน์จริงของบทนี้
เราพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการก่อน แล้วจึง สรุปได้ฟรี ว่าด้าน/มุมที่เราต้องการนั้นเท่ากัน — เป็นเครื่องมือหลักของการพิสูจน์เรขาคณิตทั้งหมด
8.2 เงื่อนไขที่ใช้สรุปได้
| ชื่อย่อ | เงื่อนไข | อ่านว่า |
|---|---|---|
| ด.ด.ด. (SSS) | ด้านสามคู่ยาวเท่ากัน | ด้าน-ด้าน-ด้าน |
| ด.ม.ด. (SAS) | สองด้านและมุมระหว่างสองด้านนั้น | ด้าน-มุม-ด้าน |
| ม.ด.ม. (ASA) | สองมุมและด้านระหว่างสองมุมนั้น | มุม-ด้าน-มุม |
| ม.ม.ด. (AAS) | สองมุมและด้านที่ไม่ได้อยู่ระหว่าง | มุม-มุม-ด้าน |
| ฉ.ด.ด. (HL) | มุมฉาก + ด้านตรงข้ามมุมฉาก + อีกด้านหนึ่ง | ใช้กับสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น |
ตรวจแค่ 3 อย่างที่ถูกชุด ก็พอ
⚠️สองชุดที่ใช้ไม่ได้ (ห้ามหลงกล)
- ▸ม.ม.ม. (AAA) — มุมเท่ากันหมดบอกได้แค่ว่า *คล้ายกัน* ไม่ได้บอกว่าขนาดเท่ากัน (รูปเล็กกับรูปใหญ่ก็มุมเท่ากันได้)
- ▸ด.ด.ม. (SSA) — สองด้านและมุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่าง อาจสร้างสามเหลี่ยมได้สองแบบต่างกัน จึงสรุปไม่ได้
8.3 รูปแบบการเขียนพิสูจน์
ขั้นตอนมาตรฐาน
- 1เขียนสิ่งที่ กำหนดให้ ทั้งหมด
- 2หาข้อมูลเพิ่มจากรูป เช่น ด้านร่วม มุมตรงข้าม มุมแย้ง
- 3จับให้ครบ อย่างตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่ง แล้วระบุชื่อเงื่อนไข
- 4สรุปว่าสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ
- 5จากนั้นจึงสรุปด้าน/มุมที่โจทย์ถาม (เพราะเป็นคู่สมนัยกัน)
💡ของแถมที่มักลืม
- ▸ด้านร่วม — ถ้าสองสามเหลี่ยมใช้ด้านเดียวกัน ด้านนั้นยาวเท่ากันแน่นอน (ฟรี 1 ข้อ)
- ▸มุมตรงข้าม ที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้น เท่ากันเสมอ (ฟรีอีก 1 ข้อ)
- ▸มุมแย้ง เมื่อมีเส้นขนาน เท่ากันเสมอ
กำหนดให้ และ จงพิสูจน์ว่า และสรุปว่า
- ขั้นที่ 1 (กำหนดให้)
- ขั้นที่ 2 (กำหนดให้)
- ขั้นที่ 3 (เป็นด้านร่วมของทั้งสองสามเหลี่ยม)
- ขั้นที่ 4ครบสามด้าน → (ด.ด.ด.)
- ขั้นที่ 5เมื่อเท่ากันทุกประการ มุมคู่สมนัยย่อมเท่ากัน
ตอบ
8.4 ผลที่ตามมา — สามเหลี่ยมหน้าจั่ว
- •สามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน
- •มุมที่ฐานเท่ากัน — พิสูจน์ได้ด้วยการลากเส้นแบ่งครึ่งมุมยอดแล้วใช้ ด.ม.ด.
- •บทกลับก็จริง: ถ้ามุมที่ฐานเท่ากัน ด้านประกอบมุมยอดก็ยาวเท่ากัน
- •สามเหลี่ยมด้านเท่า มีมุมภายในเท่ากันหมด มุมละ
สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีมุมยอด มุมที่ฐานแต่ละมุมกางกี่องศา
- ขั้นที่ 1มุมภายในรวม
- ขั้นที่ 2มุมที่ฐานสองมุมรวมกัน
- ขั้นที่ 3มุมที่ฐานเท่ากัน →
ตอบ มุมละ
📋 สรุปสูตรท้ายบท
หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้
สัญลักษณ์
เงื่อนไขที่ใช้ได้
เงื่อนไขที่ใช้ได้ (ต่อ)
ใช้ไม่ได้
มุมภายในสามเหลี่ยม
🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้
- ✗เขียนลำดับตัวอักษรไม่ตรงคู่สมนัย ทำให้สรุปด้าน/มุมผิดคู่
- ✗ใช้ ม.ม.ม. สรุปว่าเท่ากันทุกประการ (ได้แค่คล้ายกัน)
- ✗ใช้ ด.ด.ม. โดยไม่รู้ว่าอาจได้สามเหลี่ยมสองแบบ
- ✗ลืมใช้ด้านร่วม/มุมตรงข้าม ทั้งที่เป็นข้อมูลที่ได้มาฟรี
✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป
ข้อ 1ต้องใช้เงื่อนไขใดเมื่อรู้สองด้านและมุมระหว่างสองด้านนั้น(กดดูเฉลย)
ตอบ ด.ม.ด. (SAS)
ข้อ 2รู้สามมุมเท่ากันหมด สรุปว่าเท่ากันทุกประการได้ไหม(กดดูเฉลย)
ตอบ ไม่ได้ — สรุปได้แค่ว่าคล้ายกัน
ข้อ 3สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมที่ฐาน มุมยอดกี่องศา(กดดูเฉลย)
ตอบ
ข้อ 4 แล้ว เท่ากับด้านใด(กดดูเฉลย)
ตอบ
เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด