ม.1 · บทที่ 2📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~16 นาที

การสร้างทางเรขาคณิต

สร้างรูปเรขาคณิตด้วยวงเวียนกับสันตรงเท่านั้น ห้ามใช้ไม้บรรทัดวัดและห้ามใช้ไม้โพรแทรกเตอร์ — ทุกการสร้างมีเหตุผลรองรับว่าทำไมจึงถูกต้อง

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · การสร้างพื้นฐานทางเรขาคณิตด้วยวงเวียนและสันตรง

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓ใช้วงเวียนและสันตรงสร้างส่วนของเส้นตรง มุม เส้นตั้งฉาก และเส้นขนานได้
✓แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงและแบ่งครึ่งมุมได้
✓อธิบายเหตุผลว่าทำไมวิธีสร้างนั้นจึงได้รูปที่ต้องการ

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

สันตรงstraightedge

ไม้บรรทัดที่ใช้ลากเส้นตรงเท่านั้น ไม่ใช้อ่านค่าความยาว

วงเวียนcompass

เครื่องมือเขียนส่วนโค้ง/วงกลม และถ่ายทอดความยาว

เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากperpendicular bisector

เส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางและตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง

2.1 กติกาของการสร้าง

🔑กติกาที่ต้องเคารพ

▸ใช้ได้แค่ วงเวียน กับ สันตรง เท่านั้น
▸ห้ามวัดความยาวด้วยไม้บรรทัด และ ห้ามวัดมุมด้วยไม้โพรแทรกเตอร์
▸ต้องเหลือ รอยส่วนโค้ง ไว้เป็นหลักฐาน ไม่ลบทิ้ง

•วงเวียนทำได้ 2 อย่าง: เขียนวงกลม/ส่วนโค้ง และ ถ่ายทอดความยาว จากที่หนึ่งไปอีกที่หนึ่ง
•หลักการเบื้องหลังเกือบทุกการสร้างคือ จุดที่อยู่ห่างจากสองจุดเท่ากัน และ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันทุกด้าน

2.2 สร้างส่วนของเส้นตรงให้ยาวเท่าที่กำหนด

ต้องการคัดลอก $A B$ ไปไว้บนเส้นใหม่

1ลากเส้นตรงยาวพอ แล้วกำหนดจุด $C$ บนเส้นนั้น
2กางวงเวียนให้ปลายทั้งสองอยู่ที่ $A$ และ $B$ (นี่คือการ “จำ” ความยาว $A B$ )
3ยกวงเวียนมาปักที่ $C$ แล้วเขียนส่วนโค้งตัดเส้นตรงที่จุด $D$
4จะได้ $C D$ ยาวเท่ากับ $A B$

📎ทำไมจึงถูก

เพราะระยะกางของวงเวียนไม่เปลี่ยน จุด $D$ จึงห่างจาก $C$ เท่ากับที่ $B$ ห่างจาก $A$ พอดี

2.3 แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง (และสร้างเส้นตั้งฉาก)

1ปักวงเวียนที่ $A$ กางรัศมี มากกว่าครึ่งหนึ่ง ของ $A B$ เขียนส่วนโค้งทั้งบนและล่างเส้น
2ปักวงเวียนที่ $B$ ใช้รัศมีเท่าเดิม เขียนส่วนโค้งตัดกับของเดิม ได้จุดตัด $P$ (บน) และ $Q$ (ล่าง)
3ลาก $P Q$ — เส้นนี้ตัด $A B$ ที่จุดกึ่งกลาง $M$ และตั้งฉากกับ $A B$

📎ทำไมจึงถูก

$P$ และ $Q$ ต่างก็ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน จุดทุกจุดที่ห่างจากปลายทั้งสองเท่ากันจะอยู่บนเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ $A B$ เสมอ

⚠️ระวัง

ถ้ากางรัศมี น้อยกว่า ครึ่งหนึ่งของ $A B$ ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน สร้างไม่ได้

2.4 แบ่งครึ่งมุม

แบ่งครึ่งมุม $A B C$ (จุดยอดคือ $B$ )

1ปักวงเวียนที่จุดยอด $B$ เขียนส่วนโค้งตัดแขนทั้งสองที่จุด $X$ และ $Y$
2ปักที่ $X$ กางรัศมีพอสมควร เขียนส่วนโค้งไว้ภายในมุม
3ปักที่ $Y$ ใช้รัศมีเดิม เขียนส่วนโค้งตัดกัน ได้จุด $Z$
4ลากรังสี $B Z$ — นี่คือเส้นแบ่งครึ่งมุม

•ถ้าแบ่งครึ่งซ้ำอีกครั้ง จะได้ $\frac{1}{4}$ ของมุมเดิม
•แบ่งครึ่งมุม $9 0^{\circ}$ ได้ $4 5^{\circ}$ · แบ่งครึ่งมุม $6 0^{\circ}$ ได้ $3 0^{\circ}$

2.5 สร้างมุมขนาดที่ต้องการ

มุม	วิธีได้มา
$6 0^{\circ}$	สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า — มุมภายในเป็น $6 0^{\circ}$ อัตโนมัติ
$3 0^{\circ}$	แบ่งครึ่งมุม $6 0^{\circ}$
$9 0^{\circ}$	สร้างเส้นตั้งฉาก (จากวิธี 2.3)
$4 5^{\circ}$	แบ่งครึ่งมุม $9 0^{\circ}$
$12 0^{\circ}$	ต่อมุม $6 0^{\circ}$ สองมุมติดกัน

มุมที่สร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง

สร้างมุม $6 0^{\circ}$

1ลากรังสี $B A$ เป็นแขนแรก
2ปักวงเวียนที่ $B$ เขียนส่วนโค้งตัดรังสีที่จุด $P$
3ปักที่ $P$ ใช้รัศมีเดิม เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งแรกที่จุด $Q$
4ลากรังสี $B Q$ จะได้ $∠ A B Q = 6 0^{\circ}$

📎น่ารู้

เหตุผล: $B P = P Q = B Q$ (รัศมีเท่ากันทั้งหมด) จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมภายในจึงเป็น $6 0^{\circ}$

2.6 สร้างเส้นขนาน

สร้างเส้นผ่านจุด $P$ ให้ขนานกับเส้น $ℓ$

1ลากเส้นตัด (transversal) จาก $P$ ไปตัดเส้น $ℓ$ ที่จุด $Q$
2ที่จุด $Q$ จะเกิดมุมระหว่างเส้นตัดกับเส้น $ℓ$ — คัดลอกมุมนี้ไปไว้ที่จุด $P$ (วิธีคัดลอกมุมคล้ายข้อ 2.5)
3ลากเส้นตามแขนของมุมที่คัดลอกมา จะได้เส้นขนานกับ $ℓ$

🔑สาระสำคัญ

หลักการ: ถ้า มุมแย้งเท่ากัน (หรือมุมภายนอกกับมุมภายในตรงข้ามเท่ากัน) เส้นสองเส้นนั้นขนานกัน

2.7 การนำไปใช้ — สร้างรูปสามเหลี่ยม

•รู้ด้านทั้งสาม (ด.ด.ด.) — ลากด้านหนึ่งก่อน แล้วใช้วงเวียนกางเท่าอีกสองด้าน เขียนส่วนโค้งตัดกัน
•รู้สองด้านและมุมระหว่าง (ด.ม.ด.) — สร้างมุมก่อน แล้วตัดความยาวสองด้านลงบนแขนของมุม
•รู้สองมุมและด้านระหว่าง (ม.ด.ม.) — ลากด้านก่อน แล้วสร้างมุมที่ปลายทั้งสองข้าง

⚠️สร้างสามเหลี่ยมไม่ได้เมื่อไร

ถ้าด้านที่ยาวที่สุด ยาวกว่าหรือเท่ากับ ผลบวกของอีกสองด้าน ส่วนโค้งจะไม่ตัดกัน เช่น ด้าน $3, 4, 9$ สร้างไม่ได้เพราะ $3 + 4 < 9$

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

สามเหลี่ยมด้านเท่า → มุมภายใน

$6 0^{\circ}$

เงื่อนไขสร้างสามเหลี่ยมได้

$a + b > c ทุกคู่$

แบ่งครึ่งมุมฉาก

$9 0^{\circ} \div 2 = 4 5^{\circ}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ใช้ไม้บรรทัดวัดความยาวแทนวงเวียน (ผิดกติกา)
✗ลบรอยส่วนโค้งทิ้ง ทำให้ตรวจไม่ได้ว่าสร้างมาอย่างไร
✗กางวงเวียนน้อยกว่าครึ่งของส่วนของเส้นตรง ทำให้ส่วนโค้งไม่ตัดกัน
✗เปลี่ยนระยะกางวงเวียนกลางคัน ทั้งที่ขั้นตอนบอกให้ใช้รัศมีเดิม

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1จะสร้างมุม

7 5^{\circ}

ได้อย่างไร(กดดูเฉลย)

ตอบ สร้าง $6 0^{\circ}$ แล้วต่อด้วย $1 5^{\circ}$ (ได้จากแบ่งครึ่ง $3 0^{\circ}$ )

ข้อ 2ด้านยาว

5, 6, 12

สร้างสามเหลี่ยมได้หรือไม่(กดดูเฉลย)

ตอบ ไม่ได้ เพราะ $5 + 6 = 11 < 12$

ข้อ 3เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากของ

A B

มีสมบัติอะไร(กดดูเฉลย)

ตอบ ทุกจุดบนเส้นนี้อยู่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากัน

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด