ม.1 · บทที่ 3🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~18 นาที

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลังคือการเขียนการคูณซ้ำๆ ให้สั้นลง กฎทั้งหมดมาจากการนับจำนวนตัวคูณ ถ้าเข้าใจที่มาจะไม่ต้องท่องเลย

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · เข้าใจเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกความหมายของฐานและเลขชี้กำลัง และเขียนการคูณซ้ำในรูปเลขยกกำลังได้
✓ใช้สมบัติของเลขยกกำลังในการคูณ หาร และยกกำลังซ้อนได้
✓เขียนจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ฐานbase

จำนวนที่ถูกคูณซ้ำ — ตัวล่างของเลขยกกำลัง

เลขชี้กำลังexponent

จำนวนครั้งที่คูณซ้ำ — ตัวยกเล็กด้านบนขวา

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์scientific notation

การเขียนจำนวนในรูป $A \times 1 0^{n}$ โดย $1 \leq A < 10$

3.1 ความหมายของเลขยกกำลัง

นิยาม

a^{n} = n ตัว a \times a \times \dots \times a

• $a$ เรียกว่า ฐาน · $n$ เรียกว่า เลขชี้กำลัง
• $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$
•อ่านว่า “สองยกกำลังห้า” หรือ “สองกำลังห้า”
• $a^{1} = a$ เสมอ (คูณตัวเดียว)

⚠️อย่าสับสน

▸ $2^{5} \neq = 2 \times 5$ — คนละเรื่องกันคนละโลก ( $32$ กับ $10$ )
▸ $3^{2} = 9$ ไม่ใช่ $6$

3.2 คูณและหารเลขยกกำลังฐานเดียวกัน

คูณ — ฐานเดิม บวกเลขชี้กำลัง

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

หาร — ฐานเดิม ลบเลขชี้กำลัง

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0)

📎ที่มาของกฎ (ไม่ต้องท่อง)

$a^{3} \times a^{2} = (a \cdot a \cdot a) (a \cdot a)$ — นับดูมี $a$ ทั้งหมด $5$ ตัว จึงเป็น $a^{5}$ นั่นคือ $3 + 2$

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $\frac{2 ^{8} \times 2 ^{3}}{2 ^{5}}$

ขั้นที่ 1คูณข้างบนก่อน: $2^{8 + 3} = 2^{11}$
ขั้นที่ 2แล้วหาร: $2^{11 - 5} = 2^{6}$
ขั้นที่ 3 $2^{6} = 64$

ตอบ $64$

⚠️ระวัง

กฎนี้ใช้ได้เมื่อ ฐานเหมือนกัน เท่านั้น — $2^{3} \times 3^{2}$ บวกเลขชี้กำลังไม่ได้ ต้องคิดแยกเป็น $8 \times 9 = 72$

3.3 เลขยกกำลังของเลขยกกำลัง

ยกกำลังซ้อน — คูณเลขชี้กำลัง

(a^{m})^{n} = a^{mn}

ยกกำลังผลคูณ / ผลหาร

(ab)^{n} = a^{n} b^{n} (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

✏️ตัวอย่าง

เขียน $(2^{3})^{4} \times (3 \times 2)^{2}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

ขั้นที่ 1 $(2^{3})^{4} = 2^{12}$
ขั้นที่ 2 $(3 \times 2)^{2} = 3^{2} \times 2^{2} = 9 \times 4$
ขั้นที่ 3รวม: $2^{12} \times 2^{2} \times 9 = 2^{14} \times 9$

ตอบ $9 \times 2^{14}$

⚠️กับดักที่พลาดกันมากที่สุด

$(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}$ — เช่น $(2 + 3)^{2} = 25$ แต่ $2^{2} + 3^{2} = 13$ การยกกำลังแจกแจงเข้าไปในการบวกไม่ได้

3.4 เลขชี้กำลังศูนย์ และฐานที่ติดลบ

เลขชี้กำลังศูนย์

a^{0} = 1 (a \neq = 0)

เพราะ $a^{n} \div a^{n} = a^{0}$ และผลหารตัวเดียวกันย่อมเป็น $1$

นิพจน์	ความหมาย	ค่า
$(- 2)^{4}$	$(- 2)$ คูณกัน $4$ ตัว	$16$
$- 2^{4}$	ลบของ $2^{4}$	$- 16$
$(- 2)^{3}$	$(- 2)$ คูณกัน $3$ ตัว	$- 8$

วงเล็บสำคัญมาก

🔑กฎเครื่องหมายของฐานลบ

▸ฐานลบ + เลขชี้กำลัง คู่ → ผลลัพธ์เป็น บวก
▸ฐานลบ + เลขชี้กำลัง คี่ → ผลลัพธ์เป็น ลบ

3.5 สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

รูปแบบมาตรฐาน

A \times 1 0^{n} 1 \leq A < 10, n \in Z

•จำนวนใหญ่ → เลขชี้กำลัง บวก เช่น $53, 000 = 5.3 \times 1 0^{4}$
•จำนวนเล็กกว่า $1$ → เลขชี้กำลัง ลบ เช่น $0.00072 = 7.2 \times 1 0^{- 4}$
•นับ $n$ จากจำนวนครั้งที่เลื่อนจุดทศนิยม — เลื่อนซ้ายได้บวก เลื่อนขวาได้ลบ

✏️ตัวอย่าง

เขียน $0.000 00045$ ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ขั้นที่ 1ย้ายจุดทศนิยมไปทางขวาให้ได้ตัวเลข $1$ – $9$ ตัวหน้า: ได้ $4.5$
ขั้นที่ 2นับจำนวนครั้งที่ย้าย: $7$ ครั้ง (ย้ายขวา → เลขชี้กำลังเป็นลบ)

ตอบ $4.5 \times 1 0^{- 7}$

💡เคล็ดลับ

ใช้ตอนเทียบขนาด: $3 \times 1 0^{8}$ กับ $9 \times 1 0^{6}$ — ดูเลขชี้กำลังก่อน ตัวที่กำลังมากกว่าใหญ่กว่าทันที

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

คูณฐานเดียวกัน

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$

หารฐานเดียวกัน

$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$

ยกกำลังซ้อน

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

ยกกำลังผลคูณ

$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

เลขชี้กำลังศูนย์

$a^{0} = 1$

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

$A \times 1 0^{n}, 1 \leq A < 10$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ (ผิด — ต้องกระจายให้ครบ)
✗ $- 3^{2}$ กับ $(- 3)^{2}$ ตอบเหมือนกัน (ผิด — ได้ $- 9$ กับ $9$ )
✗บวกเลขชี้กำลังทั้งที่ฐานต่างกัน
✗เขียนสัญกรณ์วิทยาศาสตร์เป็น $53 \times 1 0^{3}$ (ผิดรูปแบบ ตัวหน้าต้องอยู่ระหว่าง $1$ ถึงน้อยกว่า $10$ )

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

3^{4} \times 3^{2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $3^{6} = 729$

ข้อ 2

\frac{5 ^{7}}{5 ^{4}}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $5^{3} = 125$

ข้อ 3

(2^{3})^{2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $2^{6} = 64$

ข้อ 4

(- 3)^{3}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $- 27$

ข้อ 5เขียน

86, 400

ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์(กดดูเฉลย)

ตอบ $8.64 \times 1 0^{4}$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ เลขยกกำลัง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด