ม.6 · บทที่ 1📊 สถิติและความน่าจะเป็นอ่าน ~26 นาที

การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ

สถิติฉบับสมบูรณ์ — นอกจากค่ากลางและควอร์ไทล์ที่เคยเรียน ยังเพิ่ม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งเป็นเครื่องมือวัดการกระจายที่ใช้จริงมากที่สุดในงานวิจัยและธุรกิจ

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: สถิติและความน่าจะเป็น · ค่ากลาง ตำแหน่งข้อมูล และการวัดการกระจาย (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓หาค่ากลางทุกชนิดรวมทั้งค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักได้
✓หาตำแหน่งของข้อมูล (ควอร์ไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์) ได้
✓คำนวณความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้
✓ใช้ค่ามาตรฐาน (z-score) เปรียบเทียบข้อมูลต่างชุดได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานstandard deviation

ค่าเฉลี่ยของระยะที่ข้อมูลห่างจากค่าเฉลี่ย เขียนแทนด้วย $s$ หรือ $σ$

ความแปรปรวนvariance

กำลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่ามาตรฐานz-score

บอกว่าข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยกี่เท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1.1 ค่ากลาง (ทบทวนและขยาย)

ค่ากลาง	สูตร/วิธี	เหมาะกับ
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	$x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}$	ข้อมูลไม่มีค่าสุดโต่ง
มัธยฐาน	ค่ากลางหลังเรียง	ข้อมูลเบ้ มีค่าสุดโต่ง
ฐานนิยม	ค่าที่พบบ่อยที่สุด	ข้อมูลเชิงคุณภาพ

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

x ˉ_{w} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}

✏️ตัวอย่าง

นักเรียนได้คะแนน: สอบกลางภาค $70$ (น้ำหนัก $30%$ ) · สอบปลายภาค $80$ (น้ำหนัก $50%$ ) · งาน $90$ (น้ำหนัก $20%$ ) คะแนนรวมเท่าใด

ขั้นที่ 1 $x ˉ_{w} = \frac{70 ( 30 ) + 80 ( 50 ) + 90 ( 20 )}{100}$
ขั้นที่ 2 $= \frac{2100 + 4000 + 1800}{100} = \frac{7900}{100}$

ตอบ $79$ คะแนน

💡 อย่าเฉลี่ยธรรมดา $(70 + 80 + 90) /3 = 80$ — จะได้คำตอบผิด เพราะแต่ละส่วนมีน้ำหนักไม่เท่ากัน

1.2 ตำแหน่งของข้อมูล

•ควอร์ไทล์ $Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}$ — แบ่งข้อมูลเป็น $4$ ส่วน
•เดไซล์ $D_{1}$ ถึง $D_{9}$ — แบ่งเป็น $10$ ส่วน
•เปอร์เซ็นไทล์ $P_{1}$ ถึง $P_{99}$ — แบ่งเป็น $100$ ส่วน
•ความสัมพันธ์: $Q_{1} = P_{25}$ · $Q_{2} = P_{50} = D_{5} =$ มัธยฐาน · $Q_{3} = P_{75}$

ตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ $r$ (ข้อมูลไม่จัดกลุ่ม)

ตำแหน่ง = \frac{r ( n + 1 )}{100}

🔑อ่านเปอร์เซ็นไทล์ให้เป็น

“ได้ $P_{90}$ ” ไม่ได้แปลว่าได้ $90$ คะแนน แต่แปลว่า มีคนได้น้อยกว่าเราประมาณ $90%$ — ผลสอบมาตรฐานทุกชนิดรายงานแบบนี้

✏️ตัวอย่าง

ข้อมูล $12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 35, 40$ ( $n = 10$ ) จงหา $P_{30}$

ขั้นที่ 1ตำแหน่ง $= \frac{30 ( 11 )}{100} = 3.3$
ขั้นที่ 2อยู่ระหว่างตัวที่ $3$ ( $18$ ) กับตัวที่ $4$ ( $20$ )
ขั้นที่ 3เทียบส่วน: $18 + 0.3 (20 - 18) = 18 + 0.6$

ตอบ $P_{30} = 18.6$

1.3 การวัดการกระจาย

เครื่องมือ	สูตร	จุดเด่น/จุดอ่อน
พิสัย	$x_{m a x} - x_{m i n}$	ง่ายที่สุด แต่ไวต่อค่าสุดโต่งมาก
พิสัยระหว่างควอร์ไทล์	$Q_{3} - Q_{1}$	ทนค่าสุดโต่ง แต่ไม่ใช้ข้อมูลทุกตัว
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน	$ความแปรปรวน$	ใช้ข้อมูลทุกตัว เป็นมาตรฐานสากล

ความแปรปรวนของประชากร

σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}

ความแปรปรวนของตัวอย่าง (หารด้วย $n - 1$ )

s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}

📎ทำไมตัวอย่างหารด้วย $n - 1$

เพราะค่าเฉลี่ยของตัวอย่างมักอยู่ “ใกล้ข้อมูลตัวอย่างเกินจริง” ทำให้ความแปรปรวนที่คำนวณได้ต่ำกว่าความจริง — การหารด้วย $n - 1$ ชดเชยตรงนี้ให้

วิธีคำนวณทีละขั้น

1หาค่าเฉลี่ย $x ˉ$
2หาผลต่างจากค่าเฉลี่ยของแต่ละตัว $(x_{i} - x ˉ)$
3ยกกำลังสองทุกตัว (เพื่อไม่ให้บวกลบหักล้างกันหมด)
4บวกรวมแล้วหารด้วย $n$ (หรือ $n - 1$ )
5ถอดรากได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

✏️ตัวอย่าง

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$

ขั้นที่ 1 $x ˉ = \frac{40}{8} = 5$
ขั้นที่ 2ผลต่าง: $- 3, - 1, - 1, - 1, 0, 0, 2, 4$
ขั้นที่ 3ยกกำลังสอง: $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$ → รวม $= 32$
ขั้นที่ 4 $σ^{2} = \frac{32}{8} = 4$
ขั้นที่ 5 $σ = 4 = 2$

ตอบ $σ = 2$

💡 ตรวจความสมเหตุสมผล: ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ห่างค่าเฉลี่ยราว $1$ – $3$ หน่วย ได้ $σ = 2$ จึงสมเหตุสมผล · ถ้าได้ $20$ แปลว่าคำนวณผิดแน่

1.4 ค่ามาตรฐาน (z-score)

ค่ามาตรฐาน

z = \frac{x - x ˉ}{s}

🔑ประโยชน์จริง — เทียบข้ามชุดข้อมูลได้

ได้เลข $80$ วิชาคณิต กับ $70$ วิชาอังกฤษ — อันไหนเก่งกว่า? เทียบตรงๆ ไม่ได้เพราะข้อสอบยากไม่เท่ากัน แต่ z-score เทียบได้ เพราะแปลงเป็นหน่วยเดียวกันหมด

✏️ตัวอย่าง

คณิต: ได้ $80$ · ค่าเฉลี่ยห้อง $70$ · $s = 5$ | อังกฤษ: ได้ $70$ · ค่าเฉลี่ยห้อง $55$ · $s = 10$ — วิชาไหนทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อน

ขั้นที่ 1คณิต: $z = \frac{80 - 70}{5} = 2$
ขั้นที่ 2อังกฤษ: $z = \frac{70 - 55}{10} = 1.5$
ขั้นที่ 3 $2 > 1.5$

ตอบ คณิตทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อนในห้อง

💡 แม้คะแนนดิบอังกฤษจะดูห่างค่าเฉลี่ยมากกว่า ( $15$ vs $10$ ) แต่วิชาอังกฤษกระจายกว้างกว่า จึงไม่โดดเด่นเท่า

• $z > 0$ → อยู่เหนือค่าเฉลี่ย · $z < 0$ → ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย
• $∣ z ∣ > 2$ ถือว่าค่อนข้างโดดเด่น/ผิดปกติ
•ข้อมูลชุดที่แปลงเป็น z แล้วจะมีค่าเฉลี่ย $0$ และ $s = 1$ เสมอ

1.5 การแปลความและกับดัก

⚠️กับดักที่เจอบ่อยในข่าวและงานวิจัย

▸ความสัมพันธ์ ≠ เป็นเหตุเป็นผล — ยอดขายไอศกรีมกับคนจมน้ำโตพร้อมกัน เพราะอากาศร้อน ไม่ใช่ไอศกรีมทำให้จมน้ำ
▸ค่าเฉลี่ยซ่อนความจริง — “รายได้เฉลี่ย” ที่มีมหาเศรษฐีอยู่หนึ่งคน ไม่สะท้อนคนส่วนใหญ่
▸กลุ่มตัวอย่างเอนเอียง — สำรวจความเห็นเรื่องอินเทอร์เน็ตผ่านแบบสอบถามออนไลน์
▸ตัวเลขไม่มีบริบท — “เพิ่มขึ้น $200%$ ” จาก $1$ เป็น $3$ ก็ยังน้อยอยู่ดี

•รายงานผลควรบอก ทั้งค่ากลางและการกระจาย — บอกอย่างเดียวไม่พอ
•ระบุ ขนาดตัวอย่าง เสมอ — $n = 10$ กับ $n = 10, 000$ น่าเชื่อถือต่างกันมาก
•ดูว่าข้อมูลเก็บมาอย่างไร ก่อนเชื่อข้อสรุป

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ค่าเฉลี่ย

$x ˉ = \frac{\sum x _{i}}{n}$

ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก

$x ˉ_{w} = \frac{\sum w _{i} x _{i}}{\sum w _{i}}$

ความแปรปรวน (ประชากร)

$σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - μ ) ^{2}}{N}$

ความแปรปรวน (ตัวอย่าง)

$s^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n - 1}$

ค่ามาตรฐาน

$z = \frac{x - x ˉ}{s}$

ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์

$\frac{r ( n + 1 )}{100}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗เฉลี่ยธรรมดาทั้งที่ต้องถ่วงน้ำหนัก
✗ลืมถอดรากตอนหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ตอบความแปรปรวนแทน)
✗สับสนสูตรประชากร ( $N$ ) กับตัวอย่าง ( $n - 1$ )
✗แปล $P_{90}$ ว่าได้ $90$ คะแนน
✗สรุปว่าความสัมพันธ์คือเหตุเป็นผล

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1ข้อมูล

3, 5, 7

ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนประชากรเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $x ˉ = 5$ · $σ^{2} = \frac{8}{3}$

ข้อ 2

Q_{2}

เท่ากับเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $P_{50}$ (มัธยฐาน)

ข้อ 3ได้

85

เมื่อค่าเฉลี่ย

75

และ

s = 5

ค่า z เท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $2$

ข้อ 4ตัววัดการกระจายใดทนต่อค่าสุดโต่งที่สุด(กดดูเฉลย)

ตอบ พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ (IQR)

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ การวิเคราะห์ข้อมูลเชิงปริมาณ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด