ม.5 · เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิตอ่าน ~26 นาที

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ขยายตรีโกณจากสามเหลี่ยมมุมฉาก (ที่ทำได้แค่มุม $0$ – $9 0^{\circ}$ ) ไปสู่วงกลมหนึ่งหน่วย ที่ใช้ได้กับมุมทุกขนาด รวมทั้งมุมลบและมุมเกินหนึ่งรอบ

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: การวัดและเรขาคณิต · วงกลมหนึ่งหน่วย เรเดียน และกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓แปลงระหว่างองศากับเรเดียนได้
✓หาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมใดๆ โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วยได้
✓บอกเครื่องหมายของฟังก์ชันในแต่ละจตุภาคได้
✓เขียนและอ่านกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

วงกลมหนึ่งหน่วยunit circle

วงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด

เรเดียนradian

หน่วยวัดมุมที่ใช้ความยาวส่วนโค้งเทียบรัศมี

คาบperiod

ช่วงที่กราฟซ้ำรูปเดิม

แอมพลิจูดamplitude

ครึ่งหนึ่งของระยะระหว่างค่าสูงสุดกับต่ำสุด

3.1 จากสามเหลี่ยมสู่วงกลมหนึ่งหน่วย

บนวงกลมรัศมี 1 จุดที่มุม $θ$ คือ

(cos θ, sin θ)

• $cos θ$ = พิกัด $x$ · $sin θ$ = พิกัด $y$ · $tan θ = \frac{y}{x} = \frac{sin θ}{cos θ}$
•รัศมีเป็น $1$ ทำให้ $sin$ กับ $cos$ อ่านออกจากพิกัดได้ตรงๆ
•จึงนิยามมุมได้ทุกขนาด — เกิน $9 0^{\circ}$ เกิน $36 0^{\circ}$ หรือติดลบก็ได้
•มุมบวก = หมุนทวนเข็มนาฬิกา · มุมลบ = หมุนตามเข็ม

เอกลักษณ์ที่ตามมาทันที (จากพีทาโกรัส)

sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

จตุภาค	$sin$	$cos$	$tan$	ตัวที่เป็นบวก
ที่ 1 ( $0$ – $9 0^{\circ}$ )	$+$	$+$	$+$	A ทุกตัว
ที่ 2 ( $90$ – $18 0^{\circ}$ )	$+$	$-$	$-$	S เฉพาะ sin
ที่ 3 ( $180$ – $27 0^{\circ}$ )	$-$	$-$	$+$	T เฉพาะ tan
ที่ 4 ( $270$ – $36 0^{\circ}$ )	$-$	$+$	$-$	C เฉพาะ cos

เครื่องหมายในแต่ละจตุภาค

💡เคล็ดลับ

จำด้วย A-S-T-C วนทวนเข็มจากจตุภาคที่ 1 — หรือจำว่า $cos$ คือ $x$ (ซ้ายลบขวาบวก) และ $sin$ คือ $y$ (บนบวกล่างลบ) ก็ได้เหตุผลเดียวกันแต่ไม่ต้องท่อง

3.2 เรเดียน

ความสัมพันธ์หลัก

π เรเดียน = 18 0^{\circ}

•องศา → เรเดียน: คูณ $\frac{π}{180}$
•เรเดียน → องศา: คูณ $\frac{180}{π}$
• $1$ เรเดียน = มุมที่รองรับส่วนโค้งยาวเท่ากับรัศมีพอดี ( $\approx 57. 3^{\circ}$ )
•หนึ่งรอบ $= 2 π$ เรเดียน $= 36 0^{\circ}$

องศา	$0$	$30$	$45$	$60$	$90$	$180$	$270$	$360$
เรเดียน	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$

มุมที่ต้องจำ

ความยาวส่วนโค้งและพื้นที่เซกเตอร์ (เมื่อ $θ$ เป็นเรเดียน)

s = r θ A = \frac{1}{2} r^{2} θ

💡เคล็ดลับ

สังเกตว่าสูตรเรเดียนสั้นกว่าสูตรองศา ( $\frac{θ}{360} \cdot 2 π r$ ) มาก — นี่คือเหตุผลที่คณิตศาสตร์ระดับสูงใช้เรเดียนเป็นหลัก

3.3 หาค่าของมุมใดๆ

วิธีหาค่ามุมนอกจตุภาคที่ 1

1ถ้ามุมเกิน $36 0^{\circ}$ หรือติดลบ ให้บวก/ลบ $36 0^{\circ}$ จนอยู่ในช่วง $0$ – $36 0^{\circ}$
2หา มุมอ้างอิง — มุมแหลมที่ทำกับแกน $X$
3หาค่าของมุมอ้างอิงจากตารางมุมพิเศษ
4ใส่เครื่องหมายตามจตุภาค (ใช้ A-S-T-C)

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $sin 15 0^{\circ}$

ขั้นที่ 1 $15 0^{\circ}$ อยู่ในจตุภาคที่ $2$
ขั้นที่ 2มุมอ้างอิง $= 180 - 150 = 3 0^{\circ}$
ขั้นที่ 3 $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
ขั้นที่ 4จตุภาคที่ $2$ → $sin$ เป็นบวก

ตอบ $\frac{1}{2}$

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $cos \frac{4 π}{3}$

ขั้นที่ 1 $\frac{4 π}{3} = 24 0^{\circ}$ อยู่ในจตุภาคที่ $3$
ขั้นที่ 2มุมอ้างอิง $= 240 - 180 = 6 0^{\circ}$
ขั้นที่ 3 $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
ขั้นที่ 4จตุภาคที่ $3$ → $cos$ เป็นลบ

ตอบ $- \frac{1}{2}$

3.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์	คาบ
$y = sin x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = cos x$	$R$	$[- 1, 1]$	$2 π$
$y = tan x$	$x \neq = \frac{π}{2} + k π$	$R$	$π$

• $sin$ เริ่มที่ $0$ ขึ้นก่อน · $cos$ เริ่มที่ $1$ ลงก่อน — รูปเหมือนกัน แค่เลื่อนกัน $\frac{π}{2}$
• $tan$ มี เส้นกำกับ ตรงที่ $cos x = 0$ (เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์) และคาบสั้นกว่าเพื่อนแค่ $π$
• $sin$ เป็นฟังก์ชันคี่ ( $sin (- x) = - sin x$ ) · $cos$ เป็นฟังก์ชันคู่ ( $cos (- x) = cos x$ )

รูปทั่วไป

y = A sin (B (x - C)) + D

ตัวแปร	ผลต่อกราฟ
$∣ A ∣$	แอมพลิจูด — ยืด/หดแนวตั้ง
$B$	คาบ $= \frac{2 π}{∣ B ∣}$ — ยิ่ง $B$ มาก กราฟยิ่งถี่
$C$	เลื่อนซ้าย-ขวา
$D$	เลื่อนขึ้น-ลง (เส้นกลางใหม่)

แต่ละตัวทำอะไร

✏️ตัวอย่าง

$y = 3 sin (2 x) + 1$ มีแอมพลิจูด คาบ และเรนจ์เท่าใด

ขั้นที่ 1 $A = 3$ → แอมพลิจูด $= 3$
ขั้นที่ 2 $B = 2$ → คาบ $= \frac{2 π}{2} = π$
ขั้นที่ 3 $D = 1$ → เส้นกลางอยู่ที่ $y = 1$
ขั้นที่ 4เรนจ์: $1 \pm 3$ → $[- 2, 4]$

ตอบ แอมพลิจูด $3$ · คาบ $π$ · เรนจ์ $[- 2, 4]$

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

วงกลมหนึ่งหน่วย

$(cos θ, sin θ)$

เอกลักษณ์พีทาโกรัส

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

องศา-เรเดียน

$π = 18 0^{\circ}$

ความยาวส่วนโค้ง

$s = r θ$

พื้นที่เซกเตอร์

$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$

คาบของ y=A sin(Bx)

$\frac{2 π}{∣ B ∣}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ใช้ตารางมุมพิเศษโดยลืมใส่เครื่องหมายตามจตุภาค
✗สับสนสูตรส่วนโค้งแบบองศากับแบบเรเดียน
✗คิดว่าคาบของ $tan$ เป็น $2 π$ (จริงๆ คือ $π$ )
✗หาแอมพลิจูดจาก $A$ โดยลืมใส่ค่าสัมบูรณ์

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

cos 18 0^{\circ}

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $- 1$

ข้อ 2

\frac{π}{3}

เรเดียน เท่ากับกี่องศา(กดดูเฉลย)

ตอบ $6 0^{\circ}$

ข้อ 3

sin \frac{7 π}{6}

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $- \frac{1}{2}$

ข้อ 4คาบของ

y = cos (3 x)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $\frac{2 π}{3}$

ข้อ 5เรนจ์ของ

y = 2 sin x - 1

(กดดูเฉลย)

ตอบ $[- 3, 1]$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด