ม.5 · บทที่ 1🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~24 นาที

ลำดับและอนุกรม

ลำดับคือชุดตัวเลขที่เรียงตามกฎ ส่วนอนุกรมคือผลบวกของลำดับ — มีแค่สองแบบหลักที่ต้องแม่น คือ “บวกเท่าเดิมทุกครั้ง” กับ “คูณเท่าเดิมทุกครั้ง”

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · ลำดับเลขคณิต ลำดับเรขาคณิต และอนุกรม (พื้นฐาน)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓แยกได้ว่าลำดับที่กำหนดเป็นลำดับเลขคณิตหรือเรขาคณิต
✓หาพจน์ทั่วไปและพจน์ที่ต้องการของลำดับได้
✓หาผลบวก $n$ พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิตได้
✓ใช้สัญลักษณ์ซิกมาและนำไปแก้โจทย์ในชีวิตจริงได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

ลำดับsequence

ชุดของจำนวนที่เรียงกันตามลำดับที่แน่นอน

ผลต่างร่วมcommon difference

ค่าที่บวกเพิ่มทุกพจน์ในลำดับเลขคณิต เขียนแทนด้วย $d$

อัตราส่วนร่วมcommon ratio

ค่าที่คูณทุกพจน์ในลำดับเรขาคณิต เขียนแทนด้วย $r$

อนุกรมseries

ผลบวกของพจน์ในลำดับ

1.1 ลำดับคืออะไร

•เขียนพจน์ที่ $n$ ว่า $a_{n}$ — $a_{1}$ คือพจน์แรก $a_{2}$ พจน์ที่สอง ไปเรื่อยๆ
•พจน์ทั่วไป $a_{n}$ คือสูตรที่บอกว่าพจน์ที่ $n$ เป็นเท่าไร โดยไม่ต้องไล่นับ
•ลำดับจำกัด มีพจน์สุดท้าย · ลำดับอนันต์ ไม่มีที่สิ้นสุด

วิธีดูว่าเป็นลำดับแบบไหน

1ลอง ลบ พจน์ติดกัน — ถ้าได้เท่ากันทุกคู่ → เลขคณิต
2ลอง หาร พจน์ติดกัน — ถ้าได้เท่ากันทุกคู่ → เรขาคณิต
3ถ้าไม่เข้าทั้งสองแบบ ให้หาความสัมพันธ์อื่น (เช่น กำลังสอง หรือบวกกันเอง)

ลำดับ	ชนิด	ค่า
$3, 7, 11, 15, \dots$	เลขคณิต	$d = 4$
$2, 6, 18, 54, \dots$	เรขาคณิต	$r = 3$
$1, 4, 9, 16, \dots$	ไม่ใช่ทั้งสอง	เป็น $n^{2}$
$100, 50, 25, \dots$	เรขาคณิต	$r = \frac{1}{2}$

ฝึกแยกให้ออก

1.2 ลำดับเลขคณิต

พจน์ทั่วไป

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

💡ทำไมเป็น $(n - 1)$ ไม่ใช่ $n$

กว่าจะถึงพจน์ที่ $n$ เราบวก $d$ ไปแล้ว $n - 1$ ครั้ง — พจน์แรกยังไม่ได้บวกอะไรเลย (เหมือนนับช่องว่างระหว่างเสา ไม่ใช่นับเสา)

✏️ตัวอย่าง

ลำดับ $5, 9, 13, \dots$ จงหาพจน์ที่ $20$

ขั้นที่ 1 $a_{1} = 5$ · $d = 9 - 5 = 4$
ขั้นที่ 2 $a_{20} = 5 + (20 - 1) (4) = 5 + 76$

ตอบ $81$

✏️ตัวอย่าง

ลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ $3$ เป็น $11$ และพจน์ที่ $7$ เป็น $27$ จงหา $a_{1}$ และ $d$

ขั้นที่ 1จากพจน์ที่ $3$ ถึงพจน์ที่ $7$ ห่างกัน $4$ ช่วง
ขั้นที่ 2 $27 - 11 = 16$ ดังนั้น $4 d = 16 \Rightarrow d = 4$
ขั้นที่ 3 $a_{3} = a_{1} + 2 d \Rightarrow 11 = a_{1} + 8 \Rightarrow a_{1} = 3$

ตอบ $a_{1} = 3$ · $d = 4$

💡 โจทย์ให้สองพจน์มา ให้คิดว่า “ห่างกันกี่ช่วง” แล้วหารเอา เร็วกว่าตั้งระบบสมการ

1.3 ลำดับเรขาคณิต

พจน์ทั่วไป

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

• $∣ r ∣ > 1$ → พจน์โตขึ้นเรื่อยๆ · $∣ r ∣ < 1$ → พจน์เล็กลงเข้าใกล้ศูนย์
• $r$ ติดลบ → เครื่องหมายสลับบวกลบไปมา
• $r$ หาได้จาก $\frac{a _{2}}{a _{1}}$ หรือพจน์ติดกันคู่ไหนก็ได้

✏️ตัวอย่าง

ลำดับ $3, 6, 12, \dots$ จงหาพจน์ที่ $8$

ขั้นที่ 1 $a_{1} = 3$ · $r = \frac{6}{3} = 2$
ขั้นที่ 2 $a_{8} = 3 \cdot 2^{7} = 3 \times 128$

ตอบ $384$

✏️ตัวอย่าง

แบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง เริ่มต้นมี $500$ ตัว อีก $6$ ชั่วโมงจะมีกี่ตัว

ขั้นที่ 1เป็นลำดับเรขาคณิต $a_{1} = 500$ (ชั่วโมงที่ $0$ ) · $r = 2$
ขั้นที่ 2หลัง $6$ ชั่วโมง คูณสองไปแล้ว $6$ ครั้ง
ขั้นที่ 3 $500 \times 2^{6} = 500 \times 64$

ตอบ $32, 000$ ตัว

1.4 อนุกรมเลขคณิต

ผลบวก $n$ พจน์แรก (ใช้เมื่อรู้พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย)

S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})

อีกรูป (ใช้เมื่อรู้ $a_{1}$ กับ $d$ )

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]

📎ที่มาแบบเด็กชายเกาส์

จับพจน์หัวกับท้ายมาบวกกัน: $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ , … ได้ $101$ เท่ากันหมด มีทั้งหมด $50$ คู่ → $50 \times 101 = 5050$ · สูตร $\frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ก็คือ “จำนวนคู่ × ผลบวกของแต่ละคู่” นั่นเอง

✏️ตัวอย่าง

หาผลบวกของ $2 + 5 + 8 + \dots$ ถึงพจน์ที่ $30$

ขั้นที่ 1 $a_{1} = 2$ · $d = 3$
ขั้นที่ 2 $S_{30} = \frac{30}{2} [2 (2) + 29 (3)] = 15 [4 + 87]$
ขั้นที่ 3 $= 15 \times 91$

ตอบ $1, 365$

1.5 อนุกรมเรขาคณิต

ผลบวก $n$ พจน์แรก

S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} (r \neq = 1)

ผลบวกอนันต์ (มีค่าเมื่อ $∣ r ∣ < 1$ เท่านั้น)

S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r}

⚠️ระวัง

$S_{\infty}$ ใช้ได้ ก็ต่อเมื่อ $∣ r ∣ < 1$ — ถ้า $∣ r ∣ \geq 1$ ผลบวกจะโตไม่มีที่สิ้นสุด (ไม่ลู่เข้า) ตอบว่า “หาค่าไม่ได้”

✏️ตัวอย่าง

หาผลบวก $2 + 6 + 18 + \dots$ ถึง $5$ พจน์

ขั้นที่ 1 $a_{1} = 2$ · $r = 3$ · $n = 5$
ขั้นที่ 2 $S_{5} = \frac{2 ( 1 - 3 ^{5} )}{1 - 3} = \frac{2 ( 1 - 243 )}{- 2} = \frac{2 ( - 242 )}{- 2}$

ตอบ $242$

✏️ตัวอย่าง

หาผลบวกอนันต์ของ $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$

ขั้นที่ 1 $a_{1} = 8$ · $r = \frac{1}{2}$ ซึ่ง $∣ r ∣ < 1$ ✓
ขั้นที่ 2 $S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{8}{\frac{1}{2}}$

ตอบ $16$

💡 บวกจำนวนอนันต์แล้วได้ค่าจำกัด — เพราะแต่ละพจน์เล็กลงเร็วมากจนรวมกันไม่เกิน $16$

1.6 สัญลักษณ์ซิกมา

ความหมาย

i = 1 \sum n a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}

ผลบวก	สูตร
$\sum_{i = 1}^{n} c$	$n c$
$\sum_{i = 1}^{n} i$	$\frac{n ( n + 1 )}{2}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{2}$	$\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
$\sum_{i = 1}^{n} i^{3}$	$[\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}$

สูตรผลบวกที่ควรจำ

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $\sum_{i = 1}^{10} (2 i + 3)$

ขั้นที่ 1แยกซิกมา: $2 \sum_{i = 1}^{10} i + \sum_{i = 1}^{10} 3$
ขั้นที่ 2 $= 2 \cdot \frac{10 ( 11 )}{2} + 10 (3)$
ขั้นที่ 3 $= 110 + 30$

ตอบ $140$

💡 ซิกมาแยกได้เหมือนการแจกแจง — ค่าคงตัวดึงออกนอกซิกมาได้ แต่ต้องระวังว่า $\sum c = n c$ ไม่ใช่ $c$

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

พจน์ทั่วไป เลขคณิต

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

พจน์ทั่วไป เรขาคณิต

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

อนุกรมเลขคณิต

$S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$

อนุกรมเรขาคณิต

$S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$

อนุกรมอนันต์

$S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r}, ∣ r ∣ < 1$

ผลบวก 1 ถึง n

$\sum i = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ใช้ $n$ แทน $n - 1$ ในสูตรพจน์ทั่วไป
✗ใช้สูตร $S_{\infty}$ ทั้งที่ $∣ r ∣ \geq 1$
✗สับสน $a_{n}$ (พจน์ที่ $n$ ) กับ $S_{n}$ (ผลบวก $n$ พจน์)
✗ $\sum_{i = 1}^{n} c = c$ (ที่ถูกคือ $n c$ )

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1ลำดับ

4, 7, 10, \dots

พจน์ที่

15

คือ(กดดูเฉลย)

ตอบ $46$

ข้อ 2ลำดับ

2, 4, 8, \dots

พจน์ที่

6

คือ(กดดูเฉลย)

ตอบ $64$

ข้อ 3

1 + 2 + 3 + \dots + 50

(กดดูเฉลย)

ตอบ $1, 275$

ข้อ 4

9 + 3 + 1 + \dots

ผลบวกอนันต์(กดดูเฉลย)

ตอบ $13.5$

ข้อ 5

\sum_{i = 1}^{5} i^{2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $55$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ ลำดับและอนุกรม →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด