ม.5 · เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~20 นาที

จำนวนเชิงซ้อน

ขยายระบบจำนวนอีกครั้ง — คราวนี้เพื่อให้ $- 1$ มีความหมาย ทำให้สมการพหุนามทุกสมการมีคำตอบเสมอ และเปิดทางไปสู่วิศวกรรมไฟฟ้าและควอนตัม

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · จำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการ (สายเพิ่มเติม)

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓บอกความหมายของหน่วยจินตภาพและเขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูป $a + bi$ ได้
✓บวก ลบ คูณ หาร จำนวนเชิงซ้อนได้
✓หาสังยุคและค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนได้
✓แก้สมการกำลังสองที่มีดิสคริมิแนนต์ติดลบได้

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

หน่วยจินตภาพimaginary unit

$i$ ที่นิยามให้ $i^{2} = - 1$

สังยุคconjugate

$z = a - bi$ เมื่อ $z = a + bi$ — เปลี่ยนเครื่องหมายส่วนจินตภาพ

7.1 ทำไมต้องมีจำนวนเชิงซ้อน

• $x^{2} + 1 = 0$ ไม่มีคำตอบในจำนวนจริง เพราะไม่มีจำนวนจริงตัวไหนยกกำลังสองแล้วติดลบ
•จึงนิยามจำนวนใหม่ $i$ ให้ $i^{2} = - 1$ (หรือ $i = - 1$ )
•จำนวนเชิงซ้อน เขียนในรูป $z = a + bi$ โดย $a$ = ส่วนจริง · $b$ = ส่วนจินตภาพ
•จำนวนจริงทุกตัวก็เป็นจำนวนเชิงซ้อน (ที่มี $b = 0$ )

📎นี่คือรูปแบบเดิมที่เคยเกิดมาแล้ว

ทุกครั้งที่คณิตศาสตร์ติดตัน เราขยายระบบจำนวน — จำนวนนับไม่พอลบ จึงมีจำนวนลบ · หารไม่ลงตัว จึงมีเศษส่วน · $2$ ไม่เป็นเศษส่วน จึงมีอตรรกยะ · และตอนนี้ $- 1$ จึงมีจำนวนเชิงซ้อน

$i^{1}$	$i^{2}$	$i^{3}$	$i^{4}$	$i^{5}$
$i$	$- 1$	$- i$	$1$	$i$

กำลังของ $i$ วนซ้ำทุก 4

💡เคล็ดลับ

หา $i^{n}$ ใหญ่ๆ ให้ หาร $n$ ด้วย $4$ แล้วดูเศษ — เศษ $0, 1, 2, 3$ ให้ $1, i, - 1, - i$ ตามลำดับ เช่น $i^{50}$ : $50 \div 4$ เศษ $2$ → $- 1$

7.2 การบวก ลบ และคูณ

•บวก/ลบ — รวมส่วนจริงกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพกับส่วนจินตภาพ (เหมือนพจน์คล้าย)
•คูณ — กระจายเหมือนพหุนาม แล้วแทน $i^{2} = - 1$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $z_{1} = 3 + 2 i$ , $z_{2} = 1 - 4 i$ จงหา $z_{1} + z_{2}$ และ $z_{1} z_{2}$

ขั้นที่ 1 $z_{1} + z_{2} = (3 + 1) + (2 - 4) i = 4 - 2 i$
ขั้นที่ 2 $z_{1} z_{2} = (3 + 2 i) (1 - 4 i) = 3 - 12 i + 2 i - 8 i^{2}$
ขั้นที่ 3แทน $i^{2} = - 1$ : $= 3 - 10 i + 8$
ขั้นที่ 4 $= 11 - 10 i$

ตอบ $z_{1} + z_{2} = 4 - 2 i$ · $z_{1} z_{2} = 11 - 10 i$

💡 $- 8 i^{2}$ กลายเป็น $+ 8$ — เครื่องหมายพลิกตรงนี้คือจุดที่พลาดบ่อยที่สุด

7.3 สังยุคและการหาร

สังยุค

z = a - bi เมื่อ z = a + bi

สมบัติสำคัญ — คูณกับสังยุคแล้วได้จำนวนจริง

z z = a^{2} + b^{2}

หารจำนวนเชิงซ้อน

1คูณทั้งเศษและส่วนด้วย สังยุคของตัวส่วน
2ตัวส่วนจะกลายเป็นจำนวนจริง
3จัดรูปให้อยู่ในรูป $a + bi$

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $\frac{2 + 3 i}{1 - 2 i}$

ขั้นที่ 1คูณด้วยสังยุคของตัวส่วน $(1 + 2 i)$ ทั้งเศษและส่วน
ขั้นที่ 2ตัวส่วน: $(1 - 2 i) (1 + 2 i) = 1 + 4 = 5$
ขั้นที่ 3ตัวเศษ: $(2 + 3 i) (1 + 2 i) = 2 + 4 i + 3 i + 6 i^{2} = 2 + 7 i - 6 = - 4 + 7 i$
ขั้นที่ 4 $= \frac{- 4 + 7 i}{5}$

ตอบ $- \frac{4}{5} + \frac{7}{5} i$

💡 เทคนิคเดียวกับการทำตัวส่วนให้เป็นจำนวนตรรกยะตอน ม.2 — คูณด้วยสังยุคเพื่อกำจัดสิ่งที่ไม่ต้องการในตัวส่วน

7.4 ระนาบเชิงซ้อนและค่าสัมบูรณ์

•วาด $a + bi$ เป็นจุด $(a, b)$ — แกนนอนคือส่วนจริง แกนตั้งคือส่วนจินตภาพ
•จำนวนเชิงซ้อนจึงเหมือน เวกเตอร์ในระนาบ
•คูณด้วย $i$ = หมุน $9 0^{\circ}$ ทวนเข็ม — นี่คือความหมายเชิงเรขาคณิตของ $i$

ค่าสัมบูรณ์ (ระยะจากจุดกำเนิด)

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

✏️ตัวอย่าง

หา $∣3 - 4 i ∣$

ขั้นที่ 1 $∣ z ∣ = 3^{2} + (- 4)^{2} = 9 + 16 = 25$

ตอบ $5$

7.5 แก้สมการกำลังสองที่ $D<0$

🔑สาระสำคัญ

ใน ม.3 เราตอบว่า “ไม่มีคำตอบ” เมื่อ $D < 0$ — จริงๆ แล้วคือ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง แต่มีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ $2$ คำตอบ

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $x^{2} - 4 x + 13 = 0$

ขั้นที่ 1 $a = 1, b = - 4, c = 13$ → $D = 16 - 52 = - 36$
ขั้นที่ 2 $x = \frac{4 \pm - 36}{2}$
ขั้นที่ 3 $- 36 = 6 i$
ขั้นที่ 4 $x = \frac{4 \pm 6 i}{2} = 2 \pm 3 i$

ตอบ $x = 2 + 3 i$ หรือ $x = 2 - 3 i$

💡 คำตอบเชิงซ้อนของสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง มาเป็นคู่สังยุคเสมอ — ได้ $2 + 3 i$ ก็ต้องมี $2 - 3 i$ ด้วย

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

หน่วยจินตภาพ

$i^{2} = - 1$

รูปทั่วไป

$z = a + bi$

สังยุค

$z = a - bi$

คูณสังยุค

$z z = a^{2} + b^{2}$

ค่าสัมบูรณ์

$∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}$

กำลังของ i

$i^{4 k} = 1$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ลืมแทน $i^{2} = - 1$ ตอนคูณ
✗หารโดยไม่คูณสังยุค ทำให้ตัวส่วนยังติด $i$
✗คิดว่า $- 4 \cdot - 9 = 36 = 6$ (ที่ถูกคือ $2 i \cdot 3 i = - 6$ )
✗ตอบคำตอบเชิงซ้อนแค่ตัวเดียว (ต้องมาเป็นคู่สังยุค)

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1

i^{3}

เท่ากับเท่าใด(กดดูเฉลย)

ตอบ $- i$

ข้อ 2

(2 + i) + (3 - 4 i)

(กดดูเฉลย)

ตอบ $5 - 3 i$

ข้อ 3

(1 + i)^{2}

(กดดูเฉลย)

ตอบ $2 i$

ข้อ 4

∣5 + 12 i ∣

(กดดูเฉลย)

ตอบ $13$

ข้อ 5สังยุคของ

- 3 + 7 i

(กดดูเฉลย)

ตอบ $- 3 - 7 i$

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด