สรุปคณิตศาสตร์ ม.5

ลำดับ $5,9,13,\dots$ จงหาพจน์ที่ $20$

1. ขั้นที่ 1$a_1=5$ · $d=9-5=4$
2. ขั้นที่ 2$a_{20}=5+(20-1)(4)=5+76$

ตอบ  $81$

ลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ $3$ เป็น $11$ และพจน์ที่ $7$ เป็น $27$ จงหา $a_1$ และ $d$

1. ขั้นที่ 1จากพจน์ที่ $3$ ถึงพจน์ที่ $7$ ห่างกัน $4$ ช่วง
2. ขั้นที่ 2$27-11=16$ ดังนั้น $4d=16\Rightarrow d=4$
3. ขั้นที่ 3$a_3=a_1+2d\Rightarrow 11=a_1+8\Rightarrow a_1=3$

ตอบ  $a_1=3$ · $d=4$

💡 โจทย์ให้สองพจน์มา ให้คิดว่า “ห่างกันกี่ช่วง” แล้วหารเอา เร็วกว่าตั้งระบบสมการ

ลำดับ $3,6,12,\dots$ จงหาพจน์ที่ $8$

1. ขั้นที่ 1$a_1=3$ · $r=\frac{6}{3}=2$
2. ขั้นที่ 2$a_8=3\cdot 2^7=3\times 128$

ตอบ  $384$

แบคทีเรียเพิ่มเป็นสองเท่าทุกชั่วโมง เริ่มต้นมี $500$ ตัว อีก $6$ ชั่วโมงจะมีกี่ตัว

1. ขั้นที่ 1เป็นลำดับเรขาคณิต $a_1=500$ (ชั่วโมงที่ $0$) · $r=2$
2. ขั้นที่ 2หลัง $6$ ชั่วโมง คูณสองไปแล้ว $6$ ครั้ง
3. ขั้นที่ 3$500\times 2^6=500\times 64$

ตอบ  $32,000$ ตัว

หาผลบวกของ $2+5+8+\cdots$ ถึงพจน์ที่ $30$

1. ขั้นที่ 1$a_1=2$ · $d=3$
2. ขั้นที่ 2$S_{30}=\frac{30}{2}[2(2)+29(3)]=15[4+87]$
3. ขั้นที่ 3$=15\times 91$

ตอบ  $1,365$

หาผลบวก $2+6+18+\cdots$ ถึง $5$ พจน์

1. ขั้นที่ 1$a_1=2$ · $r=3$ · $n=5$
2. ขั้นที่ 2$S_5=\frac{2(1-3^5)}{1-3}=\frac{2(1-243)}{-2}=\frac{2(-242)}{-2}$

ตอบ  $242$

หาผลบวกอนันต์ของ $8+4+2+1+\cdots$

1. ขั้นที่ 1$a_1=8$ · $r=\frac{1}{2}$ ซึ่ง $|r|<1$ ✓
2. ขั้นที่ 2$S_{\infty }=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}$

ตอบ  $16$

💡 บวกจำนวนอนันต์แล้วได้ค่าจำกัด — เพราะแต่ละพจน์เล็กลงเร็วมากจนรวมกันไม่เกิน $16$

หาค่าของ ${\sum }_{i=1}^{10}(2i+3)$

1. ขั้นที่ 1แยกซิกมา: $2{\sum }_{i=1}^{10}i+{\sum }_{i=1}^{10}3$
2. ขั้นที่ 2$=2\cdot \frac{10(11)}{2}+10(3)$
3. ขั้นที่ 3$=110+30$

ตอบ  $140$

💡 ซิกมาแยกได้เหมือนการแจกแจง — ค่าคงตัวดึงออกนอกซิกมาได้ แต่ต้องระวังว่า $\sum c=nc$ ไม่ใช่ $c$

ฝาก $50,000$ บาท ดอกเบี้ย $6\%$ ต่อปี ทบต้นทุก $6$ เดือน เป็นเวลา $3$ ปี ได้เงินเท่าใด

1. ขั้นที่ 1$m=2$ → อัตราต่อรอบ $=\frac{0.06}{2}=0.03$
2. ขั้นที่ 2จำนวนรอบ $=2\times 3=6$
3. ขั้นที่ 3$A=50000(1.03{)}^6\approx 50000\times 1.194$

ตอบ  ประมาณ $59,700$ บาท

💡 อย่าเอา $6\%$ ไปยกกำลัง $3$ ตรงๆ — ต้องแปลงเป็นอัตราต่อรอบและนับจำนวนรอบก่อนเสมอ

ต้องการมีเงิน $100,000$ บาทในอีก $5$ ปี ถ้าดอกเบี้ยทบต้น $5\%$ ต่อปี ต้องฝากวันนี้เท่าใด

1. ขั้นที่ 1$P=\frac{100000}{(1.05{)}^5}$
2. ขั้นที่ 2$(1.05{)}^5\approx 1.2763$
3. ขั้นที่ 3$P\approx \frac{100000}{1.2763}$

ตอบ  ประมาณ $78,350$ บาท

ฝากเดือนละ $2,000$ บาท ดอกเบี้ย $6\%$ ต่อปีทบต้นทุกเดือน เป็นเวลา $2$ ปี จะได้เงินเท่าใด

1. ขั้นที่ 1$i=\frac{0.06}{12}=0.005$ · $n=24$ งวด
2. ขั้นที่ 2$FV=2000\cdot \frac{(1.005{)}^{24}-1}{0.005}$
3. ขั้นที่ 3$(1.005{)}^{24}\approx 1.1272$
4. ขั้นที่ 4$FV\approx 2000\cdot \frac{0.1272}{0.005}=2000\times 25.43$

ตอบ  ประมาณ $50,860$ บาท (ฝากไปทั้งหมด $48,000$ บาท)

โทรศัพท์ราคา $30,000$ บาท ร้าน A ให้ผ่อน $0\%$ เดือนละ $2,500$ บาท $12$ เดือน · ร้าน B ขายสด $28,500$ บาท ถ้าเงินฝากได้ดอกเบี้ย $6\%$ ต่อปีทบต้นทุกเดือน ควรเลือกร้านไหน

1. ขั้นที่ 1ร้าน A: คิดมูลค่าปัจจุบันของค่างวด $i=0.005$, $n=12$
2. ขั้นที่ 2$PV=2500\cdot \frac{1-(1.005{)}^{-12}}{0.005}\approx 2500\times 11.62\approx 29,050$
3. ขั้นที่ 3ร้าน B จ่ายวันนี้ $28,500$
4. ขั้นที่ 4$28,500<29,050$

ตอบ  ร้าน B คุ้มกว่าประมาณ $550$ บาท

💡 ผ่อน $0\%$ ไม่ได้แปลว่าฟรีเสมอ — ถ้าราคาสดถูกกว่ามากพอ จ่ายสดยังคุ้มกว่า

หาค่าของ $\sin 150^{\circ }$

1. ขั้นที่ 1$150^{\circ }$ อยู่ในจตุภาคที่ $2$
2. ขั้นที่ 2มุมอ้างอิง $=180-150=30^{\circ }$
3. ขั้นที่ 3$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$
4. ขั้นที่ 4จตุภาคที่ $2$ → $\sin$ เป็นบวก

ตอบ  $\frac{1}{2}$

หาค่าของ $\cos \frac{4\pi }{3}$

1. ขั้นที่ 1$\frac{4\pi }{3}=240^{\circ }$ อยู่ในจตุภาคที่ $3$
2. ขั้นที่ 2มุมอ้างอิง $=240-180=60^{\circ }$
3. ขั้นที่ 3$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$
4. ขั้นที่ 4จตุภาคที่ $3$ → $\cos$ เป็นลบ

ตอบ  $-\frac{1}{2}$

$y=3\sin (2x)+1$ มีแอมพลิจูด คาบ และเรนจ์เท่าใด

1. ขั้นที่ 1$A=3$ → แอมพลิจูด $=3$
2. ขั้นที่ 2$B=2$ → คาบ $=\frac{2\pi }{2}=\pi$
3. ขั้นที่ 3$D=1$ → เส้นกลางอยู่ที่ $y=1$
4. ขั้นที่ 4เรนจ์: $1\pm 3$ → $[-2,4]$

ตอบ  แอมพลิจูด $3$ · คาบ $\pi$ · เรนจ์ $[-2,4]$

พิสูจน์ว่า $\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }+\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }=2\csc \theta$

1. ขั้นที่ 1รวมเศษส่วนข้างซ้าย: $\frac{{\sin }^2\theta +(1+\cos \theta {)}^2}{\sin \theta (1+\cos \theta )}$
2. ขั้นที่ 2กระจาย: $\frac{{\sin }^2\theta +1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta }{\sin \theta (1+\cos \theta )}$
3. ขั้นที่ 3ใช้ ${\sin }^2+{\cos }^2=1$: $\frac{1+1+2\cos \theta }{\sin \theta (1+\cos \theta )}=\frac{2(1+\cos \theta )}{\sin \theta (1+\cos \theta )}$
4. ขั้นที่ 4ตัด $(1+\cos \theta )$: $\frac{2}{\sin \theta }=2\csc \theta$ ✓

ตอบ  พิสูจน์แล้ว

หาค่าที่แน่นอนของ $\sin 75^{\circ }$

1. ขั้นที่ 1$75^{\circ }=45^{\circ }+30^{\circ }$
2. ขั้นที่ 2$\sin 75^{\circ }=\sin 45\cos 30+\cos 45\sin 30$
3. ขั้นที่ 3$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}$
4. ขั้นที่ 4$=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

ตอบ  $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

💡 แตกมุมแปลกๆ เป็นผลบวก/ผลต่างของมุมพิเศษ — $75=45+30$ · $15=45-30$ · $105=60+45$

ถ้า $\sin A=\frac{3}{5}$ และ $A$ อยู่ในจตุภาคที่ $1$ จงหา $\sin 2A$

1. ขั้นที่ 1หา $\cos A$ จาก ${\sin }^2+{\cos }^2=1$: ${\cos }^{2}A=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$
2. ขั้นที่ 2จตุภาคที่ $1$ → $\cos A=\frac{4}{5}$ (บวก)
3. ขั้นที่ 3$\sin 2A=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$

ตอบ  $\frac{24}{25}$

แก้สมการ $2\sin x-1=0$ เมื่อ $0\le x<360^{\circ }$

1. ขั้นที่ 1$\sin x=\frac{1}{2}$
2. ขั้นที่ 2มุมอ้างอิง $=30^{\circ }$
3. ขั้นที่ 3$\sin$ เป็นบวกในจตุภาคที่ $1$ และ $2$
4. ขั้นที่ 4จตุภาค $1$: $x=30^{\circ }$ · จตุภาค $2$: $x=180-30=150^{\circ }$

ตอบ  $x=30^{\circ }$ หรือ $150^{\circ }$

💡 อย่าตอบแค่คำตอบเดียว — สมการตรีโกณมักมีหลายคำตอบในหนึ่งรอบ ต้องไล่ให้ครบทุกจตุภาคที่เครื่องหมายตรง

แก้สมการ $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$ เมื่อ $0\le x<360^{\circ }$

1. ขั้นที่ 1ให้ $c=\cos x$ → $2c^2-c-1=0$
2. ขั้นที่ 2แยกตัวประกอบ: $(2c+1)(c-1)=0$
3. ขั้นที่ 3$c=-\frac{1}{2}$ หรือ $c=1$
4. ขั้นที่ 4$\cos x=1\Rightarrow x=0^{\circ }$
5. ขั้นที่ 5$\cos x=-\frac{1}{2}$ → มุมอ้างอิง $60^{\circ }$ · $\cos$ ลบในจตุภาค $2,3$ → $x=120^{\circ },240^{\circ }$

ตอบ  $x=0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ }$

สามเหลี่ยมมีด้าน $a=5$, $b=7$ และมุมระหว่าง $C=60^{\circ }$ จงหาด้าน $c$

1. ขั้นที่ 1ให้สองด้านและมุมระหว่าง → กฎของโคไซน์
2. ขั้นที่ 2$c^2=5^2+7^2-2(5)(7)\cos 60^{\circ }$
3. ขั้นที่ 3$=25+49-70\left(\frac{1}{2}\right)=74-35=39$
4. ขั้นที่ 4$c=\sqrt{39}\approx 6.24$

ตอบ  $c=\sqrt{39}$ (ประมาณ $6.24$)

ให้ $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$ จงหา $2A-B$

1. ขั้นที่ 1$2A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$
2. ขั้นที่ 2$2A-B=\left[\begin{array}{cc}2-5& 4-6\\ 6-7& 8-8\end{array}\right]$

ตอบ  $\left[\begin{array}{cc}-3& -2\\ -1& 0\end{array}\right]$

หา $AB$ เมื่อ $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]$

1. ขั้นที่ 1ตำแหน่ง $(1,1)$: $1(5)+2(7)=19$
2. ขั้นที่ 2ตำแหน่ง $(1,2)$: $1(6)+2(8)=22$
3. ขั้นที่ 3ตำแหน่ง $(2,1)$: $3(5)+4(7)=43$
4. ขั้นที่ 4ตำแหน่ง $(2,2)$: $3(6)+4(8)=50$

ตอบ  $\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$

หา $\det \left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 4\end{array}\right]$

1. ขั้นที่ 1$ad-bc=3(4)-5(2)=12-10$

ตอบ  $2$

หาอินเวอร์สของ $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]$

1. ขั้นที่ 1$\det A=2(3)-1(5)=1$
2. ขั้นที่ 2สลับและเปลี่ยนเครื่องหมาย: $\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]$
3. ขั้นที่ 3หารด้วย $1$ → เท่าเดิม
4. ขั้นที่ 4ตรวจ: $A{A}^{-1}=I$ ✓

ตอบ  $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]$

แก้ระบบสมการ $2x+y=8$ และ $5x+3y=21$ ด้วยเมทริกซ์

1. ขั้นที่ 1$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 3\end{array}\right]$, $B=\left[\begin{array}{c}8\\ 21\end{array}\right]$
2. ขั้นที่ 2$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -5& 2\end{array}\right]$ (จากข้อก่อน)
3. ขั้นที่ 3$X=A^{-1}B=\left[\begin{array}{c}3(8)+(-1)(21)\\ -5(8)+2(21)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$
4. ขั้นที่ 4ตรวจ: $2(3)+2=8$ ✓ · $5(3)+3(2)=21$ ✓

ตอบ  $x=3,y=2$

💡 วิธีนี้ดูยาวกว่าการกำจัดตัวแปรเมื่อมีสองสมการ — แต่พอมี $10$ ตัวแปร คอมพิวเตอร์ใช้วิธีนี้เท่านั้น เพราะเขียนเป็นขั้นตอนตายตัวได้