สนามสอบ

สรุปคณิตศาสตร์ ม.4

มัธยมศึกษาปีที่ 4 · ฉบับเต็มทั้งเล่ม

บท

หัวข้อย่อย

ตัวอย่าง

190

นาที

เรียบเรียงขึ้นใหม่ทั้งเล่ม อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)
ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด · sanamsob.com

สารบัญ

บทที่ 1เซต🔢 จำนวนและพีชคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 2ตรรกศาสตร์เบื้องต้น🔢 จำนวนและพีชคณิต · 6 หัวข้อ
บทที่ 3หลักการนับเบื้องต้น📊 สถิติและความน่าจะเป็น · 5 หัวข้อ
บทที่ 4ความน่าจะเป็น📊 สถิติและความน่าจะเป็น · 4 หัวข้อ
เพิ่มเติมจำนวนจริง🔢 จำนวนและพีชคณิต · 6 หัวข้อ
เพิ่มเติมความสัมพันธ์และฟังก์ชัน🔢 จำนวนและพีชคณิต · 6 หัวข้อ
เพิ่มเติมเรขาคณิตวิเคราะห์📐 การวัดและเรขาคณิต · 5 หัวข้อ
เพิ่มเติมฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม🔢 จำนวนและพีชคณิต · 6 หัวข้อ

บทที่ 1🔢 จำนวนและพีชคณิต

เซต

เซตคือภาษาสำหรับพูดถึง “กลุ่มของสิ่งของ” อย่างแม่นยำ — เป็นรากฐานที่ใช้ต่อในความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็น และแทบทุกเรื่องหลังจากนี้

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓เขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงื่อนไขได้
✓หาสับเซตและเพาเวอร์เซตได้
✓หายูเนียน อินเตอร์เซกชัน คอมพลีเมนต์ และผลต่างของเซตได้
✓ใช้แผนภาพเวนน์และสูตรจำนวนสมาชิกแก้โจทย์ปัญหาได้

เซตset

กลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่ระบุได้ชัดเจนว่าอะไรอยู่ในกลุ่มบ้าง

เอกภพสัมพัทธ์universal set

เซตที่กำหนดขอบเขตของเรื่องที่กำลังพูดถึง เขียนแทนด้วย $U$

สับเซตsubset

เซตที่สมาชิกทุกตัวอยู่ในอีกเซตหนึ่ง เขียน $A \subset B$

เพาเวอร์เซตpower set

เซตของสับเซตทั้งหมดของเซตหนึ่ง เขียน $P (A)$

1.1 การเขียนเซต

วิธีเขียน	ตัวอย่าง	ใช้เมื่อ
แจกแจงสมาชิก	$A = {1, 2, 3, 4}$	สมาชิกน้อย นับได้หมด
บอกเงื่อนไข	$A = {x ∣ x เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่า 5}$	สมาชิกเยอะหรือเป็นอนันต์

• $a \in A$ อ่านว่า “ $a$ เป็นสมาชิกของ $A$ ” · $a \in / A$ คือไม่เป็นสมาชิก
•ลำดับไม่สำคัญ: ${1, 2, 3} = {3, 1, 2}$
•สมาชิกซ้ำนับครั้งเดียว: ${1, 1, 2} = {1, 2}$
• $n (A)$ = จำนวนสมาชิกของ $A$

⚠️ $\in$ กับ $\subset$ ไม่เหมือนกัน

▸ $\in$ ใช้กับ สมาชิก กับ เซต: $1 \in {1, 2}$ ✓
▸ $\subset$ ใช้กับ เซต กับ เซต: ${1} \subset {1, 2}$ ✓
▸ $1 \subset {1, 2}$ ✗ (ผิด เพราะ $1$ ไม่ใช่เซต)
▸ ${1} \in {1, 2}$ ✗ (ผิด เพราะสมาชิกของ ${1, 2}$ คือ $1$ ไม่ใช่ ${1}$ )

1.2 ชนิดของเซต

•เซตว่าง $\emptyset$ หรือ ${}$ — ไม่มีสมาชิกเลย และ $n (\emptyset) = 0$
•เซตจำกัด — นับจำนวนสมาชิกได้ · เซตอนันต์ — นับไม่หมด เช่น เซตของจำนวนนับ
•เซตเท่ากัน $A = B$ — มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
•เอกภพสัมพัทธ์ $U$ — กรอบของเรื่องที่พูดถึง ต้องกำหนดก่อนจึงจะหาคอมพลีเมนต์ได้

⚠️ระวัง

$\emptyset$ กับ ${\emptyset}$ ไม่เหมือนกัน — ตัวแรกไม่มีสมาชิก ( $n = 0$ ) ส่วนตัวหลังมีสมาชิก $1$ ตัว (คือเซตว่าง) จึง $n = 1$ · เปรียบเหมือนกล่องเปล่า กับ กล่องที่ข้างในมีกล่องเปล่าอยู่

1.3 สับเซตและเพาเวอร์เซต

จำนวนสับเซตของเซตที่มีสมาชิก $n$ ตัว

2^{n}

•เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต — $\emptyset \subset A$ เสมอ
•ทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง — $A \subset A$
•สับเซตแท้ คือสับเซตที่ไม่ใช่ตัวมันเอง มี $2^{n} - 1$ สับเซต
•เพาเวอร์เซต $P (A)$ คือเซตที่เอาสับเซตทั้งหมดมาเป็นสมาชิก จึง $n (P (A)) = 2^{n}$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $A = {a, b, c}$ จงหาเพาเวอร์เซตของ $A$ และจำนวนสมาชิก

ขั้นที่ 1สับเซตขนาด $0$ : $\emptyset$
ขั้นที่ 2ขนาด $1$ : ${a}, {b}, {c}$
ขั้นที่ 3ขนาด $2$ : ${a, b}, {a, c}, {b, c}$
ขั้นที่ 4ขนาด $3$ : ${a, b, c}$
ขั้นที่ 5รวม $1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^{3}$ ✓

ตอบ $n (P (A)) = 8$

💡 ไล่เขียนตามขนาดจากเล็กไปใหญ่ จะไม่ตกหล่นและตรวจง่ายด้วย $2^{n}$

1.4 การดำเนินการของเซต

ชื่อ	สัญลักษณ์	ความหมาย
ยูเนียน	$A \cup B$	อยู่ใน $A$ หรือ $B$ (รวมทั้งสอง)
อินเตอร์เซกชัน	$A \cap B$	อยู่ใน $A$ และ $B$ (ส่วนที่ซ้อนกัน)
คอมพลีเมนต์	$A^{'}$	อยู่ใน $U$ แต่ ไม่อยู่ใน $A$
ผลต่าง	$A - B$	อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $A = {1, 2, 3}$ , $B = {3, 4, 5}$ จงหา $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A^{'}$ , $A - B$

ขั้นที่ 1 $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ (รวมทุกตัว ไม่นับซ้ำ)
ขั้นที่ 2 $A \cap B = {3}$ (ตัวที่มีทั้งสองฝั่ง)
ขั้นที่ 3 $A^{'} = {4, 5, 6}$ (ตัวใน $U$ ที่ไม่อยู่ใน $A$ )
ขั้นที่ 4 $A - B = {1, 2}$ (อยู่ใน $A$ แต่ไม่อยู่ใน $B$ )

ตอบ ตามที่แสดงในแต่ละขั้น

กฎเดอมอร์แกน (ออกสอบบ่อย)

(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'} (A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}

💡เคล็ดลับ

จำกฎเดอมอร์แกนเป็นภาษาคน: “ไม่(A หรือ B)” = “ไม่ A และ ไม่ B” — เช่น “ไม่ชอบทั้งชาและกาแฟ” = “ไม่ชอบชา และ ไม่ชอบกาแฟ”

1.5 แผนภาพเวนน์และการนับสมาชิก

สองเซต

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

สามเซต

n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (A \cap C) - n (B \cap C) + n (A \cap B \cap C)

🔑ทำไมต้องลบ

ถ้าบวก $n (A) + n (B)$ ตรงๆ คนที่อยู่ทั้งสองกลุ่มจะถูกนับ สองครั้ง จึงต้องลบส่วนที่ซ้อนออกหนึ่งครั้ง — หลักการนี้เรียกว่า “รวมแล้วตัด”

✏️ตัวอย่าง

นักเรียน $50$ คน ชอบคณิต $30$ คน ชอบวิทย์ $25$ คน ชอบทั้งสองวิชา $12$ คน จงหาจำนวนคนที่ไม่ชอบทั้งสองวิชา

ขั้นที่ 1 $n (A \cup B) = 30 + 25 - 12 = 43$ คน (ชอบอย่างน้อยหนึ่งวิชา)
ขั้นที่ 2ไม่ชอบทั้งสอง $= 50 - 43 = 7$

ตอบ $7$ คน

💡 โจทย์แนวนี้ให้วาดเวนน์แล้ว เติมตัวเลขจากส่วนที่ซ้อนกันตรงกลางออกไปข้างนอก จะไม่มีทางนับซ้ำ

✏️ตัวอย่าง

จากข้อบน จงหาจำนวนคนที่ชอบคณิตอย่างเดียว

ขั้นที่ 1ชอบคณิตทั้งหมด $30$ คน ในนั้นชอบทั้งสองวิชา $12$ คน
ขั้นที่ 2ชอบคณิตอย่างเดียว $= 30 - 12 = 18$

ตอบ $18$ คน

📋 สรุปสูตร — เซต

จำนวนสับเซต

$2^{n}$

เดอมอร์แกน

$(A \cup B)^{'} = A^{'} \cap B^{'}$

เดอมอร์แกน

$(A \cap B)^{'} = A^{'} \cup B^{'}$

นับสองเซต

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

ผลต่าง

$A - B = A \cap B^{'}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗สับสน $\in$ กับ $\subset$
✗คิดว่า $\emptyset$ กับ ${\emptyset}$ เหมือนกัน
✗บวก $n (A) + n (B)$ โดยลืมลบส่วนที่ซ้อนกัน
✗หา $A^{'}$ โดยไม่ดูว่าเอกภพสัมพัทธ์คืออะไร

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $A = {1, 2, 3, 4}$ มีสับเซตกี่เซต

ตอบ $16$

ข้อ 2 $n ({\emptyset})$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $1$

ข้อ 3 $A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}$ แล้ว $A - B$ คือ

ตอบ ${1}$

ข้อ 4 $n (A) = 20, n (B) = 15, n (A \cap B) = 5$ แล้ว $n (A \cup B)$

ตอบ $30$

ข้อ 5 $(A \cap B)^{'}$ เท่ากับอะไรตามกฎเดอมอร์แกน

ตอบ $A^{'} \cup B^{'}$

บทที่ 2🔢 จำนวนและพีชคณิต

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ตรรกศาสตร์คือการทำให้คำว่า “จริง/เท็จ” คำนวณได้ — เปลี่ยนประโยคภาษาคนเป็นสัญลักษณ์ แล้วตรวจด้วยตารางค่าความจริง ไม่ต้องเถียงกันด้วยความรู้สึก

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกได้ว่าข้อความใดเป็นประพจน์
✓หาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมได้
✓สร้างตารางค่าความจริงและตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้
✓หาข้อความกลับ ข้อความแย้งสลับที่ และนิเสธได้

ประพจน์proposition

ข้อความที่บอกได้ว่าจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง

นิเสธnegation

การกลับค่าความจริง เขียน $\sim p$

สัจนิรันดร์tautology

ประพจน์ที่เป็นจริงทุกกรณี

สมมูลequivalent

ประพจน์สองอันที่มีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี

2.1 อะไรเป็นประพจน์

ข้อความ	เป็นประพจน์ไหม	เหตุผล
$2 + 3 = 5$	ใช่ (จริง)	ตัดสินได้
กรุงเทพเป็นเมืองหลวงของญี่ปุ่น	ใช่ (เท็จ)	ตัดสินได้
ปิดประตูด้วย	ไม่ใช่	เป็นคำสั่ง
วันนี้อากาศดีจัง	ไม่ใช่	เป็นความรู้สึก แล้วแต่คน
$x + 1 = 5$	ไม่ใช่	ยังไม่รู้ $x$ จึงตัดสินไม่ได้

🔑สาระสำคัญ

เกณฑ์เดียว: ตัดสินได้ไหมว่าจริงหรือเท็จ — คำถาม คำสั่ง คำอุทาน และความคิดเห็น ไม่ใช่ประพจน์

2.2 ตัวเชื่อมและตารางค่าความจริง

$p$	$q$	$p \land q$ (และ)	$p \lor q$ (หรือ)	$p \to q$ (ถ้า…แล้ว)	$p \leftrightarrow q$ (ก็ต่อเมื่อ)
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	T	F
F	F	F	F	T	T

T = จริง · F = เท็จ

•และ ( $\land$ ) จริงกรณีเดียว — เมื่อจริงทั้งคู่
•หรือ ( $\lor$ ) เท็จกรณีเดียว — เมื่อเท็จทั้งคู่ (เป็น “หรือ” แบบรวม คือจริงทั้งคู่ก็ยังจริง)
•ถ้า…แล้ว ( $\to$ ) เท็จกรณีเดียว — เมื่อ หน้าจริง แต่หลังเท็จ
•ก็ต่อเมื่อ ( $\leftrightarrow$ ) จริงเมื่อค่าความจริง เหมือนกัน
•นิเสธ ( $\sim$ ) กลับค่า: $\sim$ T $=$ F

⚠️จุดที่คนงงที่สุด — “ถ้าหน้าเท็จ แล้วทั้งประโยคจริง”

“ถ้าฉันเป็นนก แล้วฉันจะบินได้” — ในเมื่อฉันไม่ได้เป็นนก ไม่มีใครจับผิดคำสัญญานี้ได้ ประโยคจึงถือว่า จริง · $p \to q$ จะเท็จก็ต่อเมื่อ สัญญาแล้วไม่ทำ เท่านั้น (หน้าจริงแต่หลังเท็จ)

2.3 การสร้างตารางค่าความจริง

1นับจำนวนประพจน์ย่อย $n$ ตัว → ตารางมี $2^{n}$ แถว
2ไล่ค่าความจริงให้ครบทุกกรณีอย่างเป็นระบบ (คอลัมน์แรกครึ่งบน T ครึ่งล่าง F)
3คำนวณจากวงเล็บในสุดออกมา ทีละคอลัมน์
4ดูคอลัมน์สุดท้ายเพื่อสรุป

✏️ตัวอย่าง

ตรวจว่า $(p \to q) \lor p$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ขั้นที่ 1 $p =$ T, $q =$ T: $p \to q =$ T → $T \lor T =$ T
ขั้นที่ 2 $p =$ T, $q =$ F: $p \to q =$ F → $F \lor T =$ T
ขั้นที่ 3 $p =$ F, $q =$ T: $p \to q =$ T → $T \lor F =$ T
ขั้นที่ 4 $p =$ F, $q =$ F: $p \to q =$ T → $T \lor F =$ T
ขั้นที่ 5จริงทั้ง $4$ กรณี

ตอบ เป็นสัจนิรันดร์

💡ทางลัดตรวจสัจนิรันดร์ของ $p \to q$

สมมติให้ทั้งประพจน์ เป็นเท็จ (คือหน้าจริง หลังเท็จ) แล้วไล่ย้อนกลับ — ถ้าเจอข้อขัดแย้ง แปลว่าเป็นเท็จไม่ได้ → เป็นสัจนิรันดร์ · เร็วกว่าทำตารางเต็มมากเมื่อมีประพจน์ย่อยหลายตัว

2.4 การสมมูลที่ต้องจำ

ประพจน์	สมมูลกับ
$p \to q$	$\sim p \lor q$
$\sim (p \to q)$	$p \land \sim q$
$\sim (p \land q)$	$\sim p \lor \sim q$
$\sim (p \lor q)$	$\sim p \land \sim q$
$p \leftrightarrow q$	$(p \to q) \land (q \to p)$

รูปสมมูลที่ออกสอบบ่อยที่สุด

🔑สาระสำคัญ

สองบรรทัดกลางคือ กฎเดอมอร์แกน ตัวเดียวกับในบทเซต — $\land$ คู่กับ $\cap$ และ $\lor$ คู่กับ $\cup$ · เรียนบทเซตมาแล้วบทนี้จึงคุ้นมือทันที

✏️ตัวอย่าง

หานิเสธของ “ถ้าฝนตก แล้วถนนเปียก”

ขั้นที่ 1ให้ $p =$ ฝนตก, $q =$ ถนนเปียก → ประโยคคือ $p \to q$
ขั้นที่ 2 $\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$
ขั้นที่ 3แปลกลับ: ฝนตก และ ถนนไม่เปียก

ตอบ “ฝนตก และ ถนนไม่เปียก”

💡 นิเสธของ “ถ้า…แล้ว…” ไม่ใช่ “ถ้า…แล้วไม่…” — เป็นจุดที่ผิดกันมากที่สุดทั้งบท

2.5 ข้อความกลับ แย้งสลับที่ และนิเสธ

ชื่อ	รูปแบบ	สมมูลกับเดิมไหม
เดิม	$p \to q$	—
ข้อความกลับ	$q \to p$	ไม่สมมูล
ข้อความแย้ง	$\sim p \to\sim q$	ไม่สมมูล
แย้งสลับที่	$\sim q \to\sim p$	สมมูล ✓

จากประโยคเดิม $p \to q$

✏️ตัวอย่าง

จาก “ถ้าเป็นสุนัข แล้วเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม” จงเขียนข้อความกลับและแย้งสลับที่ พร้อมบอกว่าจริงไหม

ขั้นที่ 1ข้อความกลับ: “ถ้าเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม แล้วเป็นสุนัข” → เท็จ (แมวก็เลี้ยงลูกด้วยนม)
ขั้นที่ 2แย้งสลับที่: “ถ้าไม่เป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม แล้วไม่เป็นสุนัข” → จริง

ตอบ ข้อความกลับเท็จ · แย้งสลับที่จริง (สมมูลกับต้นฉบับเสมอ)

💡 แย้งสลับที่สมมูลกับต้นฉบับ เสมอ — ใช้พิสูจน์ทางอ้อมได้ ถ้าพิสูจน์ตรงๆ ยาก ให้พิสูจน์แย้งสลับที่แทน

2.6 ตัวบ่งปริมาณ

• $\forall x$ อ่านว่า “สำหรับ $x$ ทุกตัว” — จะเป็นจริงต้องจริงหมดทุกตัว
• $\exists x$ อ่านว่า “มี $x$ บางตัว” — จริงแค่มีตัวเดียวก็พอ
•จะแสดงว่า $\forall$ เป็นเท็จ ใช้ ตัวอย่างค้านตัวเดียว
•จะแสดงว่า $\exists$ เป็นจริง ใช้ ตัวอย่างที่ใช้ได้ตัวเดียว

นิเสธของตัวบ่งปริมาณ (สลับกันเสมอ)

\sim \forall x P (x) \equiv \exists x \sim P (x) \sim \exists x P (x) \equiv \forall x \sim P (x)

✏️ตัวอย่าง

หานิเสธของ “นักเรียนทุกคนในห้องนี้สอบผ่าน”

ขั้นที่ 1รูปเดิมคือ $\forall$ → นิเสธกลายเป็น $\exists$ พร้อมกลับข้างใน
ขั้นที่ 2“มีนักเรียนบางคนในห้องนี้ที่สอบไม่ผ่าน”

ตอบ “มีนักเรียนบางคนสอบไม่ผ่าน” (ไม่ใช่ “นักเรียนทุกคนสอบไม่ผ่าน”)

📋 สรุปสูตร — ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ถ้า…แล้ว สมมูลกับ

$p \to q \equiv\sim p \lor q$

นิเสธของ ถ้า…แล้ว

$\sim (p \to q) \equiv p \land \sim q$

เดอมอร์แกน

$\sim (p \land q) \equiv\sim p \lor \sim q$

แย้งสลับที่ (สมมูล)

$p \to q \equiv\sim q \to\sim p$

นิเสธตัวบ่งปริมาณ

$\sim \forall x P (x) \equiv \exists x \sim P (x)$

จำนวนแถวของตาราง

$2^{n}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗คิดว่านิเสธของ $p \to q$ คือ $p \to\sim q$ (ที่ถูกคือ $p \land \sim q$ )
✗คิดว่าข้อความกลับสมมูลกับต้นฉบับ
✗งงว่าทำไม $p \to q$ จริงเมื่อ $p$ เป็นเท็จ
✗นิเสธของ “ทุกคน…” เป็น “ทุกคนไม่…” (ที่ถูกคือ “มีบางคนไม่…”)

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $p \to q$ เป็นเท็จเมื่อใด

ตอบ เมื่อ $p$ จริง และ $q$ เท็จ

ข้อ 2นิเสธของ “ถ้าขยัน แล้วสอบผ่าน”

ตอบ “ขยัน และ สอบไม่ผ่าน”

ข้อ 3แย้งสลับที่ของ $p \to q$ คือ

ตอบ $\sim q \to\sim p$

ข้อ 4ตารางค่าความจริงของ $3$ ประพจน์ย่อยมีกี่แถว

ตอบ $8$

ข้อ 5นิเสธของ “มีคนบางคนชอบทุเรียน”

ตอบ “ทุกคนไม่ชอบทุเรียน”

บทที่ 3📊 สถิติและความน่าจะเป็น

หลักการนับเบื้องต้น

นับจำนวนวิธีโดยไม่ต้องเขียนออกมาทั้งหมด — คำถามเดียวที่ต้องตอบให้ได้ก่อนเสมอคือ “ลำดับสำคัญไหม” ตอบได้แล้วเลือกสูตรถูกทันที

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓ใช้กฎการบวกและกฎการคูณนับจำนวนวิธีได้
✓คำนวณการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ได้
✓แยกได้ว่าโจทย์ข้อไหนลำดับสำคัญหรือไม่สำคัญ
✓แก้โจทย์ที่มีเงื่อนไขเพิ่มเติมได้

การเรียงสับเปลี่ยนpermutation

การเลือกและจัดเรียง โดยลำดับสำคัญ

การจัดหมู่combination

การเลือกโดยลำดับไม่สำคัญ

แฟกทอเรียลfactorial

$n! = n (n - 1) (n - 2) \dots 1$ และกำหนดให้ $0! = 1$

3.1 กฎการบวกและกฎการคูณ

กฎ	ใช้เมื่อ	คำสำคัญ	ทำอย่างไร
กฎการบวก	เลือกทางใดทางหนึ่ง	หรือ	บวกจำนวนวิธี
กฎการคูณ	ทำทีละขั้นจนครบ	และ / แล้วก็	คูณจำนวนวิธี

✏️ตัวอย่าง

เดินทางจาก A ไป B ได้ $3$ เส้นทาง และจาก B ไป C ได้ $4$ เส้นทาง จะเดินจาก A ผ่าน B ไป C ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1ต้องทำทั้งสองขั้น (A→B แล้ว B→C) → กฎการคูณ
ขั้นที่ 2 $3 \times 4 = 12$

ตอบ $12$ วิธี

✏️ตัวอย่าง

มีเสื้อ $5$ ตัว กางเกง $4$ ตัว รองเท้า $3$ คู่ แต่งตัวได้กี่แบบ

ขั้นที่ 1เลือกทีละอย่างจนครบ → คูณกัน
ขั้นที่ 2 $5 \times 4 \times 3 = 60$

ตอบ $60$ แบบ

3.2 การเรียงสับเปลี่ยน (ลำดับสำคัญ)

เรียงของ $n$ สิ่งทั้งหมด

n!

เลือก $r$ จาก $n$ แล้วเรียง

P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}

✏️ตัวอย่าง

มีหนังสือ $5$ เล่มต่างกัน วางเรียงบนชั้นได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1เรียงทั้งหมด $5$ สิ่ง
ขั้นที่ 2 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

ตอบ $120$ วิธี

✏️ตัวอย่าง

มีคน $8$ คน เลือกมาเป็นประธาน รองประธาน และเลขานุการ ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1ตำแหน่งต่างกัน → ลำดับสำคัญ → ใช้การเรียงสับเปลี่ยน
ขั้นที่ 2 $P (8, 3) = \frac{8 !}{5 !} = 8 \times 7 \times 6 = 336$

ตอบ $336$ วิธี

เรียงของที่มีของซ้ำ

\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots n _{k} !}

$n_{i}$ = จำนวนของที่ซ้ำกันแต่ละชนิด

✏️ตัวอย่าง

จัดเรียงตัวอักษรของคำว่า BANANA ได้กี่แบบ

ขั้นที่ 1มีตัวอักษร $6$ ตัว: A ซ้ำ $3$ · N ซ้ำ $2$ · B $1$
ขั้นที่ 2 $\frac{6 !}{3 ! 2 ! 1 !} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$

ตอบ $60$ แบบ

💡 ถ้าไม่หารด้วยของซ้ำ จะนับซ้ำหลายรอบ เพราะสลับ A ตัวไหนกับตัวไหนก็ได้คำเดิม

3.3 การจัดหมู่ (ลำดับไม่สำคัญ)

เลือก $r$ จาก $n$ โดยไม่สนลำดับ

C (n, r) = (r n) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

🔑ความสัมพันธ์ระหว่างสองสูตร

$C (n, r) = \frac{P ( n , r )}{r !}$ — เพราะแต่ละกลุ่มที่เลือกมา เรียงสลับกันได้ $r!$ แบบ ซึ่งการจัดหมู่ถือว่าเป็นแบบเดียวกันหมด จึงต้องหารทิ้ง

✏️ตัวอย่าง

เลือกตัวแทน $3$ คนจาก $8$ คน (ไม่มีตำแหน่ง) ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1ไม่มีตำแหน่ง → ลำดับไม่สำคัญ → ใช้การจัดหมู่
ขั้นที่ 2 $C (8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56$

ตอบ $56$ วิธี

💡 เทียบกับตัวอย่างประธาน-รอง-เลขา ( $336$ วิธี) — โจทย์คล้ายกันมาก ต่างแค่ “มีตำแหน่งหรือเปล่า” แล้วคำตอบต่างกัน $6$ เท่า

สมบัติ	ความหมาย
$C (n, 0) = C (n, n) = 1$	เลือกทั้งหมดหรือไม่เลือกเลย มีทางเดียว
$C (n, 1) = n$	เลือกมาหนึ่ง มี $n$ ทาง
$C (n, r) = C (n, n - r)$	เลือกมา $r$ = ทิ้งไป $n - r$

สมบัติที่ช่วยคำนวณเร็วขึ้น

💡เคล็ดลับ

ใช้ $C (n, r) = C (n, n - r)$ ลดงานได้เยอะ — $C (20, 18)$ คำนวณยาก แต่ $C (20, 2) = 190$ คิดในใจได้

3.4 ลำดับสำคัญไหม — คำถามเดียวที่ต้องตอบ

สถานการณ์	ลำดับสำคัญ?	ใช้
จัดคนเข้าตำแหน่งต่างกัน	สำคัญ	$P$
เลือกกรรมการ (ไม่มีตำแหน่ง)	ไม่สำคัญ	$C$
จัดคนนั่งเรียงแถว	สำคัญ	$P$ หรือ $n!$
เลือกไพ่ $5$ ใบจากสำรับ	ไม่สำคัญ	$C$
ตั้งรหัสผ่าน	สำคัญ	$P$ หรือกฎการคูณ
เลือกผลไม้ $3$ ชนิดใส่ตะกร้า	ไม่สำคัญ	$C$

💡วิธีตัดสินใจใน 5 วินาที

ถามตัวเองว่า “สลับที่กันแล้วนับเป็นคนละแบบไหม” — ถ้าใช่ ใช้ $P$ · ถ้าไม่ ใช้ $C$

3.5 โจทย์ที่มีเงื่อนไข

•ต้องอยู่ติดกัน → มัดรวมเป็นก้อนเดียว เรียงก้อน แล้วคูณด้วยการเรียงภายในก้อน
•ห้ามอยู่ติดกัน → เรียงตัวที่เหลือก่อน แล้วแทรกลงช่องว่าง
•อย่างน้อย … → คิดจากส่วนเติมเต็ม (ทั้งหมด ลบ กรณีที่ไม่เอา)
•ตำแหน่งบางตำแหน่งถูกล็อก → จัดตำแหน่งที่ถูกล็อกก่อนเสมอ

✏️ตัวอย่าง

จัดคน $5$ คนนั่งเรียงแถว โดยให้ ก. กับ ข. ต้องนั่งติดกัน ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1มัด ก. กับ ข. เป็นก้อนเดียว → เหลือของ $4$ ชิ้นให้เรียง
ขั้นที่ 2เรียง $4$ ชิ้น: $4! = 24$
ขั้นที่ 3ภายในก้อนสลับได้ $2! = 2$
ขั้นที่ 4 $24 \times 2 = 48$

ตอบ $48$ วิธี

✏️ตัวอย่าง

จากข้อบน ถ้า ก. กับ ข. ห้ามนั่งติดกัน ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1ทั้งหมดที่เป็นไปได้: $5! = 120$
ขั้นที่ 2กรณีติดกัน (จากข้อบน) $= 48$
ขั้นที่ 3 $120 - 48 = 72$

ตอบ $72$ วิธี

💡 โจทย์ “ห้าม…” เกือบทั้งหมดคิดจากส่วนเติมเต็มเร็วกว่านับตรงๆ

✏️ตัวอย่าง

มีชาย $6$ คน หญิง $4$ คน เลือกกรรมการ $3$ คน โดยต้องมีหญิงอย่างน้อย $1$ คน ได้กี่วิธี

ขั้นที่ 1เลือก $3$ จาก $10$ ทั้งหมด: $C (10, 3) = 120$
ขั้นที่ 2กรณีไม่มีหญิงเลย (ชายล้วน): $C (6, 3) = 20$
ขั้นที่ 3 $120 - 20 = 100$

ตอบ $100$ วิธี

📋 สรุปสูตร — หลักการนับเบื้องต้น

กฎการคูณ

$m \times n$

เรียงทั้งหมด

$n!$

เรียงสับเปลี่ยน

$P (n, r) = \frac{n !}{( n - r )!}$

จัดหมู่

$C (n, r) = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

เรียงของซ้ำ

$\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots}$

สมบัติสมมาตร

$C (n, r) = C (n, n - r)$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ใช้ $P$ ทั้งที่ลำดับไม่สำคัญ (นับเกินไป $r!$ เท่า)
✗ลืมหารด้วยของซ้ำในโจทย์เรียงตัวอักษร
✗บวกทั้งที่ควรคูณ (สับสนระหว่าง “หรือ” กับ “และ”)
✗โจทย์ “อย่างน้อย” ไปนับตรงๆ ทีละกรณีจนตกหล่น
✗ลืมว่า $0! = 1$

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $5!$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $120$

ข้อ 2 $C (6, 2)$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $15$

ข้อ 3 $P (6, 2)$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $30$

ข้อ 4จัดเรียงตัวอักษรคำว่า LEVEL ได้กี่แบบ

ตอบ $30$

ข้อ 5เลือก $4$ คนจาก $10$ คนเป็นทีม ได้กี่วิธี

ตอบ $210$

บทที่ 4📊 สถิติและความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

ต่อยอดจาก ม.3 — พอมีหลักการนับแล้ว เราคำนวณความน่าจะเป็นของสถานการณ์ที่ซับซ้อนได้ เช่น การจับไพ่ การหยิบลูกบอลหลายลูกพร้อมกัน

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓ใช้หลักการนับหาจำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซและเหตุการณ์ได้
✓ใช้กฎการบวกของความน่าจะเป็นได้
✓แยกเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันออกจากเหตุการณ์ทั่วไปได้
✓แก้โจทย์ความน่าจะเป็นที่ต้องหยิบหลายชิ้นพร้อมกัน

เหตุการณ์ไม่เกิดร่วมกันmutually exclusive

เกิดพร้อมกันไม่ได้ — $A \cap B = \emptyset$

ส่วนเติมเต็มcomplement

เหตุการณ์ที่ $A$ ไม่เกิด เขียน $A^{'}$

4.1 ใช้หลักการนับหาความน่าจะเป็น

ยังเป็นสูตรเดิม แค่หา $n$ ยากขึ้น

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}

✏️ตัวอย่าง

หยิบลูกบอล $2$ ลูกพร้อมกันจากกล่องที่มีแดง $4$ ลูก น้ำเงิน $6$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แดงทั้งสองลูกเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1หยิบพร้อมกัน → ลำดับไม่สำคัญ → ใช้การจัดหมู่
ขั้นที่ 2 $n (S) = C (10, 2) = 45$
ขั้นที่ 3 $n (E) = C (4, 2) = 6$
ขั้นที่ 4 $P = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

ตอบ $\frac{2}{15}$

💡 คำว่า “พร้อมกัน” เป็นสัญญาณว่าใช้ $C$ ไม่ใช่ $P$

✏️ตัวอย่าง

หยิบลูกบอล $2$ ลูกจากข้อบน ความน่าจะเป็นที่ได้คนละสีเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1เลือกแดง $1$ จาก $4$ และน้ำเงิน $1$ จาก $6$
ขั้นที่ 2 $n (E) = C (4, 1) \times C (6, 1) = 4 \times 6 = 24$
ขั้นที่ 3 $P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

ตอบ $\frac{8}{15}$

4.2 กฎการบวกของความน่าจะเป็น

กรณีทั่วไป

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

เมื่อเกิดร่วมกันไม่ได้ ( $A \cap B = \emptyset$ )

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

🔑สาระสำคัญ

เป็นสูตรเดียวกับ $n (A \cup B)$ ในบทเซตเป๊ะ — ต้องลบส่วนที่ซ้อนกันออก ไม่งั้นนับซ้ำ

✏️ตัวอย่าง

จับไพ่ $1$ ใบจากสำรับ $52$ ใบ ความน่าจะเป็นที่ได้ไพ่โพแดง หรือ ไพ่ K เป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1 $P (โพแดง) = \frac{13}{52}$
ขั้นที่ 2 $P (K) = \frac{4}{52}$
ขั้นที่ 3ซ้อนกัน: K โพแดง มี $1$ ใบ → $P (ทั้งสอง) = \frac{1}{52}$
ขั้นที่ 4 $P = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

ตอบ $\frac{4}{13}$

💡 ถ้าลืมลบ $\frac{1}{52}$ จะได้ $\frac{17}{52}$ ซึ่งนับ K โพแดงสองครั้ง

✏️ตัวอย่าง

ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แต้ม $2$ หรือแต้ม $5$

ขั้นที่ 1เกิดพร้อมกันไม่ได้ (ลูกเต๋าลูกเดียวออกได้แต้มเดียว)
ขั้นที่ 2 $P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

ตอบ $\frac{1}{3}$

4.3 ส่วนเติมเต็ม — ทางลัดที่ใช้บ่อยที่สุด

ความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิด

P (A^{'}) = 1 - P (A)

💡เห็นคำเหล่านี้ ให้คิดกลับด้านทันที

▸“อย่างน้อยหนึ่ง…”
▸“ไม่ทั้งหมด…”
▸“อย่างน้อย $k$ …” เมื่อ $k$ น้อย

✏️ตัวอย่าง

หยิบลูกบอล $3$ ลูกจากกล่องที่มีแดง $5$ ลูก ขาว $7$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้แดงอย่างน้อย $1$ ลูกเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1 $n (S) = C (12, 3) = 220$
ขั้นที่ 2คิดกลับ: ไม่ได้แดงเลย = ขาวล้วน $= C (7, 3) = 35$
ขั้นที่ 3 $P (ไม่มีแดง) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44}$
ขั้นที่ 4 $P (มีแดงอย่างน้อย 1) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44}$

ตอบ $\frac{37}{44}$

💡 ถ้านับตรงๆ ต้องแยกเป็น แดง $1$ / แดง $2$ / แดง $3$ ลูก = ทำงาน $3$ รอบ แต่คิดกลับด้านทำรอบเดียวจบ

4.4 การแปลความและใช้จริง

•ค่าคาดหมาย เบื้องต้น: ถ้าทำ $N$ ครั้ง คาดว่าจะเกิดราว $N \times P$ ครั้ง
•ความน่าจะเป็นบอก แนวโน้มระยะยาว ไม่ได้บอกผลครั้งเดียว
•ตรวจคำตอบเสมอว่าอยู่ระหว่าง $0$ ถึง $1$
•เขียนคำตอบเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ หรือทศนิยม/ร้อยละตามที่โจทย์ขอ

✏️ตัวอย่าง

ถ้าความน่าจะเป็นที่เครื่องจักรผลิตของเสียเป็น $0.02$ ผลิต $5, 000$ ชิ้น คาดว่าจะมีของเสียกี่ชิ้น

ขั้นที่ 1 $5000 \times 0.02 = 100$

ตอบ ประมาณ $100$ ชิ้น

💡 คำว่า “ประมาณ” สำคัญ — ของจริงอาจได้ $95$ หรือ $108$ ก็ได้ ไม่ใช่ $100$ เป๊ะ

📋 สรุปสูตร — ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

$P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}$

กฎการบวก

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

ไม่เกิดร่วมกัน

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

ส่วนเติมเต็ม

$P (A^{'}) = 1 - P (A)$

หยิบพร้อมกัน

$n (S) = C (n, r)$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ใช้ $P$ (เรียงสับเปลี่ยน) กับโจทย์หยิบพร้อมกัน (ต้องใช้ $C$ )
✗ลืมลบ $P (A \cap B)$ ในกฎการบวก
✗โจทย์ “อย่างน้อย” ไปนับตรงๆ จนตกหล่น
✗ได้คำตอบเกิน $1$ แล้วไม่เอะใจ

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1หยิบ $2$ ลูกจาก $6$ ลูก มีกี่วิธี

ตอบ $15$

ข้อ 2จับไพ่ $1$ ใบ ได้ไพ่ดอกจิก ความน่าจะเป็นเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{4}$

ข้อ 3ถ้า $P (A) = 0.3$ , $P (B) = 0.5$ , $P (A \cap B) = 0.1$ แล้ว $P (A \cup B)$

ตอบ $0.7$

ข้อ 4 $P (A) = \frac{2}{9}$ แล้ว $P (A^{'})$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $\frac{7}{9}$

เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิต

จำนวนจริง

จัดระเบียบระบบจำนวนให้ครบ แล้วต่อด้วยเครื่องมือสองอย่างที่ใช้ตลอด ม.ปลาย — ค่าสัมบูรณ์ และ การแก้อสมการด้วยเส้นจำนวน

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกโครงสร้างของระบบจำนวนจริงและจำแนกจำนวนได้
✓แก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ได้
✓เขียนคำตอบในรูปช่วงได้
✓แก้อสมการพหุนามด้วยวิธีเส้นจำนวนได้

ค่าสัมบูรณ์absolute value

ระยะห่างจากศูนย์ — ไม่ติดลบเสมอ

ช่วงinterval

เซตของจำนวนจริงที่ต่อเนื่องกัน เขียนด้วยวงเล็บ

5.1 โครงสร้างของระบบจำนวนจริง

•จำนวนจริง $R$ = ตรรกยะ $\cup$ อตรรกยะ
•ตรรกยะ $Q$ = เขียนเป็น $\frac{a}{b}$ ได้ → รวมจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยมรู้จบและซ้ำ
•จำนวนเต็ม $Z$ = $\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$
•จำนวนนับ $N$ = $1, 2, 3, \dots$
•อตรรกยะ = $2, π, e$ — ทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ

ความสัมพันธ์
$N \subset Z \subset Q \subset R$

การซ้อนกันของเซตจำนวน

📎น่ารู้

จำนวนอตรรกยะ ไม่เป็น สับเซตของตรรกยะ — ทั้งสองแยกกันเด็ดขาด (อินเตอร์เซกชันเป็นเซตว่าง) แต่รวมกันได้จำนวนจริงพอดี

5.2 ค่าสัมบูรณ์

นิยาม

∣ a ∣ = {a - a เมื่อ a \geq 0 เมื่อ a < 0

•ความหมายเชิงภาพ: ระยะจาก $0$ บนเส้นจำนวน จึงไม่ติดลบเสมอ
• $∣ a - b ∣$ = ระยะระหว่าง $a$ กับ $b$ — ตีความแบบนี้ทำให้โจทย์หลายข้อง่ายลงมาก
• $∣ a ∣ \geq 0$ · $∣ a ∣ = ∣ - a ∣$ · $∣ ab ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣$
• $a^{2} = ∣ a ∣$ ไม่ใช่ $a$ (สำคัญมาก)

⚠️ระวัง

$- a$ ไม่ได้แปลว่าค่าติดลบ — ถ้า $a = - 5$ แล้ว $- a = 5$ ซึ่งเป็นบวก · นิยามค่าสัมบูรณ์จึงถูกต้อง

5.3 สมการค่าสัมบูรณ์

รูปพื้นฐาน

∣ x ∣ = k ⟺ x = k หรือ x = - k (k \geq 0)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $∣2 x - 3∣ = 7$

ขั้นที่ 1แตกเป็นสองกรณี
ขั้นที่ 2กรณี $1$ : $2 x - 3 = 7 \Rightarrow 2 x = 10 \Rightarrow x = 5$
ขั้นที่ 3กรณี $2$ : $2 x - 3 = - 7 \Rightarrow 2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2$
ขั้นที่ 4ตรวจทั้งคู่: $∣2 (5) - 3∣ = 7$ ✓ · $∣2 (- 2) - 3∣ = ∣ - 7∣ = 7$ ✓

ตอบ $x = 5$ หรือ $x = - 2$

⚠️ระวัง

ถ้า $k < 0$ เช่น $∣ x ∣ = - 3$ → ไม่มีคำตอบ เพราะค่าสัมบูรณ์ติดลบไม่ได้ · เจอแบบนี้ตอบได้ทันทีไม่ต้องแตะกรณี

5.4 อสมการค่าสัมบูรณ์

รูปแบบ	แปลว่า	คำตอบ
$∣ x ∣ < k$	อยู่ห่างจาก $0$ น้อยกว่า $k$	$- k < x < k$ (ช่วงตรงกลาง)
$∣ x ∣ > k$	อยู่ห่างจาก $0$ มากกว่า $k$	$x < - k$ หรือ $x > k$ (สองข้าง)

สองรูปแบบที่ต้องแยกให้ออก

💡จำด้วยภาพ ไม่ต้องท่อง

$<$ คือ “ใกล้ศูนย์” → ได้ช่วงเดียวตรงกลาง (เหมือนถูกบีบ) · $>$ คือ “ไกลศูนย์” → ได้สองช่วงแยกกันคนละฝั่ง

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $∣ x - 4∣ \leq 3$

ขั้นที่ 1รูป $\leq$ → ช่วงตรงกลาง
ขั้นที่ 2 $- 3 \leq x - 4 \leq 3$
ขั้นที่ 3บวก $4$ ทุกส่วน: $1 \leq x \leq 7$

ตอบ $1 \leq x \leq 7$ หรือช่วง $[1, 7]$

💡 ตีความ: “ $x$ ห่างจาก $4$ ไม่เกิน $3$ ” — ก็คือตั้งแต่ $1$ ถึง $7$ พอดี คิดในหัวได้เลยโดยไม่ต้องแก้

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $∣2 x + 1∣ > 5$

ขั้นที่ 1รูป $>$ → สองข้าง
ขั้นที่ 2 $2 x + 1 > 5$ หรือ $2 x + 1 < - 5$
ขั้นที่ 3 $2 x > 4 \Rightarrow x > 2$ · หรือ $2 x < - 6 \Rightarrow x < - 3$

ตอบ $x < - 3$ หรือ $x > 2$

5.5 การเขียนช่วง

อสมการ	ช่วง	วงเล็บ
$a < x < b$	$(a, b)$	เปิดทั้งสองข้าง (ไม่รวมปลาย)
$a \leq x \leq b$	$[a, b]$	ปิดทั้งสองข้าง (รวมปลาย)
$a \leq x < b$	$[a, b)$	ปิดซ้าย เปิดขวา
$x > a$	$(a, \infty)$	อนันต์ใช้วงเล็บเปิดเสมอ
$x \leq b$	$(- \infty, b]$	—

⚠️ระวัง

$\infty$ ไม่ใช่จำนวน จึงรวมเข้าไปในช่วงไม่ได้ — ต้องใช้วงเล็บเปิด $($ หรือ $)$ เสมอ เขียน $[3, \infty]$ ถือว่าผิด

5.6 อสมการพหุนาม — วิธีเส้นจำนวน

วิธีที่ใช้ได้กับพหุนามทุกดีกรี

1ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว ให้อีกข้างเป็น $0$
2แยกตัวประกอบให้หมด
3หา จุดวิกฤต (ค่าที่ทำให้แต่ละวงเล็บเป็นศูนย์) แล้วเรียงบนเส้นจำนวน
4แบ่งเส้นจำนวนเป็นช่วง แล้วทดสอบเครื่องหมายทีละช่วงด้วยการแทนค่าสักตัว
5เลือกช่วงที่ตรงกับเครื่องหมายที่โจทย์ต้องการ

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $x^{2} - x - 6 > 0$

ขั้นที่ 1แยกตัวประกอบ: $(x - 3) (x + 2) > 0$
ขั้นที่ 2จุดวิกฤต: $x = 3$ และ $x = - 2$
ขั้นที่ 3แบ่งเป็น $3$ ช่วง: $x < - 2$ · $- 2 < x < 3$ · $x > 3$
ขั้นที่ 4ทดสอบ $x = - 3$ : $(- 6) (- 1) = 6 > 0$ ✓
ขั้นที่ 5ทดสอบ $x = 0$ : $(- 3) (2) = - 6 < 0$ ✗
ขั้นที่ 6ทดสอบ $x = 4$ : $(1) (6) = 6 > 0$ ✓

ตอบ $x < - 2$ หรือ $x > 3$ · หรือช่วง $(- \infty, - 2) \cup (3, \infty)$

💡 เครื่องหมายจะ สลับกันไปมา ทีละช่วง (เมื่อไม่มีรากซ้ำ) — ทดสอบช่วงเดียวแล้วสลับเอาก็ได้ ประหยัดเวลา

⚠️ห้ามคูณไขว้ในอสมการที่มีตัวแปรเป็นตัวส่วน

$\frac{1}{x} > 2$ คูณไขว้ตรงๆ ไม่ได้ เพราะไม่รู้ว่า $x$ เป็นบวกหรือลบ (ถ้าลบต้องกลับเครื่องหมาย) — ต้องย้ายมาข้างเดียวแล้วใช้วิธีเส้นจำนวนแทน

📋 สรุปสูตร — จำนวนจริง

ค่าสัมบูรณ์

$∣ a ∣ = {a - a a \geq 0 a < 0$

รากของกำลังสอง

$a^{2} = ∣ a ∣$

สมการ

$∣ x ∣ = k ⟺ x = \pm k$

อสมการ (ใกล้)

$∣ x ∣ < k ⟺ - k < x < k$

อสมการ (ไกล)

$∣ x ∣ > k ⟺ x < - k หรือ x > k$

ระยะระหว่างจุด

$∣ a - b ∣$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗แก้ $∣ x ∣ = k$ โดยลืมกรณี $- k$
✗สับสน $∣ x ∣ < k$ กับ $∣ x ∣ > k$ (ช่วงเดียว vs สองช่วง)
✗เขียน $a^{2} = a$ แทนที่จะเป็น $∣ a ∣$
✗คูณไขว้ในอสมการที่มีตัวแปรเป็นตัวส่วน
✗ใส่วงเล็บปิดกับ $\infty$

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1แก้ $∣ x + 2∣ = 6$

ตอบ $x = 4$ หรือ $x = - 8$

ข้อ 2แก้ $∣ x ∣ < 3$ เขียนเป็นช่วง

ตอบ $(- 3, 3)$

ข้อ 3แก้ $∣ x - 1∣ \geq 4$

ตอบ $x \leq - 3$ หรือ $x \geq 5$

ข้อ 4แก้ $x^{2} - 4 < 0$

ตอบ $- 2 < x < 2$

ข้อ 5 $(- 7)^{2}$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $7$

เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิต

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคือ “เครื่องจักรที่ใส่อะไรเข้าไปแล้วได้ผลลัพธ์เดียวเสมอ” — เป็นแนวคิดที่ใช้ต่อในทุกเรื่องของ ม.ปลายและแคลคูลัส

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓หาผลคูณคาร์ทีเซียนและเขียนความสัมพันธ์ได้
✓หาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์และฟังก์ชันได้
✓ตรวจสอบได้ว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชัน
✓หาค่าฟังก์ชันและฟังก์ชันประกอบได้

ความสัมพันธ์relation

เซตของคู่อันดับ — สับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียน

ฟังก์ชันfunction

ความสัมพันธ์ที่สมาชิกตัวหน้าแต่ละตัวจับคู่กับตัวหลังได้เพียงตัวเดียว

โดเมนdomain

เซตของสมาชิกตัวหน้าทั้งหมด (ค่าที่ใส่เข้าไปได้)

เรนจ์range

เซตของสมาชิกตัวหลังทั้งหมด (ค่าที่ออกมาได้)

6.1 คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

ผลคูณคาร์ทีเซียน

A \times B = {(a, b) ∣ a \in A, b \in B}

• $(a, b) = (c, d)$ ก็ต่อเมื่อ $a = c$ และ $b = d$ — ลำดับสำคัญ
• $n (A \times B) = n (A) \times n (B)$
• $A \times B \neq = B \times A$ (ยกเว้นกรณีพิเศษ)

✏️ตัวอย่าง

ให้ $A = {1, 2}$ , $B = {a, b, c}$ จงหา $A \times B$ และ $n (A \times B)$

ขั้นที่ 1จับคู่ทุกตัวของ $A$ กับทุกตัวของ $B$
ขั้นที่ 2 $A \times B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}$
ขั้นที่ 3 $n = 2 \times 3 = 6$ ✓

ตอบ $6$ คู่อันดับ

6.2 ความสัมพันธ์ โดเมน และเรนจ์

•ความสัมพันธ์ $r$ คือสับเซตใดๆ ของ $A \times B$
• $D_{r}$ (โดเมน) = เซตของตัวหน้าทั้งหมดที่ปรากฏ
• $R_{r}$ (เรนจ์) = เซตของตัวหลังทั้งหมดที่ปรากฏ
•เขียนความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไขได้ เช่น $r = {(x, y) ∣ y = 2 x}$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $r = {(1, 3), (2, 5), (3, 3), (4, 7)}$ จงหาโดเมนและเรนจ์

ขั้นที่ 1ตัวหน้า: $1, 2, 3, 4$
ขั้นที่ 2ตัวหลัง: $3, 5, 3, 7$ → เขียนเป็นเซตไม่นับซ้ำ

ตอบ $D_{r} = {1, 2, 3, 4}$ · $R_{r} = {3, 5, 7}$

💡หาโดเมนของฟังก์ชันที่เขียนเป็นสูตร

▸เศษส่วน — ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์
▸รากที่สอง — ข้างในรากต้องไม่ติดลบ
▸ลอการิทึม — ข้างในต้องมากกว่าศูนย์
▸ถ้าไม่มีข้อจำกัดข้างต้น โดเมนคือจำนวนจริงทั้งหมด

✏️ตัวอย่าง

หาโดเมนของ $f (x) = \frac{1}{x - 3}$ และ $g (x) = x - 2$

ขั้นที่ 1 $f$ : ตัวส่วนห้ามเป็นศูนย์ → $x - 3 \neq = 0 \Rightarrow x \neq = 3$
ขั้นที่ 2 $g$ : ในรากต้องไม่ติดลบ → $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$

ตอบ $D_{f} = R - {3}$ · $D_{g} = [2, \infty)$

6.3 ฟังก์ชันคืออะไร

🔑นิยามแบบเข้าใจง่าย

ฟังก์ชันคือเครื่องจักรที่ ใส่ค่าเดียวกันเข้าไป ต้องได้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ — ห้ามใส่ $x$ ตัวเดียวแล้วได้ $y$ สองค่า

•ตรวจจากเซตคู่อันดับ: ตัวหน้าห้ามซ้ำ (ถ้าซ้ำ ตัวหลังต้องเหมือนกันด้วย)
•ตรวจจากกราฟ: ทดสอบเส้นตรงแนวตั้ง — ลากเส้นตั้งใดๆ ต้องตัดกราฟไม่เกิน $1$ จุด
•ตัวหลังซ้ำได้ไม่เป็นไร เช่น ${(1, 5), (2, 5)}$ ยังเป็นฟังก์ชัน

ความสัมพันธ์	เป็นฟังก์ชันไหม	เหตุผล
${(1, 2), (2, 3), (3, 4)}$	ใช่	ตัวหน้าไม่ซ้ำ
${(1, 2), (1, 3)}$	ไม่ใช่	$1$ จับคู่กับสองค่า
${(1, 5), (2, 5), (3, 5)}$	ใช่	ตัวหลังซ้ำได้
$y = x^{2}$	ใช่	ใส่ $x$ ได้ $y$ เดียว
$x = y^{2}$	ไม่ใช่	$x = 4$ ได้ $y = 2$ และ $- 2$

6.4 ค่าของฟังก์ชัน

• $f (a)$ หมายถึง แทน $a$ ลงในทุกที่ที่มี $x$
• $f (x)$ กับ $y$ ใช้แทนกันได้
• $f (a + b) \neq = f (a) + f (b)$ โดยทั่วไป — ห้ามกระจายมั่ว

✏️ตัวอย่าง

ให้ $f (x) = 2 x^{2} - 3 x + 1$ จงหา $f (2)$ , $f (- 1)$ และ $f (a + 1)$

ขั้นที่ 1 $f (2) = 2 (4) - 3 (2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$
ขั้นที่ 2 $f (- 1) = 2 (1) - 3 (- 1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$
ขั้นที่ 3 $f (a + 1) = 2 (a + 1)^{2} - 3 (a + 1) + 1$
ขั้นที่ 4 $= 2 (a^{2} + 2 a + 1) - 3 a - 3 + 1 = 2 a^{2} + 4 a + 2 - 3 a - 2 = 2 a^{2} + a$

ตอบ $f (2) = 3$ · $f (- 1) = 6$ · $f (a + 1) = 2 a^{2} + a$

💡 แทน $- 1$ ต้องใส่วงเล็บเสมอ — $2 (- 1)^{2}$ เป็น $2$ ไม่ใช่ $- 2$

6.5 ฟังก์ชันที่ควรรู้จัก

ชื่อ	รูปทั่วไป	กราฟ
ฟังก์ชันคงตัว	$f (x) = c$	เส้นตรงแนวนอน
ฟังก์ชันเชิงเส้น	$f (x) = a x + b$	เส้นตรงเอียง
ฟังก์ชันกำลังสอง	$f (x) = a x^{2} + b x + c$	พาราโบลา
ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์	$f (x) = ∣ x ∣$	รูปตัว V
ฟังก์ชันขั้นบันได	ปัดเศษ/ค่าโดยสาร	เป็นขั้นๆ

•ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง — ตัวหลังไม่ซ้ำด้วย · ตรวจด้วย เส้นตรงแนวนอน ตัดไม่เกิน $1$ จุด
• $f (x) = x^{2}$ เป็นฟังก์ชัน แต่ ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง (เพราะ $f (2) = f (- 2) = 4$ )
• $f (x) = 2 x + 1$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง

6.6 ฟังก์ชันประกอบและอินเวอร์ส (เบื้องต้น)

ฟังก์ชันประกอบ

(g \circ f) (x) = g (f (x))

ทำ $f$ ก่อน แล้วเอาผลไปใส่ $g$

✏️ตัวอย่าง

ให้ $f (x) = x + 3$ และ $g (x) = x^{2}$ จงหา $(g \circ f) (2)$ และ $(f \circ g) (2)$

ขั้นที่ 1 $(g \circ f) (2)$ : ทำ $f$ ก่อน → $f (2) = 5$ → แล้ว $g (5) = 25$
ขั้นที่ 2 $(f \circ g) (2)$ : ทำ $g$ ก่อน → $g (2) = 4$ → แล้ว $f (4) = 7$

ตอบ $(g \circ f) (2) = 25$ · $(f \circ g) (2) = 7$

💡 ลำดับสำคัญมาก — $g \circ f$ กับ $f \circ g$ มักได้คนละค่า อ่านจากขวาไปซ้าย (ตัวติดกับ $x$ ทำก่อน)

หาฟังก์ชันอินเวอร์ส (เมื่อเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง)

1เขียน $y = f (x)$
2สลับ $x$ กับ $y$
3แก้หา $y$
4เขียนผลเป็น $f^{- 1} (x)$

✏️ตัวอย่าง

หาอินเวอร์สของ $f (x) = 2 x - 6$

ขั้นที่ 1 $y = 2 x - 6$
ขั้นที่ 2สลับ: $x = 2 y - 6$
ขั้นที่ 3แก้หา $y$ : $2 y = x + 6 \Rightarrow y = \frac{x + 6}{2}$

ตอบ $f^{- 1} (x) = \frac{x + 6}{2}$

💡 ตรวจง่ายๆ: $f (5) = 4$ ดังนั้น $f^{- 1} (4)$ ต้องได้ $5$ → $\frac{4 + 6}{2} = 5$ ✓

📋 สรุปสูตร — ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

ผลคูณคาร์ทีเซียน

$n (A \times B) = n (A) \cdot n (B)$

ฟังก์ชันประกอบ

$(g \circ f) (x) = g (f (x))$

ทดสอบฟังก์ชัน

$เส้นตั้งตัดไม่เกิน 1 จุด$

ทดสอบหนึ่งต่อหนึ่ง

$เส้นนอนตัดไม่เกิน 1 จุด$

อินเวอร์ส

$f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗คิดว่าตัวหลังซ้ำแล้วไม่เป็นฟังก์ชัน (ซ้ำได้)
✗สลับลำดับฟังก์ชันประกอบ
✗ $f (a + b) = f (a) + f (b)$
✗ลืมข้อจำกัดของโดเมน (ตัวส่วนเป็นศูนย์ / ในรากติดลบ)
✗แทนค่าลบโดยไม่ใส่วงเล็บ

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $f (x) = 3 x - 1$ แล้ว $f (4)$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $11$

ข้อ 2 ${(1, 2), (1, 5), (3, 4)}$ เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ตอบ ไม่เป็น — $1$ จับคู่สองค่า

ข้อ 3โดเมนของ $f (x) = x + 5$

ตอบ $x \geq - 5$ หรือ $[- 5, \infty)$

ข้อ 4 $f (x) = x^{2}, g (x) = x + 1$ แล้ว $(f \circ g) (3)$

ตอบ $16$

ข้อ 5อินเวอร์สของ $f (x) = x + 7$

ตอบ $f^{- 1} (x) = x - 7$

เพิ่มเติม📐 การวัดและเรขาคณิต

เรขาคณิตวิเคราะห์

เอาพีชคณิตมาแก้ปัญหาเรขาคณิต — แทนที่จะวาดแล้ววัด เราคำนวณจากพิกัดได้เลย ทั้งระยะทาง ความชัน สมการเส้นตรง และสมการวงกลม

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓หาระยะระหว่างจุดและจุดกึ่งกลางได้
✓หาความชันและเขียนสมการเส้นตรงในรูปต่างๆ ได้
✓ตรวจสอบเส้นขนานและเส้นตั้งฉากจากความชันได้
✓เขียนและอ่านสมการวงกลมได้

ความชันslope

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ต่อ $x$ เขียนแทนด้วย $m$

จุดกึ่งกลางmidpoint

จุดที่อยู่กึ่งกลางระหว่างสองจุด

7.1 ระยะทางและจุดกึ่งกลาง

ระยะระหว่างจุด (มาจากพีทาโกรัส)

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

จุดกึ่งกลาง (คือค่าเฉลี่ยของพิกัด)

M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

✏️ตัวอย่าง

หาระยะระหว่าง $A (- 2, 3)$ กับ $B (4, 11)$ และจุดกึ่งกลางของ $A B$

ขั้นที่ 1 $d = (4 - (- 2))^{2} + (11 - 3)^{2} = 6^{2} + 8^{2}$
ขั้นที่ 2 $= 36 + 64 = 100 = 10$
ขั้นที่ 3 $M = (\frac{- 2 + 4}{2}, \frac{3 + 11}{2}) = (1, 7)$

ตอบ $d = 10$ · $M = (1, 7)$

💡 ระยะทางเป็นบวกเสมอ — จะเอา $x_{2} - x_{1}$ หรือ $x_{1} - x_{2}$ ก็ได้ เพราะยกกำลังสองแล้วเหมือนกัน

7.2 ความชัน

ความชัน

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}

ความชัน	ลักษณะเส้น
$m > 0$	เอียงขึ้นจากซ้ายไปขวา
$m < 0$	เอียงลง
$m = 0$	เส้นแนวนอน ( $y = k$ )
ไม่นิยาม	เส้นแนวตั้ง ( $x = k$ ) เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์

เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก

ℓ_{1} ∥ ℓ_{2} ⟺ m_{1} = m_{2} ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2} ⟺ m_{1} m_{2} = - 1

💡เคล็ดลับ

ตั้งฉาก = ความชันกลับเศษส่วนแล้วเปลี่ยนเครื่องหมาย เช่น $m = \frac{2}{3}$ → ตั้งฉากคือ $- \frac{3}{2}$ · ตรวจง่ายๆ ด้วยการคูณกันต้องได้ $- 1$

7.3 สมการเส้นตรง

รูป	สมการ	ใช้เมื่อรู้
ความชัน-จุดตัดแกน	$y = m x + c$	ความชันและจุดตัดแกน $Y$
จุดและความชัน	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	จุด $1$ จุดและความชัน
ทั่วไป	$A x + B y + C = 0$	รูปมาตรฐานสำหรับคำนวณ

เลือกใช้ตามข้อมูลที่โจทย์ให้มา

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(2, 5)$ และมีความชัน $3$

ขั้นที่ 1ใช้รูปจุดและความชัน: $y - 5 = 3 (x - 2)$
ขั้นที่ 2 $y - 5 = 3 x - 6$
ขั้นที่ 3 $y = 3 x - 1$

ตอบ $y = 3 x - 1$

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(1, 2)$ และ $(4, 11)$

ขั้นที่ 1หาความชันก่อน: $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$
ขั้นที่ 2ใช้จุด $(1, 2)$ : $y - 2 = 3 (x - 1)$
ขั้นที่ 3 $y = 3 x - 1$
ขั้นที่ 4ตรวจกับอีกจุด: $3 (4) - 1 = 11$ ✓

ตอบ $y = 3 x - 1$

💡 มีสองจุด → หาความชันก่อนเสมอ แล้วค่อยใช้จุดไหนก็ได้ (ได้สมการเดียวกัน) · ตรวจด้วยจุดที่เหลือ

✏️ตัวอย่าง

หาสมการเส้นตรงที่ผ่าน $(3, - 1)$ และตั้งฉากกับ $y = 2 x + 5$

ขั้นที่ 1เส้นเดิมมี $m = 2$ → เส้นตั้งฉากมี $m = - \frac{1}{2}$
ขั้นที่ 2 $y - (- 1) = - \frac{1}{2} (x - 3)$
ขั้นที่ 3 $y + 1 = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$
ขั้นที่ 4 $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

ตอบ $y = - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$

7.4 ระยะจากจุดถึงเส้นตรง

ระยะตั้งฉากจากจุด $(x_{0}, y_{0})$ ถึงเส้น $A x + B y + C = 0$

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

✏️ตัวอย่าง

หาระยะจากจุด $(3, 4)$ ถึงเส้นตรง $3 x + 4 y - 10 = 0$

ขั้นที่ 1 $A = 3, B = 4, C = - 10$
ขั้นที่ 2 $d = \frac{∣3 ( 3 ) + 4 ( 4 ) - 10∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{∣9 + 16 - 10∣}{5}$
ขั้นที่ 3 $= \frac{15}{5} = 3$

ตอบ $3$ หน่วย

💡 ต้องจัดสมการเป็นรูป $A x + B y + C = 0$ (ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว) ก่อนใช้สูตรเสมอ

7.5 สมการวงกลม

จุดศูนย์กลาง $(h, k)$ รัศมี $r$

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

📎น่ารู้

สูตรนี้ก็คือ สูตรระยะทาง นั่นเอง — วงกลมคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับ $r$ พอดี

•จุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
•เครื่องหมายในวงเล็บกลับกับพิกัด: $(x - 3)^{2}$ → จุดศูนย์กลางที่ $x = 3$
•รูปทั่วไป $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ → จัดเป็นกำลังสองสมบูรณ์เพื่อหาจุดศูนย์กลางและรัศมี

✏️ตัวอย่าง

หาจุดศูนย์กลางและรัศมีของ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 12 = 0$

ขั้นที่ 1จัดกลุ่ม: $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) = 12$
ขั้นที่ 2ทำกำลังสองสมบูรณ์: $x$ เติม $(\frac{- 6}{2})^{2} = 9$ · $y$ เติม $(\frac{4}{2})^{2} = 4$
ขั้นที่ 3 $(x^{2} - 6 x + 9) + (y^{2} + 4 y + 4) = 12 + 9 + 4$
ขั้นที่ 4 $(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$

ตอบ จุดศูนย์กลาง $(3, - 2)$ · รัศมี $5$

💡 อย่าลืมบวกตัวที่เติมเข้าไป ทางขวาด้วย — เป็นจุดที่พลาดกันมากที่สุด

📋 สรุปสูตร — เรขาคณิตวิเคราะห์

ระยะระหว่างจุด

$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

จุดกึ่งกลาง

$M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

ความชัน

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

จุดและความชัน

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

ขนาน / ตั้งฉาก

$m_{1} = m_{2} / m_{1} m_{2} = - 1$

ระยะจุดถึงเส้น

$d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}$

วงกลม

$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗อ่านเครื่องหมายจุดศูนย์กลางวงกลมผิด ( $(x + 2)^{2}$ คือ $h = - 2$ )
✗ลืมบวกตัวที่เติมทางขวาตอนทำกำลังสองสมบูรณ์
✗ใช้สูตรระยะจุดถึงเส้นโดยยังไม่จัดเป็นรูป $A x + B y + C = 0$
✗คิดว่าเส้นแนวตั้งมีความชันเป็น $0$ (ที่จริงคือไม่นิยาม)

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1ระยะระหว่าง $(0, 0)$ กับ $(3, 4)$

ตอบ $5$

ข้อ 2จุดกึ่งกลางของ $(2, 6)$ และ $(8, 10)$

ตอบ $(5, 8)$

ข้อ 3ความชันของเส้นผ่าน $(1, 1)$ และ $(3, 7)$

ตอบ $3$

ข้อ 4เส้นตั้งฉากกับ $y = 4 x$ มีความชันเท่าใด

ตอบ $- \frac{1}{4}$

ข้อ 5 $(x - 1)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ มีจุดศูนย์กลางและรัศมีเท่าใด

ตอบ จุดศูนย์กลาง $(1, - 3)$ รัศมี $4$

เพิ่มเติม🔢 จำนวนและพีชคณิต

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

ลอการิทึมคือ การถามกลับของเลขยกกำลัง — “ต้องยกกำลังเท่าไรถึงจะได้เลขนี้” ใช้จัดการกับตัวเลขที่โตหรือลดแบบทวีคูณ เช่น ดอกเบี้ยทบต้น ความเข้มเสียง แผ่นดินไหว

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓ใช้สมบัติของเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะได้
✓แปลงระหว่างรูปเลขยกกำลังกับรูปลอการิทึมได้
✓ใช้สมบัติของลอการิทึมย่อและกระจายนิพจน์ได้
✓แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมอย่างง่ายได้

ลอการิทึมlogarithm

เลขชี้กำลังที่ต้องใช้ยกฐานเพื่อให้ได้ตัวเลขที่ต้องการ

ฐานbase

จำนวนที่ถูกยกกำลัง ต้องเป็นบวกและไม่เท่ากับ 1

8.1 เลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนตรรกยะ

รากเขียนเป็นเลขยกกำลังได้

a^{\frac{1}{n}} = n a a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}

•สมบัติของเลขยกกำลังทั้งหมดจาก ม.2 ยังใช้ได้เหมือนเดิม
• $a^{\frac{1}{2}} = a$ · $a^{\frac{1}{3}} = 3 a$
•ตัวส่วนของเลขชี้กำลังคือ อันดับของราก · ตัวเศษคือ กำลัง

✏️ตัวอย่าง

หาค่าของ $8^{\frac{2}{3}}$ และ $1 6^{- \frac{1}{2}}$

ขั้นที่ 1 $8^{\frac{2}{3}} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$
ขั้นที่ 2 $1 6^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{1 6 ^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

ตอบ $4$ และ $\frac{1}{4}$

💡 ถอดรากก่อน แล้วค่อยยกกำลัง จะได้เลขเล็กกว่ามาก — $3 8^{2} = 364$ ก็ได้ $4$ เหมือนกันแต่คิดยากกว่า

8.2 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

รูปทั่วไป

y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)

เงื่อนไข	ลักษณะกราฟ
$a > 1$	เพิ่มขึ้น (โตแบบทวีคูณ)
$0 < a < 1$	ลดลง (สลายตัว)
ทุกกรณี	ผ่านจุด $(0, 1)$ เสมอ เพราะ $a^{0} = 1$
ทุกกรณี	$y > 0$ เสมอ — กราฟไม่แตะแกน $X$

⚠️ระวัง

ฐานต้อง เป็นบวกและไม่เท่ากับ $1$ — ถ้า $a = 1$ จะได้ $y = 1$ ตลอด (เป็นเส้นตรง ไม่ใช่เอกซ์โพเนนเชียล) และถ้าฐานติดลบ ค่าจะกระโดดไปมาจนไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

8.3 ลอการิทึมคืออะไร

นิยาม — สองรูปนี้พูดเรื่องเดียวกัน

lo g_{a} N = x ⟺ a^{x} = N

🔑อ่านให้เป็นภาษาคน

$lo g_{2} 8 = 3$ อ่านว่า “ต้องยก $2$ กำลังเท่าไรถึงได้ $8$ ? ตอบ $3$ ” — ถ้าอ่านแบบนี้ได้ ลอการิทึมจะไม่ยากเลย

รูปลอการิทึม	รูปเลขยกกำลัง
$lo g_{2} 8 = 3$	$2^{3} = 8$
$lo g_{10} 100 = 2$	$1 0^{2} = 100$
$lo g_{5} 1 = 0$	$5^{0} = 1$
$lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$	$3^{- 2} = \frac{1}{9}$

ฝึกแปลงกลับไปมา

• $lo g N$ (ไม่เขียนฐาน) หมายถึงฐาน $10$
• $ln N$ หมายถึงฐาน $e \approx 2.718$ (ลอการิทึมธรรมชาติ)
• $N$ ต้องมากกว่า $0$ เสมอ — $lo g$ ของศูนย์หรือจำนวนลบไม่มีค่า

8.4 สมบัติของลอการิทึม

สมบัติ	สูตร
ผลคูณ	$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
ผลหาร	$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
เลขชี้กำลัง	$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$
ค่าพื้นฐาน	$lo g_{a} 1 = 0$ · $lo g_{a} a = 1$
เปลี่ยนฐาน	$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$

ลอการิทึมเปลี่ยนคูณเป็นบวก — นี่คือเหตุผลที่มันถูกคิดค้นขึ้นมา

⚠️สิ่งที่ไม่มีในตาราง = ทำไม่ได้

▸ $lo g (M + N) \neq = lo g M + lo g N$
▸ $\frac{lo g M}{lo g N} \neq = lo g \frac{M}{N}$
▸ $(lo g M)^{2} \neq = 2 lo g M$

✏️ตัวอย่าง

เขียน $lo g_{2} 32 - lo g_{2} 4$ ให้เป็นค่าเดียว

ขั้นที่ 1ใช้สมบัติผลหาร: $lo g_{2} \frac{32}{4} = lo g_{2} 8$
ขั้นที่ 2 $2^{3} = 8$ → $lo g_{2} 8 = 3$

ตอบ $3$

✏️ตัวอย่าง

กระจาย $lo g \frac{x ^{3} y}{z}$

ขั้นที่ 1ผลหาร: $lo g (x^{3} y) - lo g z$
ขั้นที่ 2ผลคูณ: $lo g x^{3} + lo g y - lo g z$
ขั้นที่ 3เลขชี้กำลัง: $3 lo g x + lo g y - lo g z$

ตอบ $3 lo g x + lo g y - lo g z$

8.5 การแก้สมการ

สมการเอกซ์โพเนนเชียล

1ถ้าทำให้ ฐานเท่ากัน ได้ ให้จับเลขชี้กำลังมาเท่ากันเลย
2ถ้าฐานเท่ากันไม่ได้ ให้ใส่ $lo g$ ทั้งสองข้าง

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2^{x + 1} = 32$

ขั้นที่ 1ทำฐานให้เท่ากัน: $32 = 2^{5}$
ขั้นที่ 2 $2^{x + 1} = 2^{5}$
ขั้นที่ 3 $x + 1 = 5 \Rightarrow x = 4$

ตอบ $x = 4$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $lo g_{3} (x - 1) = 2$

ขั้นที่ 1แปลงเป็นรูปเลขยกกำลัง: $3^{2} = x - 1$
ขั้นที่ 2 $9 = x - 1 \Rightarrow x = 10$
ขั้นที่ 3ตรวจ: $x - 1 = 9 > 0$ ✓ ใช้ได้

ตอบ $x = 10$

💡 ⚠️ สมการลอการิทึมต้องตรวจคำตอบเสมอ — ถ้าแทนกลับแล้วข้างในล็อกเป็นศูนย์หรือติดลบ ต้องตัดทิ้ง (เรียกว่าคำตอบแปลกปลอม)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 2) = 3$

ขั้นที่ 1รวมเป็นล็อกเดียว: $lo g_{2} (x (x - 2)) = 3$
ขั้นที่ 2 $x (x - 2) = 2^{3} = 8$
ขั้นที่ 3 $x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 2) = 0$
ขั้นที่ 4 $x = 4$ หรือ $x = - 2$
ขั้นที่ 5ตรวจ: $x = - 2$ ทำให้ $lo g_{2} (- 2)$ ไม่มีค่า → ตัดทิ้ง

ตอบ $x = 4$

8.6 การนำไปใช้

ดอกเบี้ยทบต้น

A = P (1 + r)^{n}

$P$ = เงินต้น · $r$ = อัตราต่อรอบ · $n$ = จำนวนรอบ

✏️ตัวอย่าง

ฝากเงิน $10, 000$ บาท ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ $5$ ต่อปี อีก $3$ ปีจะได้เงินเท่าใด

ขั้นที่ 1 $A = 10000 (1 + 0.05)^{3} = 10000 (1.05)^{3}$
ขั้นที่ 2 $(1.05)^{3} \approx 1.157625$
ขั้นที่ 3 $A \approx 11576.25$

ตอบ ประมาณ $11, 576$ บาท

💡 เทียบกับดอกเบี้ยอย่างง่าย (ม.1) ที่ได้ $11, 500$ บาท — ส่วนต่างเกิดจากดอกเบี้ยของดอกเบี้ย ยิ่งเวลานานยิ่งต่างกันมาก

•มาตราริกเตอร์ (แผ่นดินไหว) และ เดซิเบล (เสียง) เป็นสเกลลอการิทึม — เพิ่ม $1$ หน่วยคือแรงขึ้นหลายเท่า
•pH ในเคมี $= - lo g [H^{+}]$
•ใช้ลอการิทึมเมื่อข้อมูลมีช่วงกว้างมาก เพราะช่วยบีบให้อ่านง่ายขึ้น

📎น่ารู้

แผ่นดินไหวขนาด $7$ ปลดปล่อยพลังงานมากกว่าขนาด $6$ ประมาณ $32$ เท่า ไม่ใช่ $1$ เท่า — นี่คือเหตุผลที่ต้องเข้าใจสเกลลอการิทึม ไม่งั้นจะประเมินความรุนแรงต่ำเกินจริงมาก

📋 สรุปสูตร — ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม

นิยามลอการิทึม

$lo g_{a} N = x ⟺ a^{x} = N$

ผลคูณ

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$

ผลหาร

$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$

เลขชี้กำลัง

$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$

เปลี่ยนฐาน

$lo g_{a} M = \frac{l o g _{b} M}{l o g _{b} a}$

เลขชี้กำลังตรรกยะ

$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$

ดอกเบี้ยทบต้น

$A = P (1 + r)^{n}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ $lo g (M + N) = lo g M + lo g N$ (ผิด — สมบัติใช้กับผลคูณ)
✗ลืมตรวจคำตอบของสมการลอการิทึม (คำตอบแปลกปลอม)
✗คิดว่า $lo g$ ของจำนวนลบมีค่า
✗สับสน $(lo g M)^{2}$ กับ $lo g M^{2}$
✗ยกกำลังก่อนถอดราก ทำให้ตัวเลขใหญ่เกินจำเป็น

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $lo g_{2} 16$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $4$

ข้อ 2 $lo g_{5} 1$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $0$

ข้อ 3 $2 7^{\frac{2}{3}}$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $9$

ข้อ 4แก้ $3^{x} = 81$

ตอบ $x = 4$

ข้อ 5 $lo g 2 + lo g 50$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $2$ (เพราะ $lo g 100$ )