สนามสอบ

สรุปคณิตศาสตร์ ม.3

มัธยมศึกษาปีที่ 3 · ฉบับเต็มทั้งเล่ม

บท

หัวข้อย่อย

ตัวอย่าง

228

นาที

เรียบเรียงขึ้นใหม่ทั้งเล่ม อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)
ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด · sanamsob.com

สารบัญ

บทที่ 1อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว🔢 จำนวนและพีชคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 2การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง🔢 จำนวนและพีชคณิต · 4 หัวข้อ
บทที่ 3สมการกำลังสองตัวแปรเดียว🔢 จำนวนและพีชคณิต · 6 หัวข้อ
บทที่ 4ความคล้าย📐 การวัดและเรขาคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 5กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง🔢 จำนวนและพีชคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 6ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร🔢 จำนวนและพีชคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 7วงกลม📐 การวัดและเรขาคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 8พีระมิด กรวย และทรงกลม📐 การวัดและเรขาคณิต · 5 หัวข้อ
บทที่ 9ความน่าจะเป็น📊 สถิติและความน่าจะเป็น · 4 หัวข้อ
บทที่ 10สถิติ (3)📊 สถิติและความน่าจะเป็น · 5 หัวข้อ
บทเสริมอัตราส่วนตรีโกณมิติ📐 การวัดและเรขาคณิต · 5 หัวข้อ

บทที่ 1🔢 จำนวนและพีชคณิต

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อสมการแก้เหมือนสมการเกือบทุกอย่าง — ต่างกันแค่กฎเดียวที่สำคัญมาก: คูณหรือหารด้วยจำนวนลบเมื่อไร ต้อง กลับเครื่องหมาย ทันที

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓อ่านและเขียนอสมการจากประโยคภาษาไทยได้
✓เขียนกราฟคำตอบของอสมการบนเส้นจำนวนได้
✓แก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวได้ถูกต้อง โดยเฉพาะกรณีที่ต้องกลับเครื่องหมาย
✓แก้โจทย์ปัญหาที่ใช้อสมการได้

อสมการinequality

ประโยคที่แสดงการไม่เท่ากัน ใช้ $<, >, \leq, \geq, \neq =$

คำตอบของอสมการsolution set

ค่าทั้งหมดของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง (มักมีมากมายไม่จำกัด)

1.1 สัญลักษณ์และการอ่าน

สัญลักษณ์	อ่านว่า	ภาษาโจทย์ที่มักใช้
$x < a$	$x$ น้อยกว่า $a$	ต่ำกว่า · น้อยกว่า · ไม่ถึง
$x > a$	$x$ มากกว่า $a$	เกิน · มากกว่า · สูงกว่า
$x \leq a$	$x$ น้อยกว่าหรือเท่ากับ $a$	ไม่เกิน · อย่างมาก · มากสุด
$x \geq a$	$x$ มากกว่าหรือเท่ากับ $a$	อย่างน้อย · ไม่ต่ำกว่า · ขั้นต่ำ

💡แปลภาษาโจทย์ให้ถูก

▸“ไม่เกิน $500$ บาท” → $x \leq 500$ (รวม $500$ ด้วย)
▸“น้อยกว่า $500$ บาท” → $x < 500$ (ไม่รวม $500$ )
▸“อย่างน้อย $18$ ปี” → $x \geq 18$

1.2 กราฟคำตอบบนเส้นจำนวน

•วงกลมโปร่ง ○ ใช้กับ $<$ และ $>$ — จุดนั้น ไม่รวม อยู่ในคำตอบ
•วงกลมทึบ ● ใช้กับ $\leq$ และ $\geq$ — จุดนั้น รวม อยู่ในคำตอบ
•ระบายเส้นไปทางที่คำตอบอยู่ — มากกว่าไปขวา น้อยกว่าไปซ้าย
•อสมการมักมีคำตอบ มากมายไม่จำกัด ต่างจากสมการที่มักมีคำตอบเดียว

⚠️ระวัง

ระวังตอนเขียนคำตอบเป็นภาษา — $x > 3$ อ่านว่า “จำนวนจริงทุกจำนวนที่มากกว่า $3$ ” ไม่ใช่ “ $4, 5, 6, \dots$ ” เพราะ $3.5$ ก็ใช้ได้

1.3 สมบัติของอสมการ (หัวใจของบท)

ทำอะไร	เครื่องหมาย	ตัวอย่าง
บวก/ลบทั้งสองข้างด้วยจำนวนใดก็ได้	คงเดิม	$x - 3 < 5 \Rightarrow x < 8$
คูณ/หารด้วยจำนวน บวก	คงเดิม	$2 x < 8 \Rightarrow x < 4$
คูณ/หารด้วยจำนวน ลบ	กลับด้าน	$- 2 x < 8 \Rightarrow x > - 4$

ทำอะไรกับอสมการได้บ้าง

🔑ทำไมต้องกลับเครื่องหมาย

ลองดูของจริง: $3 < 5$ เป็นจริง · คูณสองข้างด้วย $- 1$ ได้ $- 3$ กับ $- 5$ · แต่ $- 3 > - 5$ ไม่ใช่ $- 3 < - 5$ — เพราะบนเส้นจำนวน จำนวนลบยิ่งดูใหญ่ยิ่งอยู่ซ้าย ลำดับจึงพลิกกลับทั้งหมด

⚠️ระวัง

บวกลบด้วยจำนวนลบ ไม่ต้องกลับเครื่องหมาย — กลับเฉพาะตอน คูณหรือหาร ด้วยจำนวนลบเท่านั้น เช่น $x + (- 3) < 5$ ยังเป็น $x < 8$ ตามปกติ

1.4 การแก้อสมการ

ทำเหมือนแก้สมการทุกอย่าง เพิ่มแค่การเช็คเครื่องหมาย

1กระจายวงเล็บ · กำจัดเศษส่วนด้วย ค.ร.น.
2ย้ายตัวแปรไปข้างเดียว ตัวเลขไปอีกข้าง
3หารด้วยสัมประสิทธิ์ — ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นลบ ให้กลับเครื่องหมายทันที
4เขียนกราฟบนเส้นจำนวน และตรวจโดยลองแทนค่าสักตัวจากคำตอบ

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $3 x - 7 \leq 8$

ขั้นที่ 1บวก $7$ ทั้งสองข้าง: $3 x \leq 15$
ขั้นที่ 2หาร $3$ (เป็นบวก → เครื่องหมายคงเดิม): $x \leq 5$
ขั้นที่ 3ตรวจ: ลอง $x = 0$ → $3 (0) - 7 = - 7 \leq 8$ ✓

ตอบ $x \leq 5$

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $- 4 x + 2 > 14$

ขั้นที่ 1ลบ $2$ ทั้งสองข้าง: $- 4 x > 12$
ขั้นที่ 2หาร $- 4$ ซึ่งเป็นลบ → กลับเครื่องหมาย
ขั้นที่ 3 $x < - 3$
ขั้นที่ 4ตรวจ: ลอง $x = - 5$ → $- 4 (- 5) + 2 = 22 > 14$ ✓ · ลอง $x = 0$ → $2 > 14$ ✗ (ถูกต้องที่ $0$ ไม่ใช่คำตอบ)

ตอบ $x < - 3$

💡 ตรวจด้วยการแทนค่าสองตัว — ตัวที่อยู่ในคำตอบต้องเป็นจริง ตัวที่อยู่นอกคำตอบต้องเป็นเท็จ ถ้าไม่เป็นแบบนี้แปลว่าลืมกลับเครื่องหมาย

✏️ตัวอย่าง

แก้อสมการ $\frac{2 x - 1}{3} \geq \frac{x + 4}{2}$

ขั้นที่ 1คูณทั้งสองข้างด้วย ค.ร.น. $= 6$ (เป็นบวก เครื่องหมายคงเดิม)
ขั้นที่ 2 $2 (2 x - 1) \geq 3 (x + 4)$
ขั้นที่ 3 $4 x - 2 \geq 3 x + 12$
ขั้นที่ 4 $4 x - 3 x \geq 12 + 2$
ขั้นที่ 5 $x \geq 14$

ตอบ $x \geq 14$

1.5 โจทย์ปัญหา

✏️ตัวอย่าง

รถบรรทุกคันหนึ่งหนัก $2, 500$ กก. บรรทุกกล่องหนักกล่องละ $45$ กก. ถ้าสะพานรับน้ำหนักได้ไม่เกิน $5, 000$ กก. จะบรรทุกได้มากที่สุดกี่กล่อง

ขั้นที่ 1ให้บรรทุก $x$ กล่อง
ขั้นที่ 2น้ำหนักรวม $= 2500 + 45 x$ และต้อง ไม่เกิน $5000$
ขั้นที่ 3 $2500 + 45 x \leq 5000$
ขั้นที่ 4 $45 x \leq 2500$
ขั้นที่ 5 $x \leq 55.55 \dots$
ขั้นที่ 6กล่องต้องเป็นจำนวนเต็ม → มากที่สุดคือ $55$ กล่อง

ตอบ $55$ กล่อง

💡 โจทย์ที่นับเป็นชิ้น/คน ต้อง ปัดลงเป็นจำนวนเต็มเสมอ ไม่ว่าทศนิยมจะเป็นเท่าไร — บรรทุก $55.5$ กล่องไม่ได้

✏️ตัวอย่าง

คะแนนสอบ $3$ ครั้งแรกได้ $72, 68, 80$ คะแนน ต้องได้ครั้งที่ $4$ อย่างน้อยเท่าใด เฉลี่ยทั้ง $4$ ครั้งจึงจะไม่ต่ำกว่า $75$

ขั้นที่ 1ให้ครั้งที่ $4$ ได้ $x$ คะแนน
ขั้นที่ 2 $\frac{72 + 68 + 80 + x}{4} \geq 75$
ขั้นที่ 3 $\frac{220 + x}{4} \geq 75$
ขั้นที่ 4 $220 + x \geq 300$
ขั้นที่ 5 $x \geq 80$

ตอบ อย่างน้อย $80$ คะแนน

📋 สรุปสูตร — อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

บวก/ลบ

$a < b \Rightarrow a + c < b + c$

คูณ/หารด้วยบวก

$a < b, c > 0 \Rightarrow a c < b c$

คูณ/หารด้วยลบ (กลับด้าน)

$a < b, c < 0 \Rightarrow a c > b c$

วงกลมโปร่ง / ทึบ

$<, > \to \circ \leq, \geq \to ∙$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ลืมกลับเครื่องหมายตอนหารด้วยจำนวนลบ (ผิดมากที่สุดในบทนี้)
✗กลับเครื่องหมายตอนบวก/ลบด้วยจำนวนลบ (ไม่ต้องกลับ)
✗ใช้วงกลมทึบกับ $<$ หรือวงกลมโปร่งกับ $\leq$
✗ตอบเป็นทศนิยมทั้งที่โจทย์นับเป็นชิ้น (ต้องปัดลง)

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1แก้ $5 x + 3 < 18$

ตอบ $x < 3$

ข้อ 2แก้ $- 3 x \geq 12$

ตอบ $x \leq - 4$

ข้อ 3แก้ $2 (x - 4) > x + 1$

ตอบ $x > 9$

ข้อ 4“ราคาไม่เกิน $300$ บาท” เขียนเป็นอสมการอย่างไร

ตอบ $x \leq 300$

ข้อ 5 $- x < 7$ มีคำตอบว่าอย่างไร

ตอบ $x > - 7$

บทที่ 2🔢 จำนวนและพีชคณิต

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

ต่อยอดจาก ม.2 — เพิ่มสูตรผลบวก/ผลต่างกำลังสาม และเทคนิคจัดกลุ่ม ทำให้แยกพหุนามดีกรี 3 ขึ้นไปได้

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓ใช้สูตรผลบวกและผลต่างของกำลังสามแยกตัวประกอบได้
✓ใช้วิธีจัดกลุ่มแยกตัวประกอบพหุนามสี่พจน์ได้
✓แยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสูงให้สมบูรณ์ได้

ผลต่างกำลังสามdifference of cubes

$a^{3} - b^{3}$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้

การจัดกลุ่มgrouping

จับพจน์เป็นคู่ๆ แล้วดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่

2.1 ทบทวนเครื่องมือเดิม (ต้องแม่นก่อน)

รูปแบบ	แยกได้เป็น
ตัวประกอบร่วม	$ab + a c = a (b + c)$
ผลต่างกำลังสอง	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
กำลังสองสมบูรณ์	$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$
สามพจน์ทั่วไป	$x^{2} + (m + n) x + mn = (x + m) (x + n)$

🔑สาระสำคัญ

ดึงตัวประกอบร่วมออกก่อนเสมอ — ในบทนี้ยิ่งสำคัญ เพราะพหุนามดีกรีสูงมักดึง $x$ ออกได้ แล้วเหลือของที่แยกต่อได้ง่ายกว่ามาก

2.2 ผลบวกและผลต่างของกำลังสาม

ผลต่างกำลังสาม

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

ผลบวกกำลังสาม

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

💡วิธีจำที่ไม่มีวันสับสน

▸วงเล็บแรกใช้ เครื่องหมายเดียวกับโจทย์ ( $a^{3} - b^{3}$ → $(a - b)$ )
▸วงเล็บหลังพจน์กลางใช้ เครื่องหมายตรงข้าม
▸พจน์สุดท้าย บวกเสมอ
▸ต่างจากกำลังสอง: $a^{2} + b^{2}$ แยกไม่ได้ แต่ $a^{3} + b^{3}$ แยกได้

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{3} - 27$

ขั้นที่ 1 $27 = 3^{3}$ → เป็นผลต่างกำลังสาม โดย $a = x, b = 3$
ขั้นที่ 2 $= (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

ตอบ $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $8 x^{3} + 125$

ขั้นที่ 1 $8 x^{3} = (2 x)^{3}$ และ $125 = 5^{3}$ → $a = 2 x, b = 5$
ขั้นที่ 2 $= (2 x + 5) ((2 x)^{2} - (2 x) (5) + 5^{2})$
ขั้นที่ 3 $= (2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

ตอบ $(2 x + 5) (4 x^{2} - 10 x + 25)$

⚠️ระวัง

วงเล็บหลัง เช่น $x^{2} + 3 x + 9$ แยกต่อไม่ได้ — อย่าเสียเวลาหาคู่ที่คูณได้ $9$ บวกได้ $3$ (ไม่มี)

2.3 การจัดกลุ่ม (ใช้กับสี่พจน์)

1จับพจน์เป็น $2$ คู่ (มักเป็นคู่หน้ากับคู่หลัง)
2ดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่ออกมา
3ถ้าวงเล็บที่เหลือ เหมือนกัน ให้ดึงวงเล็บนั้นออก
4ถ้าไม่เหมือน ลองจับคู่ใหม่ หรือสลับลำดับพจน์

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 6$

ขั้นที่ 1จับคู่: $(x^{3} + 2 x^{2}) + (3 x + 6)$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $x^{2} (x + 2) + 3 (x + 2)$
ขั้นที่ 3วงเล็บเหมือนกัน → ดึง $(x + 2)$ ออก
ขั้นที่ 4 $= (x + 2) (x^{2} + 3)$

ตอบ $(x + 2) (x^{2} + 3)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์: $x^{3} - 4 x^{2} - 9 x + 36$

ขั้นที่ 1จับคู่: $(x^{3} - 4 x^{2}) - (9 x - 36)$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $x^{2} (x - 4) - 9 (x - 4)$
ขั้นที่ 3ดึง $(x - 4)$ : $(x - 4) (x^{2} - 9)$
ขั้นที่ 4 $x^{2} - 9$ เป็นผลต่างกำลังสอง แยกต่อได้อีก
ขั้นที่ 5 $= (x - 4) (x + 3) (x - 3)$

ตอบ $(x - 4) (x + 3) (x - 3)$

💡 แยกแล้วต้อง มองต่อทุกครั้ง ว่าวงเล็บที่ได้ยังแยกได้อีกไหม — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

2.4 เลือกวิธีให้ถูก

จำนวนพจน์	ลองอะไรก่อน
ทุกกรณี	ดึงตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ
$2$ พจน์	ผลต่างกำลังสอง → ผลบวก/ผลต่างกำลังสาม
$3$ พจน์	กำลังสองสมบูรณ์ → หาคู่คูณ-บวก → แยกกลางพจน์
$4$ พจน์	จัดกลุ่ม

ดูจำนวนพจน์เป็นตัวตัดสินใจ

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์: $2 x^{4} - 32$

ขั้นที่ 1ดึงร่วม $2$ : $2 (x^{4} - 16)$
ขั้นที่ 2 $x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2}$ เป็นผลต่างกำลังสอง
ขั้นที่ 3 $= 2 (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$
ขั้นที่ 4 $x^{2} - 4$ ยังเป็นผลต่างกำลังสองอีก
ขั้นที่ 5 $= 2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

ตอบ $2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

💡 $x^{2} + 4$ เป็นผลบวกกำลังสอง แยกต่อไม่ได้ — หยุดตรงนี้ถูกแล้ว

📋 สรุปสูตร — การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง

ผลต่างกำลังสาม

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

ผลบวกกำลังสาม

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

ผลต่างกำลังสอง

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

จัดกลุ่ม

$a x + a y + b x + b y = (a + b) (x + y)$

แยกไม่ได้

$a^{2} + b^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗สับสนเครื่องหมายในสูตรกำลังสาม (พจน์กลางของวงเล็บหลังต้องตรงข้ามกับวงเล็บแรก)
✗พยายามแยก $x^{2} + ab + b^{2}$ ต่อ ทั้งที่แยกไม่ได้
✗แยกไม่สุด — ลืมเช็คว่าวงเล็บที่ได้ยังแยกต่อได้อีก
✗ลืมดึงตัวประกอบร่วมก่อน ทำให้มองไม่เห็นรูปแบบ

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1แยกตัวประกอบ $x^{3} + 8$

ตอบ $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

ข้อ 2แยกตัวประกอบ $27 x^{3} - 1$

ตอบ $(3 x - 1) (9 x^{2} + 3 x + 1)$

ข้อ 3แยกตัวประกอบ $x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 6$

ตอบ $(x + 3) (x^{2} + 2)$

ข้อ 4แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์ $3 x^{3} - 12 x$

ตอบ $3 x (x + 2) (x - 2)$

บทที่ 3🔢 จำนวนและพีชคณิต

สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

สมการรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ แก้ได้ 3 วิธี — แยกตัวประกอบ (เร็วสุดถ้าแยกได้) · ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ · สูตรกำลังสอง (ใช้ได้ทุกกรณี)

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓เขียนสมการให้อยู่ในรูปมาตรฐาน $a x^{2} + b x + c = 0$ ได้
✓แก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบ การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ และสูตรกำลังสอง
✓ใช้ดิสคริมิแนนต์บอกจำนวนคำตอบได้โดยไม่ต้องแก้
✓แก้โจทย์ปัญหาที่นำไปสู่สมการกำลังสองได้

สมการกำลังสองquadratic equation

สมการที่เขียนได้ในรูป $a x^{2} + b x + c = 0$ เมื่อ $a \neq = 0$

ราก / คำตอบroot

ค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการเป็นจริง

ดิสคริมิแนนต์discriminant

ค่า $b^{2} - 4 a c$ ที่บอกจำนวนคำตอบ

3.1 รูปมาตรฐาน

รูปมาตรฐาน (ต้องจัดให้ได้รูปนี้ก่อนเสมอ)

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)

•ย้ายทุกอย่างไปข้างเดียว ให้อีกข้างเป็น $0$
• $a$ = สัมประสิทธิ์ของ $x^{2}$ · $b$ = ของ $x$ · $c$ = ค่าคงตัว
•ถ้าไม่มีพจน์ไหนให้ถือว่าสัมประสิทธิ์นั้นเป็น $0$ เช่น $x^{2} - 9 = 0$ มี $b = 0$
•สมการกำลังสองมีคำตอบได้ มากที่สุด $2$ คำตอบ

✏️ตัวอย่าง

จัด $3 x^{2} = 5 x + 2$ ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน แล้วระบุ $a, b, c$

ขั้นที่ 1ย้ายทุกอย่างไปซ้าย: $3 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

ตอบ $a = 3, b = - 5, c = - 2$

💡 เครื่องหมายลบเป็นส่วนหนึ่งของค่า — $b = - 5$ ไม่ใช่ $5$ (พลาดตรงนี้แล้วใช้สูตรผิดทั้งข้อ)

3.2 วิธีที่ 1 — แยกตัวประกอบ (เร็วที่สุด)

🔑หลักการ: ผลคูณเป็นศูนย์

ถ้า $A \times B = 0$ แล้ว $A = 0$ หรือ $B = 0$ — เป็นสมบัติที่ใช้ได้เฉพาะกับ ศูนย์ เท่านั้น (ถ้า $A \times B = 6$ สรุปอะไรไม่ได้เลย)

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $x^{2} - 7 x + 12 = 0$

ขั้นที่ 1แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนคูณได้ $12$ บวกได้ $- 7$ → $- 3$ กับ $- 4$
ขั้นที่ 2 $(x - 3) (x - 4) = 0$
ขั้นที่ 3 $x - 3 = 0$ หรือ $x - 4 = 0$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = 4$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2 x^{2} = 8 x$

ขั้นที่ 1จัดรูป: $2 x^{2} - 8 x = 0$
ขั้นที่ 2ดึงร่วม: $2 x (x - 4) = 0$
ขั้นที่ 3 $2 x = 0$ หรือ $x - 4 = 0$

ตอบ $x = 0$ หรือ $x = 4$

💡 ⚠️ ห้ามหารทั้งสองข้างด้วย $x$ ตั้งแต่แรก — จะทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป ต้องย้ายมาข้างเดียวแล้วดึงร่วมเสมอ

3.3 วิธีที่ 2 — ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ใช้เมื่อแยกตัวประกอบไม่ได้ (และเป็นที่มาของสูตรกำลังสอง)

1จัดให้ $a = 1$ (ถ้าไม่ใช่ ให้หารทั้งสมการด้วย $a$ )
2ย้ายค่าคงตัวไปขวา
3นำ $(\frac{b}{2})^{2}$ บวกทั้งสองข้าง
4ข้างซ้ายจะกลายเป็นกำลังสองสมบูรณ์ $(x + \frac{b}{2})^{2}$
5ถอดรากทั้งสองข้าง อย่าลืม $\pm$

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ ด้วยการทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

ขั้นที่ 1ย้ายค่าคงตัว: $x^{2} + 6 x = 7$
ขั้นที่ 2 $(\frac{6}{2})^{2} = 9$ → บวก $9$ ทั้งสองข้าง
ขั้นที่ 3 $x^{2} + 6 x + 9 = 16$
ขั้นที่ 4 $(x + 3)^{2} = 16$
ขั้นที่ 5 $x + 3 = \pm 4$
ขั้นที่ 6 $x = - 3 + 4 = 1$ หรือ $x = - 3 - 4 = - 7$

ตอบ $x = 1$ หรือ $x = - 7$

3.4 วิธีที่ 3 — สูตรกำลังสอง (ใช้ได้ทุกกรณี)

สูตรกำลังสอง

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

✏️ตัวอย่าง

แก้สมการ $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ด้วยสูตร

ขั้นที่ 1 $a = 2, b = - 5, c = - 3$
ขั้นที่ 2 $b^{2} - 4 a c = (- 5)^{2} - 4 (2) (- 3) = 25 + 24 = 49$
ขั้นที่ 3 $x = \frac{- ( - 5 ) \pm 49}{2 ( 2 )} = \frac{5 \pm 7}{4}$
ขั้นที่ 4 $x = \frac{12}{4} = 3$ หรือ $x = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2}$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = - \frac{1}{2}$

⚠️จุดที่พลาดบ่อยตอนใช้สูตร

▸ $- b$ เมื่อ $b$ ติดลบอยู่แล้ว จะกลายเป็นบวก เช่น $b = - 5 \Rightarrow - b = 5$
▸ $- 4 a c$ เมื่อ $c$ ติดลบ จะกลายเป็นบวก (ลบคูณลบ)
▸ส่วนคือ $2 a$ ทั้งก้อน ไม่ใช่แค่ $a$

3.5 ดิสคริมิแนนต์ — รู้จำนวนคำตอบก่อนแก้

ดิสคริมิแนนต์

D = b^{2} - 4 a c

ค่า $D$	จำนวนคำตอบ (จำนวนจริง)	กราฟตัดแกน $X$
$D > 0$	$2$ คำตอบต่างกัน	ตัด $2$ จุด
$D = 0$	$1$ คำตอบ (ซ้ำกัน)	สัมผัส $1$ จุด
$D < 0$	ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง	ไม่ตัดแกน $X$

✏️ตัวอย่าง

สมการ $x^{2} - 4 x + 7 = 0$ มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงกี่คำตอบ

ขั้นที่ 1 $a = 1, b = - 4, c = 7$
ขั้นที่ 2 $D = (- 4)^{2} - 4 (1) (7) = 16 - 28 = - 12$
ขั้นที่ 3 $D < 0$

ตอบ ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

💡 ข้อสอบชอบถามแค่ “มีกี่คำตอบ” — คำนวณ $D$ อย่างเดียวก็ตอบได้ ไม่ต้องแก้สมการทั้งข้อ

3.6 โจทย์ปัญหา

✏️ตัวอย่าง

สี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความยาวมากกว่าความกว้าง $3$ เมตร และมีพื้นที่ $54$ ตารางเมตร จงหาความกว้าง

ขั้นที่ 1ให้กว้าง $= x$ → ยาว $= x + 3$
ขั้นที่ 2 $x (x + 3) = 54$
ขั้นที่ 3 $x^{2} + 3 x - 54 = 0$
ขั้นที่ 4แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนคูณได้ $- 54$ บวกได้ $3$ → $9$ กับ $- 6$
ขั้นที่ 5 $(x + 9) (x - 6) = 0$ → $x = - 9$ หรือ $x = 6$
ขั้นที่ 6ความกว้างเป็นลบไม่ได้ → ตัด $x = - 9$ ทิ้ง

ตอบ กว้าง $6$ เมตร (และยาว $9$ เมตร)

💡 ต้องคัดคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผลทิ้งเสมอ — ความยาว อายุ จำนวนคน ติดลบไม่ได้ นี่คือขั้นที่นักเรียนลืมมากที่สุด

✏️ตัวอย่าง

จำนวนเต็มบวกสองจำนวนเรียงติดกัน คูณกันได้ $132$ จงหาสองจำนวนนั้น

ขั้นที่ 1ให้จำนวนแรก $= x$ → จำนวนถัดไป $= x + 1$
ขั้นที่ 2 $x (x + 1) = 132$
ขั้นที่ 3 $x^{2} + x - 132 = 0$
ขั้นที่ 4 $(x + 12) (x - 11) = 0$ → $x = - 12$ หรือ $x = 11$
ขั้นที่ 5ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก → $x = 11$

ตอบ $11$ และ $12$

📋 สรุปสูตร — สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

รูปมาตรฐาน

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

สูตรกำลังสอง

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

ดิสคริมิแนนต์

$D = b^{2} - 4 a c$

ผลคูณเป็นศูนย์

$A B = 0 \Rightarrow A = 0 หรือ B = 0$

ผลบวกและผลคูณของราก

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗หารทั้งสองข้างด้วย $x$ ทำให้คำตอบ $x = 0$ หายไป
✗ใช้สมบัติผลคูณเป็นศูนย์ทั้งที่อีกข้างไม่ใช่ $0$
✗แทนค่า $b$ ผิดเครื่องหมายในสูตร
✗ลืมคัดคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผลออกในโจทย์ปัญหา
✗ลืม $\pm$ ตอนถอดราก

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1แก้ $x^{2} - 9 = 0$

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = - 3$

ข้อ 2แก้ $x^{2} + 5 x + 6 = 0$

ตอบ $x = - 2$ หรือ $x = - 3$

ข้อ 3แก้ $x^{2} - 6 x = 0$

ตอบ $x = 0$ หรือ $x = 6$

ข้อ 4 $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ มีคำตอบจริงกี่คำตอบ

ตอบ ไม่มี ( $D = - 16 < 0$ )

ข้อ 5แก้ $x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ตอบ $x = 2$ (คำตอบเดียว)

บทที่ 4📐 การวัดและเรขาคณิต

ความคล้าย

รูปคล้ายกัน = รูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดต่างกัน — มุมเท่ากันหมด และด้านคู่สมนัยเป็นอัตราส่วนเดียวกัน ใช้วัดสิ่งที่วัดตรงๆ ไม่ได้ เช่น ความสูงของตึก

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกความหมายและสมบัติของรูปคล้ายได้
✓ใช้เงื่อนไข ม.ม. · ด.ด.ด. · ด.ม.ด. ตรวจสอบความคล้ายของสามเหลี่ยมได้
✓หาความยาวด้านที่ไม่ทราบค่าจากรูปคล้ายได้
✓ใช้อัตราส่วนพื้นที่และปริมาตรของรูปคล้ายได้

คล้ายกันsimilar

รูปร่างเหมือนกัน ขนาดอาจต่างกัน เขียนแทนด้วย $\sim$

อัตราส่วนความคล้ายscale factor

อัตราส่วนความยาวด้านคู่สมนัยของรูปคล้าย

4.1 ความคล้าย ต่างจาก ความเท่ากันทุกประการ อย่างไร

	เท่ากันทุกประการ ( $≅$ )	คล้ายกัน ( $\sim$ )
มุมคู่สมนัย	เท่ากัน	เท่ากัน
ด้านคู่สมนัย	ยาวเท่ากัน	เป็นอัตราส่วนเดียวกัน
ขนาด	เท่ากัน	อาจต่างกัน
ความสัมพันธ์	เท่ากันทุกประการ ⟹ คล้ายกัน	คล้ายกัน ⇏ เท่ากันทุกประการ

🔑สาระสำคัญ

รูปเท่ากันทุกประการ คือรูปคล้ายที่มีอัตราส่วน $1 : 1$ — ความเท่ากันทุกประการเป็นกรณีพิเศษของความคล้าย

4.2 เงื่อนไขความคล้ายของสามเหลี่ยม

ชื่อย่อ	เงื่อนไข	หมายเหตุ
ม.ม. (AA)	มุมสองคู่เท่ากัน	ใช้บ่อยที่สุด เพราะมุมที่สามเท่าเองอัตโนมัติ
ด.ด.ด. (SSS)	ด้านสามคู่เป็นอัตราส่วนเดียวกัน	ต้องเทียบครบทั้งสามคู่
ด.ม.ด. (SAS)	ด้านสองคู่เป็นอัตราส่วนเดียวกัน + มุมระหว่างเท่ากัน	มุมต้องอยู่ระหว่างสองด้านนั้น

💡ต่างจากบทความเท่ากันทุกประการตรงนี้

ม.ม.ม. ใช้พิสูจน์ความเท่ากันทุกประการไม่ได้ แต่ใช้พิสูจน์ความคล้ายได้ (แค่ ม.ม. สองคู่ก็พอ) — เพราะความคล้ายไม่สนใจขนาด

•รูปแบบที่เจอบ่อยที่สุด: เส้นขนานตัดสามเหลี่ยม ทำให้เกิดมุมสมนัยเท่ากันสองคู่ → คล้ายกันทันที
•อีกรูปแบบ: สามเหลี่ยมมุมฉากที่ลากเส้นสูงจากมุมฉาก จะได้สามเหลี่ยมเล็กสองรูปที่คล้ายกับรูปใหญ่

4.3 หาความยาวด้านจากรูปคล้าย

ถ้า $△ A B C \sim △ D E F$

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k

1จับคู่จุดยอดที่สมนัยกันให้ถูก (ดูจากลำดับตัวอักษรหรือจากมุมที่เท่ากัน)
2ตั้งสัดส่วนของด้านคู่ที่รู้ค่า กับคู่ที่ต้องการหา
3คูณไขว้แล้วแก้สมการ

✏️ตัวอย่าง

$△ A B C \sim △ D E F$ โดย $A B = 6, B C = 8, D E = 9$ จงหา $E F$

ขั้นที่ 1 $A B$ สมนัยกับ $D E$ และ $B C$ สมนัยกับ $E F$
ขั้นที่ 2 $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F}$
ขั้นที่ 3 $\frac{6}{9} = \frac{8}{E F}$
ขั้นที่ 4คูณไขว้: $6 \cdot E F = 72$
ขั้นที่ 5 $E F = 12$

ตอบ $E F = 12$

⚠️ระวัง

ตั้งสัดส่วนให้ ด้านของรูปเดียวกันอยู่ข้างบนทั้งคู่ — ถ้าสลับรูปในเศษกับส่วน คำตอบจะกลับด้านทันที

4.4 อัตราส่วนพื้นที่และปริมาตร (ข้อสอบชอบมาก)

ถ้าอัตราส่วนความยาวเป็น $k$

\frac{พื้นที่}{พื้นที่} = k^{2} \frac{ปริมาตร}{ปริมาตร} = k^{3}

ความยาว	พื้นที่	ปริมาตร
$\times 2$	$\times 4$	$\times 8$
$\times 3$	$\times 9$	$\times 27$
$\times \frac{1}{2}$	$\times \frac{1}{4}$	$\times \frac{1}{8}$

ตัวอย่างเมื่อความยาวเป็น $2$ เท่า

✏️ตัวอย่าง

รูปสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน มีอัตราส่วนด้าน $3 : 5$ ถ้ารูปเล็กมีพื้นที่ $18$ ตร.ซม. รูปใหญ่มีพื้นที่เท่าใด

ขั้นที่ 1อัตราส่วนพื้นที่ $= 3^{2} : 5^{2} = 9 : 25$
ขั้นที่ 2 $\frac{18}{A} = \frac{9}{25}$
ขั้นที่ 3 $9 A = 450 \Rightarrow A = 50$

ตอบ $50$ ตารางเซนติเมตร

💡 อย่าเผลอใช้อัตราส่วน $3 : 5$ กับพื้นที่ตรงๆ — ต้องยกกำลังสองก่อนเสมอ

4.5 การนำไปใช้ — วัดสิ่งที่วัดตรงๆ ไม่ได้

✏️ตัวอย่าง

เสาสูง $2$ เมตร ทอดเงายาว $3$ เมตร ในเวลาเดียวกันตึกทอดเงายาว $45$ เมตร ตึกสูงเท่าใด

ขั้นที่ 1แสงอาทิตย์ทำมุมเท่ากัน และทั้งคู่ตั้งฉากกับพื้น → สามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกัน (ม.ม.)
ขั้นที่ 2 $\frac{สูงเสา}{เงาเสา} = \frac{สูงตึก}{เงาตึก}$
ขั้นที่ 3 $\frac{2}{3} = \frac{h}{45}$
ขั้นที่ 4 $3 h = 90 \Rightarrow h = 30$

ตอบ ตึกสูง $30$ เมตร

•แผนที่และแบบจำลอง — มาตราส่วน $1 : 50, 000$ คืออัตราส่วนความคล้าย
•รูปถ่าย/การย่อขยาย — ต้องคงอัตราส่วนไว้ ไม่งั้นภาพจะบิด
•เงาและกล้อง — ใช้หลักสามเหลี่ยมคล้ายเหมือนกันหมด

📋 สรุปสูตร — ความคล้าย

อัตราส่วนด้าน

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k$

อัตราส่วนพื้นที่

$k^{2}$

อัตราส่วนปริมาตร

$k^{3}$

เงื่อนไขความคล้าย

$ม . ม . ด . ด . ด . ด . ม . ด .$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ใช้อัตราส่วนความยาวกับพื้นที่ตรงๆ (ต้องยกกำลังสอง)
✗จับคู่จุดยอดสมนัยผิด ทำให้ตั้งสัดส่วนผิดคู่
✗สับสนว่า ม.ม.ม. ใช้กับความเท่ากันทุกประการได้ (ใช้ไม่ได้ — ใช้ได้แค่กับความคล้าย)
✗สลับรูปในเศษกับส่วนของสัดส่วน

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1สามเหลี่ยมคล้ายอัตราส่วนด้าน $2 : 3$ อัตราส่วนพื้นที่เท่าใด

ตอบ $4 : 9$

ข้อ 2ทรงคล้ายอัตราส่วนด้าน $1 : 2$ อัตราส่วนปริมาตรเท่าใด

ตอบ $1 : 8$

ข้อ 3 $△ A B C \sim △ P QR$ , $A B = 4, P Q = 10, B C = 6$ แล้ว $QR$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $15$

ข้อ 4เงื่อนไขใดใช้ได้กับความคล้ายแต่ใช้กับความเท่ากันทุกประการไม่ได้

ตอบ ม.ม. (มุมสองคู่เท่ากัน)

บทที่ 5🔢 จำนวนและพีชคณิต

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

กราฟของ $y = a x^{2} + b x + c$ เป็นเส้นโค้งรูปพาราโบลา — รู้ค่า $a, h, k$ ก็วาดได้ทันทีโดยไม่ต้องแทนค่าทีละจุด และหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดได้

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกลักษณะของกราฟพาราโบลาจากค่าสัมประสิทธิ์ได้
✓หาจุดยอด แกนสมมาตร และจุดตัดแกนได้
✓เขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองได้
✓ใช้จุดยอดหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดในสถานการณ์จริง

พาราโบลาparabola

เส้นโค้งรูปตัว U ที่เป็นกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

จุดยอดvertex

จุดต่ำสุดหรือสูงสุดของพาราโบลา

แกนสมมาตรaxis of symmetry

เส้นตรงแนวตั้งที่ผ่านจุดยอด แบ่งกราฟเป็นสองข้างเท่ากัน

5.1 หน้าตาของพาราโบลา

$a$	กราฟ	จุดยอดคือ
$a > 0$	หงายขึ้น (รูปตัว U)	จุดต่ำสุด
$a < 0$	คว่ำลง (รูปตัว ∩)	จุดสูงสุด
$∣ a ∣$ มาก	แคบ/ชัน	—
$∣ a ∣$ น้อย	กว้าง/แบน	—

ค่า $a$ บอกอะไรบ้าง

💡เคล็ดลับ

จำง่ายๆ: $a$ เป็น บวก = ยิ้ม 😊 (หงาย) · $a$ เป็น ลบ = เศร้า 😞 (คว่ำ)

5.2 รูปมาตรฐาน — วาดกราฟได้ทันที

รูปมาตรฐาน (vertex form)

y = a (x - h)^{2} + k

จุดยอดอยู่ที่ $(h, k)$ · แกนสมมาตรคือ $x = h$

สมการ	จุดยอด	ลักษณะ
$y = x^{2}$	$(0, 0)$	หงาย มาตรฐาน
$y = x^{2} + 3$	$(0, 3)$	เลื่อนขึ้น $3$
$y = (x - 2)^{2}$	$(2, 0)$	เลื่อนขวา $2$
$y = - 2 (x + 1)^{2} - 4$	$(- 1, - 4)$	คว่ำ แคบขึ้น เลื่อนซ้าย $1$ ลง $4$

อ่านกราฟจากสมการโดยไม่ต้องคำนวณ

⚠️เครื่องหมายของ $h$ หลอกตา

$y = (x - 2)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = + 2$ (ไม่ใช่ $- 2$ ) · $y = (x + 1)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = - 1$ — ให้คิดว่า “ค่าที่ทำให้ในวงเล็บเป็นศูนย์”

5.3 หาจุดยอดจากรูปทั่วไป

แกนสมมาตร / พิกัด $x$ ของจุดยอด

x = - \frac{b}{2 a}

จาก $y = a x^{2} + b x + c$

1หา $x$ ของจุดยอดด้วย $- \frac{b}{2 a}$
2แทน $x$ กลับเข้าสมการเพื่อหา $y$
3ได้จุดยอด $(x, y)$ และแกนสมมาตรคือเส้น $x =$ ค่านั้น

✏️ตัวอย่าง

หาจุดยอดและแกนสมมาตรของ $y = x^{2} - 6 x + 5$

ขั้นที่ 1 $a = 1, b = - 6$
ขั้นที่ 2 $x = - \frac{- 6}{2 ( 1 )} = 3$
ขั้นที่ 3แทนกลับ: $y = 3^{2} - 6 (3) + 5 = 9 - 18 + 5 = - 4$

ตอบ จุดยอด $(3, - 4)$ · แกนสมมาตร $x = 3$

5.4 จุดตัดแกน

•จุดตัดแกน $Y$ — แทน $x = 0$ ได้ $y = c$ ทันที (ง่ายที่สุด)
•จุดตัดแกน $X$ — แทน $y = 0$ แล้วแก้สมการกำลังสอง $a x^{2} + b x + c = 0$
•จำนวนจุดตัดแกน $X$ ดูจากดิสคริมิแนนต์: $D > 0$ ตัด $2$ จุด · $D = 0$ สัมผัส $1$ จุด · $D < 0$ ไม่ตัดเลย

✏️ตัวอย่าง

หาจุดตัดแกนทั้งหมดของ $y = x^{2} - 6 x + 5$ แล้วร่างกราฟ

ขั้นที่ 1ตัดแกน $Y$ : $x = 0 \Rightarrow y = 5$ → จุด $(0, 5)$
ขั้นที่ 2ตัดแกน $X$ : $x^{2} - 6 x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 5) = 0$
ขั้นที่ 3 $x = 1$ หรือ $x = 5$ → จุด $(1, 0)$ และ $(5, 0)$
ขั้นที่ 4จุดยอดจากข้อก่อนคือ $(3, - 4)$
ขั้นที่ 5 $a = 1 > 0$ → หงายขึ้น

ตอบ ตัดแกน $X$ ที่ $(1, 0), (5, 0)$ · ตัดแกน $Y$ ที่ $(0, 5)$ · จุดยอด $(3, - 4)$

💡 สังเกตว่าจุดยอดอยู่ตรงกลางระหว่างจุดตัดแกน $X$ พอดี ( $\frac{1 + 5}{2} = 3$ ) — ใช้ตรวจคำตอบได้เร็วมาก

5.5 การนำไปใช้ — ค่าสูงสุดและต่ำสุด

🔑สาระสำคัญ

ปัญหาแนว “ทำอย่างไรให้ได้มากที่สุด/น้อยที่สุด” ที่เขียนเป็นสมการกำลังสองได้ ตอบด้วย จุดยอด เสมอ

✏️ตัวอย่าง

ยิงลูกบอลขึ้นไป ความสูง $h$ เมตร หลังเวลา $t$ วินาที เป็นไปตาม $h = - 5 t^{2} + 20 t$ จงหาความสูงมากที่สุดและเวลาที่ถึงจุดนั้น

ขั้นที่ 1 $a = - 5 < 0$ → คว่ำ จุดยอดคือจุดสูงสุด
ขั้นที่ 2 $t = - \frac{20}{2 ( - 5 )} = 2$ วินาที
ขั้นที่ 3 $h = - 5 (2)^{2} + 20 (2) = - 20 + 40 = 20$

ตอบ สูงสุด $20$ เมตร ที่เวลา $2$ วินาที

✏️ตัวอย่าง

มีรั้วยาว $40$ เมตร ล้อมที่ดินสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด

ขั้นที่ 1ให้กว้าง $= x$ → เส้นรอบรูป $2 (x + y) = 40 \Rightarrow y = 20 - x$
ขั้นที่ 2พื้นที่ $A = x (20 - x) = - x^{2} + 20 x$
ขั้นที่ 3 $a = - 1 < 0$ → มีค่าสูงสุดที่จุดยอด
ขั้นที่ 4 $x = - \frac{20}{2 ( - 1 )} = 10$
ขั้นที่ 5 $A = - (10)^{2} + 20 (10) = 100$

ตอบ พื้นที่มากที่สุด $100$ ตารางเมตร (เป็นรูปจัตุรัส $10 \times 10$ )

💡 ผลนี้เป็นจริงเสมอ — เส้นรอบรูปเท่ากัน รูปจัตุรัสให้พื้นที่มากที่สุด

📋 สรุปสูตร — กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

รูปทั่วไป

$y = a x^{2} + b x + c$

รูปมาตรฐาน

$y = a (x - h)^{2} + k$

จุดยอด (รูปมาตรฐาน)

$(h, k)$

แกนสมมาตร (รูปทั่วไป)

$x = - \frac{b}{2 a}$

ตัดแกน Y

$(0, c)$

ตัดแกน X

$a x^{2} + b x + c = 0$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗อ่านเครื่องหมาย $h$ ผิด — $(x - 2)^{2}$ จุดยอดอยู่ที่ $x = 2$
✗ลืมเครื่องหมายลบในสูตร $- \frac{b}{2 a}$
✗หาจุดยอดได้แต่ลืมแทนกลับหาค่า $y$
✗คิดว่า $a$ ยิ่งมากกราฟยิ่งกว้าง (ตรงกันข้าม — ยิ่งแคบ)

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $y = (x + 3)^{2} - 1$ จุดยอดอยู่ที่ใด

ตอบ $(- 3, - 1)$

ข้อ 2 $y = 2 x^{2} - 8 x + 1$ แกนสมมาตรคือ

ตอบ $x = 2$

ข้อ 3 $y = - x^{2} + 4$ กราฟหงายหรือคว่ำ และจุดยอดคือ

ตอบ คว่ำ · จุดยอด $(0, 4)$

ข้อ 4 $y = x^{2} - 4$ ตัดแกน $X$ ที่จุดใดบ้าง

ตอบ $(2, 0)$ และ $(- 2, 0)$

บทที่ 6🔢 จำนวนและพีชคณิต

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สองสมการ สองตัวแปร — คำตอบคือคู่ $(x, y)$ ที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริงพร้อมกัน ซึ่งบนกราฟก็คือ จุดที่เส้นสองเส้นตัดกัน

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกความหมายของคำตอบของระบบสมการได้
✓แก้ระบบสมการด้วยวิธีแทนค่าและวิธีกำจัดตัวแปรได้
✓บอกจำนวนคำตอบของระบบสมการจากความชันได้
✓แก้โจทย์ปัญหาที่ต้องใช้สองตัวแปรได้

ระบบสมการsystem of equations

สมการตั้งแต่สองสมการที่ต้องเป็นจริงพร้อมกัน

วิธีแทนค่าsubstitution

จัดตัวแปรหนึ่งให้อยู่ในรูปอีกตัวแล้วแทนลงอีกสมการ

วิธีกำจัดตัวแปรelimination

บวกหรือลบสองสมการเพื่อให้ตัวแปรหนึ่งหายไป

6.1 คำตอบของระบบสมการคืออะไร

•สมการเชิงเส้นสองตัวแปรหนึ่งสมการ มีคำตอบ มากมายไม่จำกัด (ทุกจุดบนเส้นตรง)
•แต่พอมี สองสมการ คำตอบต้องทำให้ทั้งคู่จริงพร้อมกัน → เหลือแค่ จุดตัด
•เขียนคำตอบเป็นคู่อันดับ $(x, y)$ เสมอ
•ตรวจคำตอบโดยแทนกลับเข้า ทั้งสองสมการ ไม่ใช่แค่สมการเดียว

กราฟ	จำนวนคำตอบ	สังเกตจากสมการ
ตัดกัน $1$ จุด	$1$ คำตอบ	ความชันต่างกัน
ขนานกัน	ไม่มีคำตอบ	ความชันเท่ากัน แต่จุดตัดแกน $Y$ ต่างกัน
ทับกันสนิท	มากมายไม่จำกัด	เป็นสมการเดียวกัน (คูณกันได้)

จำนวนคำตอบดูจากกราฟ

6.2 วิธีที่ 1 — แทนค่า

เหมาะเมื่อมีตัวแปรที่สัมประสิทธิ์เป็น 1 อยู่แล้ว

1เลือกสมการที่จัดง่ายที่สุด แล้วจัดให้ตัวแปรหนึ่งอยู่โดดเดี่ยว
2แทนนิพจน์นั้นลงในอีกสมการ (จะเหลือตัวแปรเดียว)
3แก้หาค่าตัวแปรนั้น
4แทนกลับเพื่อหาอีกตัวแปร
5ตรวจกับทั้งสองสมการ

✏️ตัวอย่าง

แก้ระบบสมการ $y = 2 x + 1$ และ $3 x + y = 11$

ขั้นที่ 1สมการแรกจัดไว้ให้แล้ว → แทน $y = 2 x + 1$ ลงสมการที่สอง
ขั้นที่ 2 $3 x + (2 x + 1) = 11$
ขั้นที่ 3 $5 x + 1 = 11 \Rightarrow 5 x = 10 \Rightarrow x = 2$
ขั้นที่ 4แทนกลับ: $y = 2 (2) + 1 = 5$
ขั้นที่ 5ตรวจ: $3 (2) + 5 = 11$ ✓

ตอบ $(x, y) = (2, 5)$

6.3 วิธีที่ 2 — กำจัดตัวแปร

เหมาะเมื่อสัมประสิทธิ์ไม่สวย จัดตัวแปรโดดเดี่ยวลำบาก

1คูณสมการหนึ่ง (หรือทั้งสอง) ให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่จะกำจัด เท่ากันหรือตรงข้ามกัน
2บวกกัน (ถ้าเครื่องหมายตรงข้าม) หรือลบกัน (ถ้าเครื่องหมายเหมือนกัน)
3แก้หาตัวแปรที่เหลือ
4แทนกลับหาอีกตัวแปร

✏️ตัวอย่าง

แก้ระบบสมการ $2 x + 3 y = 12$ และ $4 x - 3 y = 6$

ขั้นที่ 1สัมประสิทธิ์ของ $y$ เป็น $+ 3$ กับ $- 3$ ตรงข้ามกันพอดี → บวกกันได้เลย
ขั้นที่ 2 $(2 x + 3 y) + (4 x - 3 y) = 12 + 6$
ขั้นที่ 3 $6 x = 18 \Rightarrow x = 3$
ขั้นที่ 4แทนกลับในสมการแรก: $2 (3) + 3 y = 12 \Rightarrow 3 y = 6 \Rightarrow y = 2$

ตอบ $(x, y) = (3, 2)$

✏️ตัวอย่าง

แก้ระบบสมการ $3 x + 2 y = 16$ และ $5 x + 4 y = 28$

ขั้นที่ 1อยากกำจัด $y$ → คูณสมการแรกด้วย $2$ ให้ได้ $4 y$ เท่ากัน
ขั้นที่ 2 $6 x + 4 y = 32$
ขั้นที่ 3ลบด้วยสมการที่สอง: $(6 x + 4 y) - (5 x + 4 y) = 32 - 28$
ขั้นที่ 4 $x = 4$
ขั้นที่ 5แทนกลับ: $3 (4) + 2 y = 16 \Rightarrow 2 y = 4 \Rightarrow y = 2$

ตอบ $(x, y) = (4, 2)$

💡 ตอนลบสมการ ต้องลบ ทุกพจน์ รวมทั้งฝั่งขวาด้วย — เขียนวงเล็บครอบไว้จะไม่พลาดเครื่องหมาย

6.4 กรณีพิเศษ

•ถ้าแก้แล้วได้ประโยคจริงเสมอ เช่น $0 = 0$ → มีคำตอบมากมายไม่จำกัด (เส้นทับกัน)
•ถ้าแก้แล้วได้ประโยคเท็จ เช่น $0 = 5$ → ไม่มีคำตอบ (เส้นขนานกัน)
•ตัวแปรหายไปหมดเมื่อไร ให้หยุดแล้วดูว่าประโยคที่เหลือจริงหรือเท็จ

✏️ตัวอย่าง

แก้ระบบสมการ $x + y = 5$ และ $2 x + 2 y = 14$

ขั้นที่ 1คูณสมการแรกด้วย $2$ : $2 x + 2 y = 10$
ขั้นที่ 2เทียบกับสมการที่สอง: $2 x + 2 y = 14$
ขั้นที่ 3ลบกัน: $0 = - 4$ ซึ่งเป็นเท็จ

ตอบ ไม่มีคำตอบ (กราฟเป็นเส้นขนานกัน)

6.5 โจทย์ปัญหาสองตัวแปร

วิธีตั้งสมการที่ไม่พลาด

1อ่านโจทย์แล้วถามว่ามี “สิ่งที่ไม่รู้” กี่อย่าง → ตั้งตัวแปรให้ครบ
2หาประโยค สองประโยค ที่บอกความสัมพันธ์ → ได้สองสมการ
3มักเป็นคู่ “จำนวนรวม” กับ “มูลค่ารวม”

✏️ตัวอย่าง

ซื้อตั๋วผู้ใหญ่และเด็กรวม $12$ ใบ จ่ายเงิน $1, 380$ บาท ถ้าตั๋วผู้ใหญ่ใบละ $150$ บาท ตั๋วเด็กใบละ $90$ บาท ซื้ออย่างละกี่ใบ

ขั้นที่ 1ให้ตั๋วผู้ใหญ่ $x$ ใบ · ตั๋วเด็ก $y$ ใบ
ขั้นที่ 2จำนวนรวม: $x + y = 12$
ขั้นที่ 3มูลค่ารวม: $150 x + 90 y = 1380$
ขั้นที่ 4จากสมการแรก $y = 12 - x$ แทนลงสมการที่สอง
ขั้นที่ 5 $150 x + 90 (12 - x) = 1380$
ขั้นที่ 6 $150 x + 1080 - 90 x = 1380$
ขั้นที่ 7 $60 x = 300 \Rightarrow x = 5$ → $y = 7$

ตอบ ตั๋วผู้ใหญ่ $5$ ใบ · ตั๋วเด็ก $7$ ใบ

✏️ตัวอย่าง

ผลบวกของสองจำนวนเป็น $30$ และผลต่างเป็น $8$ จงหาสองจำนวนนั้น

ขั้นที่ 1 $x + y = 30$ และ $x - y = 8$
ขั้นที่ 2บวกกัน: $2 x = 38 \Rightarrow x = 19$
ขั้นที่ 3แทนกลับ: $19 + y = 30 \Rightarrow y = 11$

ตอบ $19$ และ $11$

💡 โจทย์แนว “ผลบวก–ผลต่าง” ใช้วิธีกำจัดตัวแปรได้ทันทีโดยไม่ต้องคูณอะไรเลย

📋 สรุปสูตร — ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

รูปทั่วไป

${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$

คำตอบ

$(x, y) คือจุดตัดของกราฟ$

ไม่มีคำตอบ

$ได้ประโยคเท็จ เช่น 0 = 5$

คำตอบไม่จำกัด

$ได้ประโยคจริง เช่น 0 = 0$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ตอนลบสมการ ลบไม่ครบทุกพจน์ (โดยเฉพาะฝั่งขวา)
✗หาค่าตัวแปรตัวเดียวแล้วหยุด ลืมหาอีกตัว
✗ตรวจคำตอบกับสมการเดียว ทั้งที่ต้องจริงทั้งสองสมการ
✗ตั้งตัวแปรแล้วไม่เขียนกำกับว่าแทนอะไร ทำให้ตอบผิดตัว

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1แก้ $x + y = 10$ และ $x - y = 4$

ตอบ $(7, 3)$

ข้อ 2แก้ $y = 3 x$ และ $x + y = 8$

ตอบ $(2, 6)$

ข้อ 3แก้ $2 x + y = 7$ และ $4 x + 2 y = 14$

ตอบ มีคำตอบมากมายไม่จำกัด (เส้นทับกัน)

ข้อ 4ระบบที่กราฟขนานกันมีคำตอบกี่คำตอบ

ตอบ ไม่มีคำตอบ

บทที่ 7📐 การวัดและเรขาคณิต

วงกลม

สมบัติของวงกลมแทบทั้งหมดมาจากข้อเดียว — รัศมีทุกเส้นยาวเท่ากัน ทำให้เกิดสามเหลี่ยมหน้าจั่วเต็มไปหมด แล้วสมบัติอื่นก็ตามมา

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓เรียกชื่อส่วนประกอบของวงกลมได้ถูกต้อง
✓ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่จุดศูนย์กลางกับมุมในส่วนโค้งได้
✓ใช้สมบัติของคอร์ดและเส้นสัมผัสหาความยาวและมุมได้

คอร์ดchord

ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดสองจุดบนวงกลม

เส้นสัมผัสtangent

เส้นตรงที่แตะวงกลมเพียงจุดเดียว

มุมที่จุดศูนย์กลางcentral angle

มุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดศูนย์กลาง

มุมในส่วนโค้งinscribed angle

มุมที่มีจุดยอดอยู่บนเส้นรอบวง

7.1 ส่วนประกอบของวงกลม

ส่วนประกอบ	คืออะไร
รัศมี	จากจุดศูนย์กลางถึงเส้นรอบวง — ทุกเส้นยาวเท่ากัน
เส้นผ่านศูนย์กลาง	คอร์ดที่ผ่านจุดศูนย์กลาง = $2 r$ (คอร์ดที่ยาวที่สุด)
คอร์ด	เชื่อมสองจุดบนวงกลม
ส่วนโค้ง	ส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง
เส้นสัมผัส	แตะวงกลมจุดเดียว

🔑เคล็ดลับที่ใช้ได้เกือบทุกข้อ

เมื่อเจอโจทย์วงกลม ให้ ลากรัศมีเพิ่ม ไปยังจุดสำคัญ — จะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่ว (เพราะรัศมีเท่ากัน) แล้วใช้สมบัติมุมที่ฐานเท่ากันได้ทันที

7.2 มุมที่จุดศูนย์กลาง กับ มุมในส่วนโค้ง

เมื่อรองรับส่วนโค้งเดียวกัน

∠ ที่จุดศูนย์กลาง = 2 \times ∠ ในส่วนโค้ง

•มุมในส่วนโค้งเดียวกันเท่ากันหมด — ไม่ว่าจุดยอดจะอยู่ตรงไหนบนส่วนโค้งนั้น
•มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก — เพราะมุมที่จุดศูนย์กลางเป็น $18 0^{\circ}$ ครึ่งหนึ่งคือ $9 0^{\circ}$
•สี่เหลี่ยมที่จุดยอดทุกจุดอยู่บนวงกลม มี มุมตรงข้ามรวมกันได้ $18 0^{\circ}$

✏️ตัวอย่าง

มุมที่จุดศูนย์กลางรองรับส่วนโค้ง $A B$ กาง $8 0^{\circ}$ มุมในส่วนโค้งที่รองรับส่วนโค้งเดียวกันกางเท่าใด

ขั้นที่ 1มุมในส่วนโค้ง = ครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลาง
ขั้นที่ 2 $80 \div 2 = 40$

ตอบ $4 0^{\circ}$

✏️ตัวอย่าง

$A B$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง จุด $C$ อยู่บนวงกลม ถ้า $∠ C A B = 3 5^{\circ}$ จงหา $∠ A B C$

ขั้นที่ 1 $∠ A C B$ เป็นมุมในครึ่งวงกลม → $= 9 0^{\circ}$
ขั้นที่ 2มุมภายในสามเหลี่ยมรวม $18 0^{\circ}$
ขั้นที่ 3 $∠ A B C = 180 - 90 - 35 = 55$

ตอบ $5 5^{\circ}$

💡 เห็นคำว่า “เส้นผ่านศูนย์กลาง” กับจุดบนวงกลมเมื่อไร ให้นึกถึงมุมฉากทันที

7.3 สมบัติของคอร์ด

✓เส้นจากจุดศูนย์กลางที่ ตั้งฉากกับคอร์ด จะแบ่งครึ่งคอร์ด นั้นพอดี
✓คอร์ดที่ยาวเท่ากัน อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน (และกลับกัน)
✓คอร์ดยิ่งยาว ยิ่งอยู่ใกล้จุดศูนย์กลาง — ยาวที่สุดคือเส้นผ่านศูนย์กลาง

✏️ตัวอย่าง

วงกลมรัศมี $13$ ซม. มีคอร์ดยาว $24$ ซม. คอร์ดนี้อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าใด

ขั้นที่ 1ลากเส้นจากจุดศูนย์กลางตั้งฉากกับคอร์ด → แบ่งคอร์ดครึ่งหนึ่ง ได้ $12$ ซม.
ขั้นที่ 2เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านตรงข้ามมุมฉาก $= 13$ (รัศมี) · ด้านหนึ่ง $= 12$
ขั้นที่ 3 $d^{2} = 1 3^{2} - 1 2^{2} = 169 - 144 = 25$
ขั้นที่ 4 $d = 5$

ตอบ ห่าง $5$ เซนติเมตร

💡 โจทย์คอร์ดเกือบทั้งหมดจบด้วยพีทาโกรัส — ลากรัศมี ลากเส้นตั้งฉาก แล้วใช้ $r^{2} = d^{2} + (\frac{c}{2})^{2}$

7.4 เส้นสัมผัสวงกลม

✓เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ที่จุดสัมผัสเสมอ
✓จากจุดภายนอกวงกลม ลากเส้นสัมผัสได้ $2$ เส้น และ ยาวเท่ากัน
✓เส้นจากจุดภายนอกถึงจุดศูนย์กลาง แบ่งครึ่งมุม ระหว่างเส้นสัมผัสทั้งสอง

✏️ตัวอย่าง

จากจุด $P$ ห่างจากจุดศูนย์กลาง $O$ เป็นระยะ $17$ ซม. ลากเส้นสัมผัสวงกลมรัศมี $8$ ซม. เส้นสัมผัสยาวเท่าใด

ขั้นที่ 1เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส → เกิดสามเหลี่ยมมุมฉาก
ขั้นที่ 2ด้านตรงข้ามมุมฉาก $= O P = 17$ · ด้านหนึ่ง $= r = 8$
ขั้นที่ 3 $t^{2} = 1 7^{2} - 8^{2} = 289 - 64 = 225$
ขั้นที่ 4 $t = 15$

ตอบ $15$ เซนติเมตร

7.5 ความยาวส่วนโค้งและพื้นที่เซกเตอร์

ส่วนโค้งและเซกเตอร์ที่มุมที่จุดศูนย์กลาง $θ$ องศา

s = \frac{θ}{360} \times 2 π r A = \frac{θ}{360} \times π r^{2}

💡เคล็ดลับ

จำแค่ “เป็นเศษส่วนของวงกลมทั้งวง” — $\frac{θ}{360}$ คือสัดส่วนที่เรากินไป แล้วคูณกับความยาวรอบวง/พื้นที่ทั้งวง

✏️ตัวอย่าง

วงกลมรัศมี $6$ ซม. เซกเตอร์ที่มีมุมที่จุดศูนย์กลาง $6 0^{\circ}$ มีพื้นที่เท่าใด (ตอบในรูป $π$ )

ขั้นที่ 1 $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ ของวงกลมทั้งวง
ขั้นที่ 2พื้นที่ทั้งวง $= π (6)^{2} = 36 π$
ขั้นที่ 3 $\frac{1}{6} \times 36 π = 6 π$

ตอบ $6 π$ ตารางเซนติเมตร

📋 สรุปสูตร — วงกลม

มุมที่จุดศูนย์กลาง

$= 2 \times มุมในส่วนโค้ง$

มุมในครึ่งวงกลม

$9 0^{\circ}$

คอร์ดกับรัศมี

$r^{2} = d^{2} + (\frac{c}{2})^{2}$

เส้นสัมผัส

$⊥ รัศมีที่จุดสัมผัส$

ความยาวส่วนโค้ง

$s = \frac{θ}{360} \cdot 2 π r$

พื้นที่เซกเตอร์

$A = \frac{θ}{360} \cdot π r^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗สลับกัน — เอามุมในส่วนโค้งคูณสอง แทนที่จะเอามุมที่จุดศูนย์กลางหารสอง
✗ลืมว่าเส้นตั้งฉากจากจุดศูนย์กลางแบ่งคอร์ดครึ่งหนึ่ง (ใช้ความยาวคอร์ดเต็มไปคำนวณ)
✗ลืมว่าเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ทำให้ใช้พีทาโกรัสผิดด้าน
✗ใช้ $\frac{θ}{180}$ แทน $\frac{θ}{360}$ ในสูตรเซกเตอร์

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1มุมที่จุดศูนย์กลาง $10 0^{\circ}$ มุมในส่วนโค้งเดียวกันกางเท่าใด

ตอบ $5 0^{\circ}$

ข้อ 2มุมในครึ่งวงกลมกางกี่องศา

ตอบ $9 0^{\circ}$

ข้อ 3วงกลมรัศมี $10$ คอร์ดยาว $16$ ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่าใด

ตอบ $6$

ข้อ 4วงกลมรัศมี $9$ เซกเตอร์มุม $4 0^{\circ}$ พื้นที่เท่าใด

ตอบ $9 π$

บทที่ 8📐 การวัดและเรขาคณิต

พีระมิด กรวย และทรงกลม

ต่อจากปริซึมและทรงกระบอกใน ม.2 — ทรงที่ เรียวไปหาจุดยอด มีปริมาตรเป็น $\frac{1}{3}$ ของทรงที่มีฐานและความสูงเท่ากัน ส่วนทรงกลมมีสูตรเฉพาะของมัน

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓หาปริมาตรและพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลมได้
✓แยกความสูงเอียงกับความสูงตรงของพีระมิดและกรวยได้
✓แก้ปัญหารูปทรงประกอบได้

สูงเอียงslant height

ระยะจากยอดถึงขอบฐานตามผิวข้าง (ใช้หาพื้นที่ผิว)

สูงตรงheight

ระยะตั้งฉากจากยอดถึงฐาน (ใช้หาปริมาตร)

8.1 กฎหนึ่งในสาม

🔑หลักการที่ครอบทั้งบท

ทรงที่ เรียวไปหาจุดยอด (พีระมิด กรวย) มีปริมาตรเป็น $\frac{1}{3}$ ของทรงที่มีฐานเดียวกันและสูงเท่ากัน — เทน้ำจากกรวยลงทรงกระบอกที่ฐานและสูงเท่ากัน ต้องเท $3$ ครั้งถึงจะเต็ม

ทรง	ปริมาตร
ปริซึม / ทรงกระบอก	$A_{ฐาน} \times h$
พีระมิด / กรวย	$\frac{1}{3} A_{ฐาน} \times h$

8.2 พีระมิด

ปริมาตร

V = \frac{1}{3} A_{ฐาน} h

พื้นที่ผิว (พีระมิดตรงที่ฐานเป็นรูปปกติ)

S = A_{ฐาน} + \frac{1}{2} \times P_{ฐาน} \times ℓ

$ℓ$ = สูงเอียง · ผิวข้างคือสามเหลี่ยมหลายรูปรวมกัน

⚠️สูงตรง กับ สูงเอียง ใช้คนละที่

▸ปริมาตร ใช้ สูงตรง $h$
▸พื้นที่ผิว ใช้ สูงเอียง $ℓ$
▸หากันได้ด้วยพีทาโกรัส: $ℓ^{2} = h^{2} + (\frac{a}{2})^{2}$ สำหรับพีระมิดฐานจัตุรัสด้าน $a$

✏️ตัวอย่าง

พีระมิดฐานจัตุรัสด้านยาว $6$ ซม. สูงตรง $4$ ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว

ขั้นที่ 1ปริมาตร: $A_{ฐาน} = 6^{2} = 36$ → $V = \frac{1}{3} (36) (4) = 48$
ขั้นที่ 2หาสูงเอียง: $ℓ^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 \Rightarrow ℓ = 5$
ขั้นที่ 3ผิวข้าง: $\frac{1}{2} \times (4 \times 6) \times 5 = \frac{1}{2} (24) (5) = 60$
ขั้นที่ 4พื้นที่ผิวรวม: $36 + 60 = 96$

ตอบ ปริมาตร $48$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $96$ ตร.ซม.

8.3 กรวย

ปริมาตร

V = \frac{1}{3} π r^{2} h

พื้นที่ผิว

S = π r^{2} + π r ℓ

$π r^{2}$ = ฐาน · $π r ℓ$ = ผิวข้าง (รูปพัด)

ความสัมพันธ์ของสามความยาว

ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}

✏️ตัวอย่าง

กรวยรัศมี $3$ ซม. สูงตรง $4$ ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว (ตอบในรูป $π$ )

ขั้นที่ 1 $V = \frac{1}{3} π (3)^{2} (4) = \frac{1}{3} π (36) = 12 π$
ขั้นที่ 2สูงเอียง: $ℓ^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \Rightarrow ℓ = 5$
ขั้นที่ 3 $S = π (3)^{2} + π (3) (5) = 9 π + 15 π = 24 π$

ตอบ ปริมาตร $12 π$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $24 π$ ตร.ซม.

💡 $3, 4, 5$ โผล่มาอีกแล้ว — โจทย์กรวยชอบใช้สามพจน์พีทาโกรัสเพื่อให้ตัวเลขสวย

8.4 ทรงกลม

ปริมาตร

V = \frac{4}{3} π r^{3}

พื้นที่ผิว

S = 4 π r^{2}

📎ความสัมพันธ์ที่สวยงาม

ทรงกลมที่บรรจุพอดีในทรงกระบอก (รัศมีเท่ากัน สูง $= 2 r$ ) จะมีปริมาตรเป็น $\frac{2}{3}$ ของทรงกระบอกนั้นพอดี — เป็นผลที่อาร์คิมิดีสภูมิใจที่สุดจนสลักไว้บนหลุมศพ

✏️ตัวอย่าง

ทรงกลมรัศมี $3$ ซม. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิว (ตอบในรูป $π$ )

ขั้นที่ 1 $V = \frac{4}{3} π (3)^{3} = \frac{4}{3} π (27) = 36 π$
ขั้นที่ 2 $S = 4 π (3)^{2} = 36 π$

ตอบ ปริมาตร $36 π$ ลบ.ซม. · พื้นที่ผิว $36 π$ ตร.ซม.

💡 บังเอิญเท่ากันเฉพาะตอน $r = 3$ เท่านั้น (หน่วยก็คนละอย่าง) อย่าจำว่าเท่ากันเสมอ

8.5 สรุปสูตรทั้งหมด + รูปทรงประกอบ

ทรง	ปริมาตร	พื้นที่ผิว
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก	$l w h$	$2 (l w + l h + w h)$
ทรงกระบอก	$π r^{2} h$	$2 π r^{2} + 2 π r h$
พีระมิด	$\frac{1}{3} A_{ฐาน} h$	$A_{ฐาน} + \frac{1}{2} P ℓ$
กรวย	$\frac{1}{3} π r^{2} h$	$π r^{2} + π r ℓ$
ทรงกลม	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

ตารางเดียวจบทั้ง ม.2 และ ม.3

✏️ตัวอย่าง

ไอศกรีมโคน = กรวยรัศมี $3$ ซม. สูง $10$ ซม. + ครึ่งทรงกลมรัศมี $3$ ซม. วางบนปาก จงหาปริมาตรรวม (ตอบในรูป $π$ )

ขั้นที่ 1กรวย: $\frac{1}{3} π (3)^{2} (10) = 30 π$
ขั้นที่ 2ครึ่งทรงกลม: $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3} π (3)^{3} = \frac{1}{2} (36 π) = 18 π$
ขั้นที่ 3รวม: $30 π + 18 π = 48 π$

ตอบ $48 π$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

💡 โจทย์รูปทรงประกอบ — แยกเป็นทรงพื้นฐานทีละชิ้น คิดทีละชิ้น แล้วบวก · ถ้าถามพื้นที่ผิว อย่านับหน้าที่ติดกัน

📋 สรุปสูตร — พีระมิด กรวย และทรงกลม

พีระมิด

$V = \frac{1}{3} A_{ฐาน} h$

กรวย

$V = \frac{1}{3} π r^{2} h$

ผิวกรวย

$S = π r^{2} + π r ℓ$

ทรงกลม

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

ผิวทรงกลม

$S = 4 π r^{2}$

สูงเอียงกรวย

$ℓ^{2} = r^{2} + h^{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗ใช้สูงเอียงคำนวณปริมาตร (ต้องใช้สูงตรง)
✗ลืม $\frac{1}{3}$ ในสูตรพีระมิดและกรวย
✗ทรงกลมใช้ $r^{2}$ ในสูตรปริมาตร (ต้องเป็น $r^{3}$ )
✗โจทย์รูปทรงประกอบ นับพื้นที่ผิวหน้าที่ติดกันด้วย

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1กรวยรัศมี $6$ สูง $10$ ปริมาตรเท่าใด (รูป $π$ )

ตอบ $120 π$

ข้อ 2ทรงกลมรัศมี $2$ พื้นที่ผิวเท่าใด (รูป $π$ )

ตอบ $16 π$

ข้อ 3พีระมิดฐานจัตุรัสด้าน $9$ สูง $12$ ปริมาตรเท่าใด

ตอบ $324$

ข้อ 4กรวยรัศมี $5$ สูงเอียง $13$ สูงตรงเท่าใด

ตอบ $12$

บทที่ 9📊 สถิติและความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นคือตัวเลขระหว่าง $0$ ถึง $1$ ที่บอกว่าเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดมากแค่ไหน — หัวใจคือ นับผลลัพธ์ให้ครบและไม่ซ้ำ

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓เขียนแซมเปิลสเปซของการทดลองสุ่มได้
✓คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ได้
✓ใช้ตารางและแผนภาพต้นไม้นับผลลัพธ์ได้
✓รู้เท่าทันความเข้าใจผิดเรื่องความน่าจะเป็นที่พบบ่อย

การทดลองสุ่มrandom experiment

การกระทำที่รู้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด แต่ไม่รู้ว่าจะออกอันไหน

แซมเปิลสเปซsample space

เซตของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เขียนแทนด้วย $S$

เหตุการณ์event

สับเซตของแซมเปิลสเปซ — ผลลัพธ์กลุ่มที่เราสนใจ

9.1 แซมเปิลสเปซ — นับให้ครบก่อน

การทดลอง	แซมเปิลสเปซ	จำนวนผลลัพธ์
โยนเหรียญ $1$ เหรียญ	${H, T}$	$2$
โยนเหรียญ $2$ เหรียญ	${H H, H T, T H, T T}$	$4$
ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก	${1, 2, 3, 4, 5, 6}$	$6$
ทอดลูกเต๋า $2$ ลูก	คู่อันดับทั้งหมด	$36$

⚠️กับดักที่คลาสสิกที่สุด

โยนเหรียญ $2$ เหรียญ มี $4$ ผลลัพธ์ ไม่ใช่ $3$ — เพราะ “หัว-ก้อย” กับ “ก้อย-หัว” เป็นคนละผลลัพธ์ ถ้านับเป็น $3$ (สองหัว/หนึ่งหัว/ไม่มีหัว) จะได้คำตอบผิด เพราะโอกาสเกิดไม่เท่ากัน

•กฎการคูณ: ถ้าขั้นแรกมี $m$ ทาง ขั้นสองมี $n$ ทาง รวมได้ $m \times n$ ทาง
•โยนเหรียญ $3$ เหรียญ → $2 \times 2 \times 2 = 8$ ผลลัพธ์
•ใช้ ตาราง เมื่อมี $2$ ขั้นตอน · ใช้ แผนภาพต้นไม้ เมื่อมี $3$ ขั้นตอนขึ้นไป

9.2 ความน่าจะเป็น

เมื่อผลลัพธ์แต่ละอันมีโอกาสเกิดเท่ากัน

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}

$n (E)$ = จำนวนผลลัพธ์ที่เราต้องการ · $n (S)$ = จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมด

• $0 \leq P (E) \leq 1$ เสมอ — ได้ค่าเกิน $1$ หรือติดลบเมื่อไร แปลว่าคำนวณผิดแน่นอน
• $P = 0$ คือเหตุการณ์ที่ เป็นไปไม่ได้ · $P = 1$ คือ แน่นอน
•ผลรวมความน่าจะเป็นของทุกผลลัพธ์ในแซมเปิลสเปซ $= 1$

ความน่าจะเป็นที่จะ ไม่ เกิด (ส่วนเติมเต็ม)

P (ไม่เกิด E) = 1 - P (E)

✏️ตัวอย่าง

ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้แต้มมากกว่า $4$

ขั้นที่ 1 $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ → $n (S) = 6$
ขั้นที่ 2แต้มมากกว่า $4$ คือ ${5, 6}$ → $n (E) = 2$
ขั้นที่ 3 $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

ตอบ $\frac{1}{3}$

✏️ตัวอย่าง

ทอดลูกเต๋า $2$ ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่ผลรวมแต้มเป็น $7$

ขั้นที่ 1 $n (S) = 6 \times 6 = 36$
ขั้นที่ 2คู่ที่รวมได้ $7$ : $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ → $6$ คู่
ขั้นที่ 3 $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

ตอบ $\frac{1}{6}$

💡 ผลรวม $7$ เป็นแต้มที่ออกบ่อยที่สุดของลูกเต๋าสองลูก — จำไว้ใช้ตรวจคำตอบได้

9.3 เทคนิคการนับ

+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10

ตารางผลรวมแต้มลูกเต๋าสองลูก (บางส่วน)

•ทำตารางแล้ว นับช่องที่ตรงเงื่อนไข — ช้ากว่าแต่ไม่มีทางพลาด
•แผนภาพต้นไม้: แตกกิ่งทีละขั้น นับปลายกิ่งทั้งหมด
•ถ้าโจทย์ถาม “อย่างน้อยหนึ่ง” ให้คิดจาก ส่วนเติมเต็ม จะเร็วกว่ามาก

✏️ตัวอย่าง

โยนเหรียญ $3$ เหรียญ จงหาความน่าจะเป็นที่จะได้หัวอย่างน้อย $1$ เหรียญ

ขั้นที่ 1 $n (S) = 2^{3} = 8$
ขั้นที่ 2คิดกลับด้าน: “ไม่ได้หัวเลย” มีแบบเดียวคือ $T T T$ → $P = \frac{1}{8}$
ขั้นที่ 3ดังนั้น “ได้หัวอย่างน้อย $1$ ” $= 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

ตอบ $\frac{7}{8}$

💡 เห็นคำว่า “อย่างน้อย” ให้นึกถึงส่วนเติมเต็มก่อนเสมอ — นับกรณีตรงๆ จะเยอะกว่ามาก

9.4 ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

⚠️เหรียญไม่มีความจำ

โยนเหรียญออกหัวติดกัน $5$ ครั้ง ครั้งที่ $6$ ยังมีโอกาสออกหัว $\frac{1}{2}$ เท่าเดิม — เหรียญไม่รู้ว่าเคยออกอะไรมาแล้ว ความเชื่อว่า “ก้อยน่าจะมาแล้ว” เรียกว่า ความเข้าใจผิดของนักพนัน

•ผลลัพธ์ไม่ได้มีโอกาสเท่ากันเสมอ — สูตร $\frac{n ( E )}{n ( S )}$ ใช้ได้เมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากันเท่านั้น
•ความน่าจะเป็นบอกแนวโน้มระยะยาว ไม่ได้รับประกันผลครั้งเดียว — $P = 0.9$ ก็ยังพลาดได้
•โอกาส $1$ ในล้าน ไม่ได้แปลว่าต้องทำล้านครั้งถึงจะเจอ (อาจเจอครั้งแรกก็ได้)

✏️ตัวอย่าง

ในกล่องมีลูกบอลแดง $3$ ลูก น้ำเงิน $5$ ลูก หยิบ $1$ ลูก ความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงเป็นเท่าใด

ขั้นที่ 1 $n (S) = 3 + 5 = 8$
ขั้นที่ 2 $n (E) = 3$
ขั้นที่ 3 $P = \frac{3}{8}$

ตอบ $\frac{3}{8}$

💡 อย่าเผลอตอบ $\frac{3}{5}$ — ตัวส่วนคือ จำนวนทั้งหมด ไม่ใช่จำนวนของอีกสี

📋 สรุปสูตร — ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น

$P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}$

ขอบเขต

$0 \leq P (E) \leq 1$

ส่วนเติมเต็ม

$P (E^{'}) = 1 - P (E)$

กฎการคูณ

$n (S) = m \times n$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗นับผลลัพธ์ของการโยนเหรียญสองเหรียญเป็น $3$ แบบ (ที่ถูกคือ $4$ )
✗ใช้จำนวนของอีกกลุ่มเป็นตัวส่วน แทนที่จะใช้จำนวนทั้งหมด
✗ตอบค่าที่เกิน $1$ หรือติดลบ
✗เชื่อว่าผลครั้งก่อนมีผลต่อครั้งถัดไป (ความเข้าใจผิดของนักพนัน)

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก ได้แต้มคู่ ความน่าจะเป็นเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{2}$

ข้อ 2โยนเหรียญ $2$ เหรียญ ได้หัวทั้งคู่ ความน่าจะเป็นเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{4}$

ข้อ 3ทอดลูกเต๋า $2$ ลูก ผลรวมเป็น $12$ ความน่าจะเป็นเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{36}$

ข้อ 4ถ้า $P (E) = 0.35$ แล้ว $P (E^{'})$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $0.65$

บทที่ 10📊 สถิติและความน่าจะเป็น

สถิติ (3)

ค่ากลางอย่างเดียวบอกไม่หมด — ข้อมูลสองชุดค่าเฉลี่ยเท่ากันได้ทั้งที่หน้าตาต่างกันลิบ บทนี้จึงเพิ่มเครื่องมือวัด การกระจาย

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓หาควอร์ไทล์และพิสัยระหว่างควอร์ไทล์ได้
✓เขียนและอ่านแผนภาพกล่องได้
✓เปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุดโดยดูทั้งค่ากลางและการกระจาย
✓ระบุค่านอกเกณฑ์ได้

ควอร์ไทล์quartile

ค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงแล้วออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆ กัน

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์IQR

$Q_{3} - Q_{1}$ — ช่วงที่ข้อมูลตรงกลาง 50% กระจายอยู่

แผนภาพกล่องbox plot

ภาพสรุปข้อมูลด้วยค่า 5 ตัว ต่ำสุด $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ สูงสุด

ค่านอกเกณฑ์outlier

ค่าที่ห่างจากกลุ่มมากผิดปกติ

10.1 ทำไมค่ากลางอย่างเดียวไม่พอ

ชุด	ข้อมูล	ค่าเฉลี่ย	พิสัย
A	$49, 50, 50, 50, 51$	$50$	$2$
B	$10, 30, 50, 70, 90$	$50$	$80$

สองชุดนี้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน แต่ต่างกันมาก

🔑สาระสำคัญ

ชุด A เกาะกลุ่มแน่น ชุด B กระจายกว้างมาก — ถ้าดูแค่ค่าเฉลี่ยจะสรุปว่า “เหมือนกัน” ซึ่งผิดอย่างสิ้นเชิง การกระจายจึงสำคัญพอๆ กับค่ากลาง

10.2 ควอร์ไทล์

1เรียงข้อมูลจากน้อยไปมากก่อนเสมอ
2 $Q_{2}$ = มัธยฐาน (แบ่งครึ่งข้อมูล)
3 $Q_{1}$ = มัธยฐานของครึ่งล่าง (ไม่รวม $Q_{2}$ ถ้าจำนวนข้อมูลเป็นคี่)
4 $Q_{3}$ = มัธยฐานของครึ่งบน

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

IQR = Q_{3} - Q_{1}

✏️ตัวอย่าง

หาควอร์ไทล์ของข้อมูล $4, 7, 8, 10, 12, 15, 18$

ขั้นที่ 1เรียงแล้ว มีข้อมูล $7$ ตัว (คี่)
ขั้นที่ 2 $Q_{2}$ = ตัวกลาง = ตัวที่ $4$ = $10$
ขั้นที่ 3ครึ่งล่าง (ไม่รวม $10$ ): $4, 7, 8$ → $Q_{1} = 7$
ขั้นที่ 4ครึ่งบน (ไม่รวม $10$ ): $12, 15, 18$ → $Q_{3} = 15$
ขั้นที่ 5 $IQR = 15 - 7 = 8$

ตอบ $Q_{1} = 7, Q_{2} = 10, Q_{3} = 15$ · IQR $= 8$

💡เคล็ดลับ

IQR ดีกว่าพิสัย ตรงที่ไม่ถูกค่าสุดโต่งลากไป — พิสัยดูแค่ตัวมากสุดกับน้อยสุด ค่าประหลาดตัวเดียวก็ทำให้พิสัยเพี้ยนทั้งชุด

10.3 แผนภาพกล่อง

•ใช้ ค่า $5$ ตัว: ต่ำสุด · $Q_{1}$ · $Q_{2}$ · $Q_{3}$ · สูงสุด
•กล่อง ครอบจาก $Q_{1}$ ถึง $Q_{3}$ = ข้อมูลตรงกลาง $50%$
•เส้นในกล่อง คือมัธยฐาน — ถ้าไม่อยู่กลางกล่อง แปลว่าข้อมูลเบ้
•หนวด ยื่นไปหาค่าต่ำสุดและสูงสุด
•แต่ละส่วน (หนวดล่าง กล่องซ้าย กล่องขวา หนวดบน) มีข้อมูลอยู่ ส่วนละ $25%$

สิ่งที่เห็น	แปลว่า
กล่องแคบ	ข้อมูลตรงกลางเกาะกลุ่มแน่น
กล่องกว้าง	ข้อมูลตรงกลางกระจาย
เส้นกลางค่อนไปซ้าย	ข้อมูลเบ้ขวา (มีค่าสูงลากหาง)
หนวดข้างหนึ่งยาวมาก	มีค่าสุดโต่งฝั่งนั้น

อ่านรูปร่างการกระจายจากแผนภาพกล่อง

10.4 ค่านอกเกณฑ์

เกณฑ์มาตรฐาน

x < Q_{1} - 1.5 IQR หรือ x > Q_{3} + 1.5 IQR

✏️ตัวอย่าง

ข้อมูลมี $Q_{1} = 20, Q_{3} = 32$ ค่า $60$ เป็นค่านอกเกณฑ์หรือไม่

ขั้นที่ 1 $IQR = 32 - 20 = 12$
ขั้นที่ 2ขอบบน $= 32 + 1.5 (12) = 32 + 18 = 50$
ขั้นที่ 3 $60 > 50$

ตอบ เป็นค่านอกเกณฑ์

⚠️เจอค่านอกเกณฑ์แล้วทำอย่างไร

อย่าเพิ่งลบทิ้ง — ต้องดูก่อนว่าเป็น ความผิดพลาดในการบันทึก (เช่น พิมพ์ $180$ เป็น $1800$ ) หรือเป็น ข้อมูลจริงที่พิเศษ (เช่น นักกีฬาในกลุ่มคนทั่วไป) กรณีหลังคือข้อมูลที่มีค่าที่สุด ไม่ใช่ขยะ

10.5 การเปรียบเทียบและแปลความ

เปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุดอย่างเป็นระบบ

1เทียบ ค่ากลาง — ชุดไหนสูงกว่าโดยรวม
2เทียบ การกระจาย (IQR หรือความกว้างกล่อง) — ชุดไหนสม่ำเสมอกว่า
3ดู ความเบ้ — เส้นกลางอยู่กลางกล่องไหม
4ดู ค่านอกเกณฑ์ — มีอะไรผิดปกติหรือเปล่า
5สรุปเป็นภาษาคน โดยอ้างตัวเลขประกอบ

✏️ตัวอย่าง

คะแนนห้อง A: มัธยฐาน $70$ IQR $= 8$ · ห้อง B: มัธยฐาน $70$ IQR $= 25$ ควรสรุปอย่างไร

ขั้นที่ 1ค่ากลางเท่ากัน → ผลโดยรวมพอๆ กัน
ขั้นที่ 2IQR ของ A น้อยกว่ามาก → คะแนนเกาะกลุ่ม นักเรียนเก่งใกล้เคียงกัน
ขั้นที่ 3IQR ของ B กว้าง → มีทั้งคนได้สูงมากและต่ำมาก ความต่างในห้องสูง

ตอบ ห้อง A สม่ำเสมอกว่า · ห้อง B ควรได้รับการดูแลแบบแยกกลุ่ม เพราะระดับต่างกันมาก

💡 ในงานจริง การกระจายมักสำคัญกว่าค่าเฉลี่ย — ครูที่เห็นแค่ค่าเฉลี่ยจะไม่รู้เลยว่ามีเด็กตามไม่ทันอยู่

📋 สรุปสูตร — สถิติ (3)

พิสัย

$R = x_{m a x} - x_{m i n}$

พิสัยระหว่างควอร์ไทล์

$IQR = Q_{3} - Q_{1}$

ค่านอกเกณฑ์ (ล่าง)

$x < Q_{1} - 1.5 IQR$

ค่านอกเกณฑ์ (บน)

$x > Q_{3} + 1.5 IQR$

แผนภาพกล่องใช้ค่า

$x_{m i n}, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, x_{m a x}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗หาควอร์ไทล์โดยไม่เรียงข้อมูลก่อน
✗รวม $Q_{2}$ เข้าไปในครึ่งล่าง/ครึ่งบนตอนหา $Q_{1}, Q_{3}$ (กรณีข้อมูลเป็นจำนวนคี่)
✗สรุปว่าสองชุดเหมือนกันเพราะค่าเฉลี่ยเท่ากัน
✗ลบค่านอกเกณฑ์ทิ้งทันทีโดยไม่ตรวจสอบที่มา

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1ข้อมูล $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ มี $Q_{1}$ เท่าใด

ตอบ $4$

ข้อ 2ข้อมูลชุดเดียวกัน IQR เท่าใด

ตอบ $8$ ( $Q_{3} = 12, Q_{1} = 4$ )

ข้อ 3แผนภาพกล่องใช้ค่ากี่ตัว

ตอบ $5$ ตัว

ข้อ 4ข้อมูลตรงกลางกี่เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ในกล่อง

ตอบ $50%$

บทเสริม📐 การวัดและเรขาคณิต

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ต่อยอดจากความคล้าย — ในสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมเท่ากัน อัตราส่วนของด้านจะเท่ากันเสมอไม่ว่ารูปจะใหญ่แค่ไหน เราจึงตั้งชื่ออัตราส่วนพวกนี้ว่า sin cos tan

🎯 จบบทนี้แล้วทำอะไรได้

✓บอกความหมายของ sin cos tan ในสามเหลี่ยมมุมฉากได้
✓จำค่าของมุมพิเศษ $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ ได้
✓หาความยาวด้านหรือขนาดมุมที่ไม่ทราบค่าได้
✓แก้โจทย์มุมก้มมุมเงยได้

ด้านตรงข้ามopposite

ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ

ด้านประชิดadjacent

ด้านที่ติดกับมุมที่เราสนใจ (ที่ไม่ใช่ด้านตรงข้ามมุมฉาก)

มุมเงยangle of elevation

มุมที่วัดขึ้นจากแนวระดับสายตา

มุมก้มangle of depression

มุมที่วัดลงจากแนวระดับสายตา

E.1 ที่มา — ทำไมอัตราส่วนถึงคงที่

•สามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีมุมแหลมเท่ากัน จะ คล้ายกัน (เงื่อนไข ม.ม.)
•รูปคล้ายมีด้านคู่สมนัยเป็นอัตราส่วนเดียวกัน → อัตราส่วนของด้านในรูปเดียวกันจึงคงที่
•ดังนั้นอัตราส่วนเหล่านี้ขึ้นกับ ขนาดของมุมเท่านั้น ไม่ขึ้นกับขนาดของสามเหลี่ยม
•จึงตั้งชื่อให้มันได้ว่า $sin, cos, tan$ ของมุมนั้น

E.2 นิยามทั้งสาม

สำหรับมุมแหลม $A$ ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

sin A = \frac{ตรงข้าม}{ฉาก} cos A = \frac{ประชิด}{ฉาก} tan A = \frac{ตรงข้าม}{ประชิด}

💡วิธีจำแบบไทยๆ

▸ซาย = ข้าม/ฉาก
▸คอส = ชิด/ฉาก
▸แทน = ข้าม/ชิด
▸หรือจำว่า “ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด” เรียงตาม sin cos tan

⚠️ระวัง

ด้านตรงข้ามกับด้านประชิดเปลี่ยนไปตามมุมที่เลือก — ในสามเหลี่ยมรูปเดียวกัน ด้านที่เป็น “ตรงข้าม” ของมุม $A$ จะเป็น “ประชิด” ของอีกมุมหนึ่ง ต้องดูให้ดีว่ากำลังพูดถึงมุมไหน

ความสัมพันธ์ที่ใช้ตรวจคำตอบ

tan A = \frac{sin A}{cos A} sin^{2} A + cos^{2} A = 1

E.3 ค่าของมุมพิเศษ (ต้องจำ)

มุม	$sin$	$cos$	$tan$
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{3}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$6 0^{\circ}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

ตารางที่ออกสอบแทบทุกครั้ง

💡เทคนิคจำที่ไม่ต้องท่อง

▸ $sin$ ของ $30, 45, 60$ คือ $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ — แค่นับ $1, 2, 3$ ใต้ราก
▸ $cos$ คือชุดเดียวกัน อ่านย้อนกลับ
▸ $tan = \frac{sin}{cos}$ หารเอาได้เลย ไม่ต้องจำแยก

•มุม $4 5^{\circ}$ มาจากสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว ด้าน $1 : 1 : 2$
•มุม $3 0^{\circ}$ และ $6 0^{\circ}$ มาจากครึ่งหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านเท่า ด้าน $1 : 3 : 2$

E.4 หาด้านและมุม

ขั้นตอนที่ใช้ได้ทุกข้อ

1ทำเครื่องหมายว่ามุมไหนที่เราสนใจ
2ระบุว่าด้านที่รู้กับด้านที่ต้องการเป็น ตรงข้าม/ประชิด/ฉาก
3เลือกอัตราส่วนที่ใช้ สองด้านนั้นพอดี
4ตั้งสมการแล้วแก้

✏️ตัวอย่าง

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่ง $3 0^{\circ}$ และด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $10$ ซม. ด้านตรงข้ามมุม $3 0^{\circ}$ ยาวเท่าใด

ขั้นที่ 1รู้ด้านฉาก ต้องการด้านตรงข้าม → ใช้ $sin$
ขั้นที่ 2 $sin 3 0^{\circ} = \frac{x}{10}$
ขั้นที่ 3 $\frac{1}{2} = \frac{x}{10}$
ขั้นที่ 4 $x = 5$

ตอบ $5$ เซนติเมตร

✏️ตัวอย่าง

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามยาว $7$ และด้านประชิดยาว $7$ มุมนั้นกางเท่าใด

ขั้นที่ 1รู้ตรงข้ามกับประชิด → ใช้ $tan$
ขั้นที่ 2 $tan θ = \frac{7}{7} = 1$
ขั้นที่ 3จากตาราง $tan 4 5^{\circ} = 1$

ตอบ $4 5^{\circ}$

E.5 มุมก้มและมุมเงย

•มุมเงย — มองขึ้น วัดจากแนวระดับขึ้นไปหาวัตถุ
•มุมก้ม — มองลง วัดจากแนวระดับลงไปหาวัตถุ
•มุมก้มจากยอดตึกลงมาหาคน เท่ากับ มุมเงยจากคนขึ้นไปหายอดตึก (เป็นมุมแย้งของเส้นขนาน)
•วาดรูปก่อนเสมอ — โจทย์ประเภทนี้ผิดเพราะวาดรูปผิดมากกว่าคำนวณผิด

✏️ตัวอย่าง

ยืนห่างจากตึก $50$ เมตร มองยอดตึกด้วยมุมเงย $6 0^{\circ}$ ถ้าระดับสายตาสูง $1.5$ เมตร ตึกสูงเท่าใด

ขั้นที่ 1ด้านประชิด (ระยะราบ) $= 50$ · ต้องการด้านตรงข้าม (ความสูงเหนือระดับสายตา) → ใช้ $tan$
ขั้นที่ 2 $tan 6 0^{\circ} = \frac{h}{50}$
ขั้นที่ 3 $3 = \frac{h}{50} \Rightarrow h = 503 \approx 86.6$
ขั้นที่ 4บวกความสูงระดับสายตา: $86.6 + 1.5 = 88.1$

ตอบ ประมาณ $88.1$ เมตร

💡 อย่าลืมบวกความสูงระดับสายตา — ตรีโกณให้ความสูงเหนือระดับตาเท่านั้น เป็นจุดที่คนพลาดเยอะที่สุดในโจทย์แบบนี้

📋 สรุปสูตร — อัตราส่วนตรีโกณมิติ

sin

$sin A = \frac{ตรงข้าม}{ฉาก}$

cos

$cos A = \frac{ประชิด}{ฉาก}$

tan

$tan A = \frac{ตรงข้าม}{ประชิด}$

ความสัมพันธ์

$tan A = \frac{s i n A}{c o s A}$

เอกลักษณ์พื้นฐาน

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

มุมพิเศษ 45°

$sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

✗สับสนด้านตรงข้ามกับด้านประชิด (เปลี่ยนตามมุมที่เลือก)
✗ใช้ $sin$ ทั้งที่โจทย์ไม่ได้ให้ด้านตรงข้ามมุมฉาก
✗ลืมบวกความสูงระดับสายตาในโจทย์มุมเงย
✗จำค่ามุมพิเศษสลับกันระหว่าง $sin 3 0^{\circ}$ กับ $cos 3 0^{\circ}$

✅ เช็กตัวเอง

ข้อ 1 $sin 3 0^{\circ}$ มีค่าเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{2}$

ข้อ 2 $tan 4 5^{\circ}$ มีค่าเท่าใด

ตอบ $1$

ข้อ 3 $cos 6 0^{\circ}$ มีค่าเท่าใด

ตอบ $\frac{1}{2}$

ข้อ 4สามเหลี่ยมมุมฉาก ฉากยาว $20$ มุม $3 0^{\circ}$ ด้านตรงข้ามมุมนั้นยาวเท่าใด

ตอบ $10$

ข้อ 5ถ้า $tan θ = 3$ แล้ว $θ$ เท่ากับเท่าใด

ตอบ $6 0^{\circ}$