ม.2 · บทที่ 11🔢 จำนวนและพีชคณิตอ่าน ~22 นาที

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

แยกตัวประกอบ = เขียนพหุนามกลับเป็นผลคูณ (ตรงข้ามกับการกระจาย) — เป็นทักษะที่ใช้ต่อในการแก้สมการกำลังสองและทุกบทของ ม.3 ขึ้นไป

อ้างอิงโครงสร้างหลักสูตร: จำนวนและพีชคณิต · การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

🎯 จบบทนี้แล้วคุณจะทำสิ่งเหล่านี้ได้

✓แยกตัวประกอบร่วมออกจากพหุนามได้
✓แยกตัวประกอบพหุนามในรูป $x^{2} + b x + c$ และ $a x^{2} + b x + c$ ได้
✓ใช้รูปแบบผลต่างกำลังสองและกำลังสองสมบูรณ์ได้
✓เลือกวิธีแยกตัวประกอบที่เหมาะกับโจทย์แต่ละแบบ

📘 คำศัพท์สำคัญประจำบท

แยกตัวประกอบfactorization

เขียนนิพจน์ให้อยู่ในรูปผลคูณของนิพจน์ที่ง่ายกว่า

ตัวประกอบร่วมcommon factor

สิ่งที่ทุกพจน์มีร่วมกันและดึงออกมานอกวงเล็บได้

11.1 ดึงตัวประกอบร่วม (ทำก่อนเสมอ)

ดึงออกนอกวงเล็บ

ab + a c = a (b + c)

1หา ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ทุกพจน์
2หาตัวแปรที่ทุกพจน์มี โดยเอา เลขชี้กำลังน้อยที่สุด
3ดึงออกมานอกวงเล็บ แล้วเขียนสิ่งที่เหลือไว้ในวงเล็บ
4ตรวจโดยกระจายกลับ ต้องได้ของเดิม

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $6 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

ขั้นที่ 1ห.ร.ม. ของ $6, 9, 12$ คือ $3$
ขั้นที่ 2ตัวแปรร่วม: ทุกพจน์มี $x$ อย่างน้อย $1$ ตัว → ดึง $x$
ขั้นที่ 3ดึง $3 x$ ออก: $3 x (2 x^{2} - 3 x + 4)$

ตอบ $3 x (2 x^{2} - 3 x + 4)$

💡 ดึงตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ ทำให้ตัวเลขในวงเล็บเล็กลง ขั้นต่อไปง่ายขึ้นมาก

11.2 แยก $x^{2}+bx+c$

🔑หัวใจ: หาสองจำนวนที่ คูณได้ $c$ และ บวกได้ $b$

ถ้าหาได้เป็น $m$ กับ $n$ แล้ว $x^{2} + b x + c = (x + m) (x + n)$

$c$	$b$	เครื่องหมายในวงเล็บ
บวก	บวก	บวกทั้งคู่ $(x + m) (x + n)$
บวก	ลบ	ลบทั้งคู่ $(x - m) (x - n)$
ลบ	—	ตัวหนึ่งบวก ตัวหนึ่งลบ

ดูเครื่องหมายเป็นตัวช่วยตัดตัวเลือก

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{2} + 7 x + 12$

ขั้นที่ 1หาสองจำนวนที่คูณได้ $12$ และบวกได้ $7$
ขั้นที่ 2คู่ที่คูณได้ $12$ : $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$
ขั้นที่ 3 $3 + 4 = 7$ ✓

ตอบ $(x + 3) (x + 4)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{2} - 2 x - 15$

ขั้นที่ 1 $c = - 15$ เป็นลบ → เครื่องหมายในวงเล็บต่างกัน
ขั้นที่ 2คูณได้ $- 15$ และบวกได้ $- 2$
ขั้นที่ 3 $3 \times (- 5) = - 15$ และ $3 + (- 5) = - 2$ ✓

ตอบ $(x + 3) (x - 5)$

11.3 แยก $ax^{2}+bx+c$ (เมื่อ $a \neq 1$)

วิธีแยกกลางพจน์

1คำนวณ $a c$
2หาสองจำนวนที่ คูณได้ $a c$ และ บวกได้ $b$
3แยกพจน์กลางออกเป็นสองพจน์ตามจำนวนที่หาได้
4จับคู่แล้วดึงตัวประกอบร่วมของแต่ละคู่
5ดึงวงเล็บที่เหมือนกันออกมา

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $2 x^{2} + 7 x + 3$

ขั้นที่ 1 $a c = 2 \times 3 = 6$
ขั้นที่ 2หาสองจำนวนที่คูณได้ $6$ บวกได้ $7$ → $1$ กับ $6$
ขั้นที่ 3แยกพจน์กลาง: $2 x^{2} + x + 6 x + 3$
ขั้นที่ 4จับคู่: $(2 x^{2} + x) + (6 x + 3)$
ขั้นที่ 5ดึงร่วม: $x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1)$
ขั้นที่ 6ดึง $(2 x + 1)$ ออก: $(2 x + 1) (x + 3)$

ตอบ $(2 x + 1) (x + 3)$

💡เคล็ดลับ

ถ้าจับคู่แล้ววงเล็บทั้งสองไม่เหมือนกัน แปลว่าแยกพจน์กลางผิดคู่ — ลองสลับลำดับสองจำนวนดู มักจะใช้ได้ทันที

11.4 รูปแบบพิเศษ (มองออกแล้วทำได้ใน 5 วินาที)

ผลต่างกำลังสอง

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

กำลังสองสมบูรณ์

a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2} a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $9 x^{2} - 25$

ขั้นที่ 1 $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ และ $25 = 5^{2}$ → เป็นผลต่างกำลังสอง
ขั้นที่ 2 $= (3 x + 5) (3 x - 5)$

ตอบ $(3 x + 5) (3 x - 5)$

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบ: $x^{2} + 10 x + 25$

ขั้นที่ 1เช็คว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์ไหม: $25 = 5^{2}$ และ $2 (x) (5) = 10 x$ ตรงกับพจน์กลาง ✓
ขั้นที่ 2 $= (x + 5)^{2}$

ตอบ $(x + 5)^{2}$

⚠️ผลบวกกำลังสองแยกไม่ได้

$a^{2} + b^{2}$ แยกตัวประกอบไม่ได้ ในระบบจำนวนจริง — เช่น $x^{2} + 9$ ทำอะไรต่อไม่ได้ อย่าเผลอเขียนเป็น $(x + 3) (x - 3)$ ซึ่งเป็นของ $x^{2} - 9$

11.5 เลือกวิธีให้ถูก + การนำไปใช้

ลำดับที่ควรลอง

1ดึง ตัวประกอบร่วม ออกก่อนเสมอ
2นับจำนวนพจน์ — สองพจน์ ลองผลต่างกำลังสอง · สามพจน์ ลองกำลังสองสมบูรณ์ก่อน แล้วค่อยหาคู่คูณ-บวก
3ถ้า $a \neq = 1$ ใช้วิธีแยกกลางพจน์
4ตรวจคำตอบด้วยการกระจายกลับเสมอ

✏️ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์: $3 x^{3} - 27 x$

ขั้นที่ 1ดึงตัวประกอบร่วม $3 x$ : $3 x (x^{2} - 9)$
ขั้นที่ 2ในวงเล็บเป็นผลต่างกำลังสอง: $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$
ขั้นที่ 3รวม: $3 x (x + 3) (x - 3)$

ตอบ $3 x (x + 3) (x - 3)$

💡 ถ้าดึง $3 x$ ไม่ออกก่อน จะมองไม่เห็นผลต่างกำลังสองเลย — นี่คือเหตุผลว่าทำไมต้องดึงร่วมก่อน

✏️ตัวอย่าง

ใช้การแยกตัวประกอบแก้สมการ $x^{2} - 5 x + 6 = 0$

ขั้นที่ 1แยกตัวประกอบ: หาสองจำนวนคูณได้ $6$ บวกได้ $- 5$ → $- 2$ กับ $- 3$
ขั้นที่ 2 $(x - 2) (x - 3) = 0$
ขั้นที่ 3ผลคูณเป็นศูนย์ → ตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นศูนย์
ขั้นที่ 4 $x - 2 = 0$ หรือ $x - 3 = 0$

ตอบ $x = 2$ หรือ $x = 3$

💡 นี่คือเหตุผลว่าทำไมบทนี้สำคัญ — เป็นเครื่องมือหลักในการแก้สมการกำลังสองที่จะเจอเต็มๆ ใน ม.3

📋 สรุปสูตรท้ายบท

หน้านี้พิมพ์แยกไปติดโต๊ะอ่านหนังสือได้

ตัวประกอบร่วม

$ab + a c = a (b + c)$

สามพจน์ $a=1$

$x^{2} + (m + n) x + mn = (x + m) (x + n)$

ผลต่างกำลังสอง

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

กำลังสองสมบูรณ์

$a^{2} \pm 2 ab + b^{2} = (a \pm b)^{2}$

ผลบวกกำลังสอง

$a^{2} + b^{2} แยกไม่ได้$

🚫 ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

รู้ไว้ก่อนพลาด — ข้อสอบชอบวางกับดักตรงนี้

✗ลืมดึงตัวประกอบร่วมก่อน ทำให้แยกต่อไม่ออก
✗แยก $a^{2} + b^{2}$ เป็น $(a + b) (a - b)$
✗หาคู่ที่คูณได้ $c$ แต่ลืมเช็คว่าบวกได้ $b$ ด้วย
✗แยกแล้วไม่ตรวจด้วยการกระจายกลับ
✗แยกไม่สุด เช่น ตอบ $2 (x^{2} - 4)$ แทนที่จะเป็น $2 (x + 2) (x - 2)$

✅ เช็กตัวเองก่อนไปบทต่อไป

ข้อ 1แยกตัวประกอบ

x^{2} + 9 x + 20

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(x + 4) (x + 5)$

ข้อ 2แยกตัวประกอบ

x^{2} - 49

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(x + 7) (x - 7)$

ข้อ 3แยกตัวประกอบ

3 x^{2} + 11 x + 6

(กดดูเฉลย)

ตอบ $(3 x + 2) (x + 3)$

ข้อ 4แยกตัวประกอบให้สมบูรณ์

2 x^{2} - 18

(กดดูเฉลย)

ตอบ $2 (x + 3) (x - 3)$

ข้อ 5แก้สมการ

x^{2} + x - 12 = 0

(กดดูเฉลย)

ตอบ $x = 3$ หรือ $x = - 4$

อ่านจบแล้ว — ลองของจริงเลย

โจทย์สร้างใหม่ทุกครั้ง ไม่ซ้ำ พร้อมเฉลยที่สอนวิธีคิด

ฝึกโจทย์ การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง →

เนื้อหา ตาราง และตัวอย่างทั้งหมดเรียบเรียงขึ้นใหม่โดยสนามสอบ อ้างอิงเพียงโครงสร้างหลักสูตรแกนกลาง (ข้อมูลสาธารณะ)— ไม่คัดลอกจากหนังสือเรียน หนังสือติว หรือเว็บติวของผู้ใด