สรุปคณิตศาสตร์ ม.2

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $6$ และ $8$ หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าใด

1. ขั้นที่ 1$c^2=6^2+8^2$
2. ขั้นที่ 2$c^2=36+64=100$
3. ขั้นที่ 3$c=\sqrt{100}=10$

ตอบ  $10$ หน่วย

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $13$ และด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาว $5$ อีกด้านยาวเท่าใด

1. ขั้นที่ 1โจทย์ให้ด้านยาวมาแล้ว → ต้อง ลบ
2. ขั้นที่ 2$a^2=13^2-5^2$
3. ขั้นที่ 3$a^2=169-25=144$
4. ขั้นที่ 4$a=\sqrt{144}=12$

ตอบ  $12$ หน่วย

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ และ $5$ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่าใด (ตอบเป็นค่าที่แน่นอน)

1. ขั้นที่ 1$c^2=3^2+5^2=9+25=34$
2. ขั้นที่ 2$c=\sqrt{34}$ ซึ่งถอดรากไม่ลงตัว
3. ขั้นที่ 3ประมาณค่า: $5^2=25$ และ $6^2=36$ ดังนั้น $5<\sqrt{34}<6$ (ราว $5.83$)

ตอบ  $\sqrt{34}$ หน่วย (ประมาณ $5.83$)

💡 ถ้าโจทย์ไม่ได้บอกให้ประมาณ ให้ตอบเป็นรูปติดรากไปเลย — ตรงกว่าและไม่เสียความแม่นยำ

สามเหลี่ยมมีด้านยาว $9,12,15$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

1. ขั้นที่ 1ด้านยาวที่สุดคือ $15$ → ให้ $c=15$
2. ขั้นที่ 2$9^2+12^2=81+144=225$
3. ขั้นที่ 3$15^2=225$
4. ขั้นที่ 4เท่ากันพอดี

ตอบ  เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

บันไดยาว $13$ เมตร พาดกำแพง โดยปลายล่างห่างจากกำแพง $5$ เมตร ปลายบนของบันไดสูงจากพื้นเท่าใด

1. ขั้นที่ 1บันไดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ($13$) · ระยะห่างจากกำแพงคือด้านประกอบ ($5$)
2. ขั้นที่ 2$h^2=13^2-5^2=169-25=144$
3. ขั้นที่ 3$h=12$

ตอบ  สูง $12$ เมตร

สนามสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง $30$ เมตร ยาว $40$ เมตร เดินตัดตามแนวทแยงจะสั้นกว่าเดินตามขอบสองด้านกี่เมตร

1. ขั้นที่ 1แนวทแยง: $d^2=30^2+40^2=900+1600=2500$ → $d=50$ เมตร
2. ขั้นที่ 2เดินตามขอบสองด้าน: $30+40=70$ เมตร
3. ขั้นที่ 3ต่างกัน: $70-50=20$

ตอบ  สั้นกว่า $20$ เมตร

จุด $A(1,2)$ และ $B(5,5)$ อยู่ห่างกันเท่าใด

1. ขั้นที่ 1สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก: ด้านนอนยาว $5-1=4$ · ด้านตั้งยาว $5-2=3$
2. ขั้นที่ 2$A{B}^2=4^2+3^2=25$
3. ขั้นที่ 3$AB=5$

ตอบ  $5$ หน่วย

💡 นี่คือที่มาของสูตรระยะห่างระหว่างจุดที่จะเจอใน ม.4 — มันคือพีทาโกรัสนั่นเอง

ประมาณค่า $\sqrt{50}$

1. ขั้นที่ 1$49<50<64$
2. ขั้นที่ 2$\sqrt{49}=7$ และ $\sqrt{64}=8$ ดังนั้น $7<\sqrt{50}<8$
3. ขั้นที่ 3$50$ ใกล้ $49$ มาก → คำตอบใกล้ $7$
4. ขั้นที่ 4ลอง $7.1^2=50.41$ ซึ่งเกินไปนิด → คำตอบอยู่ราว $7.07$

ตอบ  ประมาณ $7.07$

ลูกบาศก์มีปริมาตร $343$ ลูกบาศก์เซนติเมตร ด้านยาวเท่าใด

1. ขั้นที่ 1$a^3=343$
2. ขั้นที่ 2$a=\sqrt[3]{343}=7$

ตอบ  $7$ เซนติเมตร

ทำ $\sqrt{72}$ ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1. ขั้นที่ 1$72=36\times 2$ โดย $36$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ตัวใหญ่ที่สุดที่หารลงตัว
2. ขั้นที่ 2$\sqrt{72}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}$
3. ขั้นที่ 3$=6\sqrt{2}$

ตอบ  $6\sqrt{2}$

หาค่าของ $\sqrt{18}+\sqrt{50}$

1. ขั้นที่ 1$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$
2. ขั้นที่ 2$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$
3. ขั้นที่ 3ตอนนี้ “ตัวราก” เหมือนกันแล้ว จึงบวกสัมประสิทธิ์ได้: $3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}$

ตอบ  $8\sqrt{2}$

💡 คิดว่า $\sqrt{2}$ เป็นตัวแปร $x$ — $3x+5x=8x$ ทำแบบเดียวกันเป๊ะ

ปริซึมสามเหลี่ยมมีฐานเป็นสามเหลี่ยมที่มีฐานยาว $6$ ซม. สูง $4$ ซม. และปริซึมสูง $10$ ซม. ปริมาตรเท่าใด

1. ขั้นที่ 1พื้นที่ฐาน $=\frac{1}{2}\times 6\times 4=12$ ตร.ซม.
2. ขั้นที่ 2$V=12\times 10=120$

ตอบ  $120$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

💡 ระวังสับสน “สูงของสามเหลี่ยมฐาน” กับ “สูงของปริซึม” — เป็นคนละตัวกัน

กล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกว้าง $3$ ยาว $5$ สูง $4$ เซนติเมตร ต้องใช้กระดาษห่อกี่ตารางเซนติเมตร (ไม่คิดส่วนซ้อน)

1. ขั้นที่ 1พื้นที่ผิว $=2(lw+lh+wh)$
2. ขั้นที่ 2$=2(5\cdot 3+5\cdot 4+3\cdot 4)$
3. ขั้นที่ 3$=2(15+20+12)=2(47)$

ตอบ  $94$ ตารางเซนติเมตร

ถังน้ำทรงกระบอกรัศมี $7$ ซม. สูง $20$ ซม. จุน้ำได้กี่ลูกบาศก์เซนติเมตร (ใช้ $\pi =\frac{22}{7}$)

1. ขั้นที่ 1$V=\pi r^{2}h=\frac{22}{7}\times 7^2\times 20$
2. ขั้นที่ 2$=\frac{22}{7}\times 49\times 20$
3. ขั้นที่ 3$=22\times 7\times 20=3080$

ตอบ  $3,080$ ลูกบาศก์เซนติเมตร

กระป๋องทรงกระบอกเส้นผ่านศูนย์กลาง $10$ ซม. สูง $15$ ซม. ต้องใช้ฉลากหุ้มรอบข้างกี่ตารางเซนติเมตร (ใช้ $\pi =3.14$)

1. ขั้นที่ 1รัศมี $=10÷2=5$ ซม.
2. ขั้นที่ 2ฉลากหุ้มรอบข้าง = ผิวข้างเท่านั้น $=2\pi rh$
3. ขั้นที่ 3$=2\times 3.14\times 5\times 15=471$

ตอบ  $471$ ตารางเซนติเมตร

💡 อ่านโจทย์ให้ดีว่าต้องการ ผิวข้างอย่างเดียว หรือ ผิวทั้งหมด — ฉลากหุ้มกระป๋องไม่ได้ปิดฝา

ตู้ปลาทรงสี่เหลี่ยมกว้าง $50$ ซม. ยาว $80$ ซม. สูง $40$ ซม. ใส่น้ำเต็มได้กี่ลิตร

1. ขั้นที่ 1$V=50\times 80\times 40=160,000$ ลูกบาศก์เซนติเมตร
2. ขั้นที่ 2$1$ ลิตร $=1,000$ ลบ.ซม.
3. ขั้นที่ 3$160,000÷1,000=160$

ตอบ  $160$ ลิตร

เลื่อน $△ABC$ ที่มี $A(1,2),B(4,2),C(1,5)$ ไปทางขวา $3$ และลง $2$ หน่วย

1. ขั้นที่ 1ขวา $3$ → บวก $x$ ด้วย $3$ · ลง $2$ → ลบ $y$ ด้วย $2$
2. ขั้นที่ 2$A(1,2)\to A^{\prime }(4,0)$
3. ขั้นที่ 3$B(4,2)\to B^{\prime }(7,0)$
4. ขั้นที่ 4$C(1,5)\to C^{\prime }(4,3)$

ตอบ  $A^{\prime }(4,0),B^{\prime }(7,0),C^{\prime }(4,3)$

สะท้อนจุด $P(3,-5)$ ข้ามแกน $Y$

1. ขั้นที่ 1สะท้อนข้ามแกน $Y$ → กลับเครื่องหมายของ $x$
2. ขั้นที่ 2$P(3,-5)\to P^{\prime }(-3,-5)$

ตอบ  $P^{\prime }(-3,-5)$

หมุนจุด $A(2,3)$ รอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^{\circ }$

1. ขั้นที่ 1ใช้กฎ $(x,y)\to (-y,x)$
2. ขั้นที่ 2$A(2,3)\to A^{\prime }(-3,2)$

ตอบ  $A^{\prime }(-3,2)$

💡 ตรวจง่ายๆ: ระยะจากจุดกำเนิดต้องเท่าเดิม — $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ และ $\sqrt{(-3{)}^2+2^2}=\sqrt{13}$ ✓

รูปสามเหลี่ยมหนึ่งมีจุดยอด $(1,1),(4,1),(1,3)$ ถ้าสะท้อนข้ามแกน $X$ แล้วเลื่อนขึ้น $5$ หน่วย จุดยอดใหม่คือ

1. ขั้นที่ 1สะท้อนข้ามแกน $X$: $(x,y)\to (x,-y)$ → $(1,-1),(4,-1),(1,-3)$
2. ขั้นที่ 2เลื่อนขึ้น $5$: บวก $y$ ด้วย $5$ → $(1,4),(4,4),(1,2)$

ตอบ  $(1,4),(4,4),(1,2)$

💡 ทำทีละขั้นตามลำดับที่โจทย์บอก — สลับลำดับแล้วคำตอบมักไม่เหมือนกัน

ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: $\frac{(2x^3{)}^2}{4x^{-1}}$

1. ขั้นที่ 1กระจายกำลังบนตัวเศษ: $(2x^3{)}^2=4x^6$
2. ขั้นที่ 2$\frac{4x^6}{4x^{-1}}$
3. ขั้นที่ 3ตัดเลข $4$: เหลือ $\frac{x^6}{x^{-1}}$
4. ขั้นที่ 4หารฐานเดียวกัน: $x^{6-(-1)}=x^7$

ตอบ  $x^7$

หาค่าของ ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-2}$

1. ขั้นที่ 1กำลังลบของเศษส่วน = กลับเศษกับส่วน แล้วเปลี่ยนกำลังเป็นบวก
2. ขั้นที่ 2$={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{16}{9}$

ตอบ  $\frac{16}{9}$

หาค่าของ $(3\times 10^5)\times (2\times 10^{-8})$

1. ขั้นที่ 1คูณตัวหน้า: $3\times 2=6$
2. ขั้นที่ 2บวกเลขชี้กำลัง: $10^{5+(-8)}=10^{-3}$

ตอบ  $6\times 10^{-3}$

หาผลลบ: $(5x^2-3x+7)-(2x^2+4x-1)$

1. ขั้นที่ 1กระจายเครื่องหมายลบเข้าไปทุกพจน์ในวงเล็บหลัง
2. ขั้นที่ 2$=5x^2-3x+7-2x^2-4x+1$
3. ขั้นที่ 3รวมพจน์คล้าย: $(5-2)x^2+(-3-4)x+(7+1)$
4. ขั้นที่ 4$=3x^2-7x+8$

ตอบ  $3x^2-7x+8$

💡 เครื่องหมายลบหน้าวงเล็บคือจุดที่ผิดกันมากที่สุด — ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย ทุกพจน์ ไม่ใช่แค่พจน์แรก

หาผลคูณ: $3x(2x^2-4x+5)$

1. ขั้นที่ 1$3x\cdot 2x^2=6x^3$
2. ขั้นที่ 2$3x\cdot (-4x)=-12x^2$
3. ขั้นที่ 3$3x\cdot 5=15x$

ตอบ  $6x^3-12x^2+15x$

หาผลคูณ: $(x+3)(x-5)$

1. ขั้นที่ 1หน้า: $x\cdot x=x^2$
2. ขั้นที่ 2นอก: $x\cdot (-5)=-5x$
3. ขั้นที่ 3ใน: $3\cdot x=3x$
4. ขั้นที่ 4หลัง: $3\cdot (-5)=-15$
5. ขั้นที่ 5รวม: $x^2-5x+3x-15=x^2-2x-15$

ตอบ  $x^2-2x-15$

หาค่าของ $(2x+3{)}^2$

1. ขั้นที่ 1ใช้รูปแบบ $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ โดย $a=2x,b=3$
2. ขั้นที่ 2$=(2x{)}^2+2(2x)(3)+3^2$
3. ขั้นที่ 3$=4x^2+12x+9$

ตอบ  $4x^2+12x+9$

หาผลหาร: $(12x^4-8x^3+4x^2)÷4x^2$

1. ขั้นที่ 1$\frac{12x^4}{4x^2}=3x^2$
2. ขั้นที่ 2$\frac{-8x^3}{4x^2}=-2x$
3. ขั้นที่ 3$\frac{4x^2}{4x^2}=1$

ตอบ  $3x^2-2x+1$

💡 พจน์สุดท้ายหารกันลงตัวได้ $1$ ไม่ใช่ $0$ — เป็นจุดที่พลาดกันบ่อยมาก