ลิมิตและความต่อเนื่อง

พิจารณา $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ ที่ $x=1$

1. ขั้นที่ 1แทน $x=1$ ตรงๆ ได้ $\frac{0}{0}$ — ฟังก์ชันไม่นิยามที่จุดนี้
2. ขั้นที่ 2แต่ลองดูค่าใกล้ๆ: $x=0.9\to 1.9$ · $x=0.99\to 1.99$ · $x=1.01\to 2.01$
3. ขั้นที่ 3ค่าเข้าใกล้ $2$ จากทั้งสองข้าง

ตอบ  ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ แม้ $f(1)$ จะไม่มีค่า

หา ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$

1. ขั้นที่ 1แทนค่าได้ $\frac{0}{0}$ → ต้องจัดรูป
2. ขั้นที่ 2แยกตัวประกอบ: $\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}$
3. ขั้นที่ 3ตัด $(x-3)$ ได้ (เพราะ $x\ne 3$ แค่เข้าใกล้): เหลือ $x+3$
4. ขั้นที่ 4แทน $x=3$: $3+3$

ตอบ  $6$

💡 ตัด $(x-3)$ ได้เพราะลิมิตสนใจแค่ค่าที่ ใกล้ $3$ ไม่ใช่ที่ $3$ พอดี — ตรงนั้น $x-3\ne 0$

หา ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

1. ขั้นที่ 1แทนค่าได้ $\frac{0}{0}$
2. ขั้นที่ 2คูณสังยุค $(\sqrt{x+4}+2)$ ทั้งเศษและส่วน
3. ขั้นที่ 3ตัวเศษ: $(x+4)-4=x$
4. ขั้นที่ 4$\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$
5. ขั้นที่ 5แทน $x=0$: $\frac{1}{2+2}$

ตอบ  $\frac{1}{4}$

พิจารณา $f(x)=\frac{|x|}{x}$ ที่ $x\to 0$

1. ขั้นที่ 1$x>0$: $\frac{x}{x}=1$ → ลิมิตขวา $=1$
2. ขั้นที่ 2$x<0$: $\frac{-x}{x}=-1$ → ลิมิตซ้าย $=-1$
3. ขั้นที่ 3สองข้างไม่เท่ากัน

ตอบ  ลิมิตไม่มีค่า

ฟังก์ชัน $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x<2\\ 5-x& x\ge 2\end{array}$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ หรือไม่

1. ขั้นที่ 1$f(2)=5-2=3$ ✓ มีค่า
2. ขั้นที่ 2ลิมิตซ้าย: $2+1=3$
3. ขั้นที่ 3ลิมิตขวา: $5-2=3$
4. ขั้นที่ 4สองข้างเท่ากันและเท่ากับ $f(2)$

ตอบ  ต่อเนื่องที่ $x=2$