ปริพันธ์

หา $\int (6x^2-4x+3)dx$

1. ขั้นที่ 1$\int 6x^{2}dx=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3$
2. ขั้นที่ 2$\int (-4x)dx=-4\cdot \frac{x^2}{2}=-2x^2$
3. ขั้นที่ 3$\int 3dx=3x$
4. ขั้นที่ 4ใส่ $+C$

ตอบ  $2x^3-2x^2+3x+C$

💡 ตรวจ: อนุพันธ์ของ $2x^3-2x^2+3x+C$ คือ $6x^2-4x+3$ ✓ ตรงกับโจทย์

หา ${\int }_1^{3}2xdx$

1. ขั้นที่ 1ปฏิยานุพันธ์: $F(x)=x^2$
2. ขั้นที่ 2$F(3)-F(1)=9-1$

ตอบ  $8$

หาพื้นที่ใต้กราฟ $y=x^2$ ตั้งแต่ $x=0$ ถึง $x=3$

1. ขั้นที่ 1$A={\int }_0^3{x}^{2}dx$
2. ขั้นที่ 2ปฏิยานุพันธ์: $\frac{x^3}{3}$
3. ขั้นที่ 3$=\frac{27}{3}-\frac{0}{3}$

ตอบ  $9$ ตารางหน่วย

หาพื้นที่ระหว่าง $y=x$ กับ $y=x^2$ ในช่วง $x=0$ ถึง $x=1$

1. ขั้นที่ 1ในช่วงนี้ $x\ge x^2$ → เส้นบนคือ $y=x$
2. ขั้นที่ 2$A={\int }_0^1(x-x^2)dx$
3. ขั้นที่ 3$={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

ตอบ  $\frac{1}{6}$ ตารางหน่วย

💡 ต้องรู้ก่อนว่าเส้นไหนอยู่บน — ลองแทนค่าสักจุดในช่วงนั้นก็รู้แล้ว เช่นที่ $x=0.5$: $0.5>0.25$ ✓

วัตถุมีความเร็ว $v(t)=6t+2$ ม./วินาที และอยู่ที่ตำแหน่ง $s=5$ เมตร เมื่อ $t=0$ จงหา $s(t)$

1. ขั้นที่ 1$s(t)=\int (6t+2)dt=3t^2+2t+C$
2. ขั้นที่ 2ใช้เงื่อนไข $s(0)=5$: $3(0)+2(0)+C=5\Rightarrow C=5$

ตอบ  $s(t)=3t^2+2t+5$

💡 ตรงนี้เห็นประโยชน์ของ $+C$ ชัดมาก — มันคือ ตำแหน่งเริ่มต้น ที่โจทย์ให้มา ถ้าลืมใส่จะตอบผิด