สรุปคณิตศาสตร์ ม.6

นักเรียนได้คะแนน: สอบกลางภาค $70$ (น้ำหนัก $30\%$) · สอบปลายภาค $80$ (น้ำหนัก $50\%$) · งาน $90$ (น้ำหนัก $20\%$) คะแนนรวมเท่าใด

1. ขั้นที่ 1${\bar{x}}_w=\frac{70(30)+80(50)+90(20)}{100}$
2. ขั้นที่ 2$=\frac{2100+4000+1800}{100}=\frac{7900}{100}$

ตอบ  $79$ คะแนน

💡 อย่าเฉลี่ยธรรมดา $(70+80+90)/3=80$ — จะได้คำตอบผิด เพราะแต่ละส่วนมีน้ำหนักไม่เท่ากัน

ข้อมูล $12,15,18,20,22,25,28,30,35,40$ ($n=10$) จงหา $P_{30}$

1. ขั้นที่ 1ตำแหน่ง $=\frac{30(11)}{100}=3.3$
2. ขั้นที่ 2อยู่ระหว่างตัวที่ $3$ ($18$) กับตัวที่ $4$ ($20$)
3. ขั้นที่ 3เทียบส่วน: $18+0.3(20-18)=18+0.6$

ตอบ  $P_{30}=18.6$

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $2,4,4,4,5,5,7,9$

1. ขั้นที่ 1$\bar{x}=\frac{40}{8}=5$
2. ขั้นที่ 2ผลต่าง: $-3,-1,-1,-1,0,0,2,4$
3. ขั้นที่ 3ยกกำลังสอง: $9,1,1,1,0,0,4,16$ → รวม $=32$
4. ขั้นที่ 4${\sigma }^2=\frac{32}{8}=4$
5. ขั้นที่ 5$\sigma =\sqrt{4}=2$

ตอบ  $\sigma =2$

💡 ตรวจความสมเหตุสมผล: ข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ห่างค่าเฉลี่ยราว $1$–$3$ หน่วย ได้ $\sigma =2$ จึงสมเหตุสมผล · ถ้าได้ $20$ แปลว่าคำนวณผิดแน่

คณิต: ได้ $80$ · ค่าเฉลี่ยห้อง $70$ · $s=5$ | อังกฤษ: ได้ $70$ · ค่าเฉลี่ยห้อง $55$ · $s=10$ — วิชาไหนทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อน

1. ขั้นที่ 1คณิต: $z=\frac{80-70}{5}=2$
2. ขั้นที่ 2อังกฤษ: $z=\frac{70-55}{10}=1.5$
3. ขั้นที่ 3$2>1.5$

ตอบ  คณิตทำได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อนในห้อง

💡 แม้คะแนนดิบอังกฤษจะดูห่างค่าเฉลี่ยมากกว่า ($15$ vs $10$) แต่วิชาอังกฤษกระจายกว้างกว่า จึงไม่โดดเด่นเท่า

ทอดลูกเต๋า $1$ ลูก จงหาค่าคาดหมายของแต้ม

1. ขั้นที่ 1แต่ละแต้มมีโอกาส $\frac{1}{6}$ เท่ากัน
2. ขั้นที่ 2$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}$

ตอบ  $3.5$

เกมหนึ่งจ่าย $100$ บาทถ้าทอดลูกเต๋าได้ $6$ และเสีย $20$ บาทถ้าได้แต้มอื่น ควรเล่นไหม

1. ขั้นที่ 1$E(X)=100\left(\frac{1}{6}\right)+(-20)\left(\frac{5}{6}\right)$
2. ขั้นที่ 2$=\frac{100}{6}-\frac{100}{6}=0$

ตอบ  ค่าคาดหมาย $=0$ — เป็นเกมยุติธรรม เล่นนานๆ ไม่ได้ไม่เสีย

💡 ค่าคาดหมายเป็นเครื่องมือตัดสินใจ — เกมพนันจริงจะมีค่าคาดหมาย ติดลบ สำหรับผู้เล่นเสมอ นั่นคือเหตุผลที่บ่อนได้กำไร

ส่วนสูงนักเรียนแจกแจงปกติ ค่าเฉลี่ย $165$ ซม. $\sigma =5$ ซม. นักเรียนกี่เปอร์เซ็นต์สูงระหว่าง $155$–$175$ ซม.

1. ขั้นที่ 1$155=165-2(5)$ → $z=-2$
2. ขั้นที่ 2$175=165+2(5)$ → $z=+2$
3. ขั้นที่ 3ช่วง $\mu \pm 2\sigma$ ครอบคลุมประมาณ $95\%$

ตอบ  ประมาณ $95\%$

จากข้อบน นักเรียนกี่เปอร์เซ็นต์สูงเกิน $170$ ซม.

1. ขั้นที่ 1$170=165+1(5)$ → $z=1$
2. ขั้นที่ 2ช่วง $\mu \pm 1\sigma$ ครอบคลุม $68\%$ → เหลือนอกช่วง $32\%$
3. ขั้นที่ 3แบ่งสองข้างเท่ากัน (สมมาตร) → ข้างขวา $16\%$

ตอบ  ประมาณ $16\%$

💡 ใช้ความสมมาตรช่วยเสมอ — พื้นที่ซ้ายกับขวาของค่าเฉลี่ยเท่ากันคือ $50\%$ พอดี

หา ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3n+1}{2n-5}$

1. ขั้นที่ 1หารทุกพจน์ด้วย $n$: $\frac{3+\frac{1}{n}}{2-\frac{5}{n}}$
2. ขั้นที่ 2เมื่อ $n\to \infty$: $\frac{1}{n}\to 0$ และ $\frac{5}{n}\to 0$
3. ขั้นที่ 3$\to \frac{3+0}{2-0}$

ตอบ  $\frac{3}{2}$

💡 ทางลัด: ถ้าดีกรีบนเท่าล่าง ลิมิตคือ อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ — บนน้อยกว่าล่างได้ $0$ · บนมากกว่าล่างลู่ออก

หาผลบวกของ $\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$

1. ขั้นที่ 1$a_1=\frac{1}{3}$ · $r=\frac{1}{3}$ ซึ่ง $|r|<1$ ✓
2. ขั้นที่ 2$S_{\infty }=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}$

ตอบ  $\frac{1}{2}$

เขียน $0.\overline{7}$ (คือ $0.777\dots$) เป็นเศษส่วน

1. ขั้นที่ 1$0.777\cdots =\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots$
2. ขั้นที่ 2เป็นอนุกรมเรขาคณิต $a_1=\frac{7}{10}$ · $r=\frac{1}{10}$
3. ขั้นที่ 3$S_{\infty }=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}$

ตอบ  $\frac{7}{9}$

แสดงว่า $0.\overline{9}=1$

1. ขั้นที่ 1$0.999\cdots =\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots$
2. ขั้นที่ 2$a_1=\frac{9}{10}$ · $r=\frac{1}{10}$
3. ขั้นที่ 3$S_{\infty }=\frac{\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}=1$

ตอบ  $0.\overline{9}=1$ จริง ไม่ใช่ประมาณ

💡 ผลลัพธ์นี้ทำให้หลายคนงง — แต่มันคือ จำนวนเดียวกันเขียนสองแบบ เหมือน $\frac{1}{2}$ กับ $\frac{2}{4}$ ไม่ใช่ตัวเลขที่ “เกือบ” เท่ากัน

พิจารณา $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ ที่ $x=1$

1. ขั้นที่ 1แทน $x=1$ ตรงๆ ได้ $\frac{0}{0}$ — ฟังก์ชันไม่นิยามที่จุดนี้
2. ขั้นที่ 2แต่ลองดูค่าใกล้ๆ: $x=0.9\to 1.9$ · $x=0.99\to 1.99$ · $x=1.01\to 2.01$
3. ขั้นที่ 3ค่าเข้าใกล้ $2$ จากทั้งสองข้าง

ตอบ  ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$ แม้ $f(1)$ จะไม่มีค่า

หา ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}$

1. ขั้นที่ 1แทนค่าได้ $\frac{0}{0}$ → ต้องจัดรูป
2. ขั้นที่ 2แยกตัวประกอบ: $\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}$
3. ขั้นที่ 3ตัด $(x-3)$ ได้ (เพราะ $x\ne 3$ แค่เข้าใกล้): เหลือ $x+3$
4. ขั้นที่ 4แทน $x=3$: $3+3$

ตอบ  $6$

💡 ตัด $(x-3)$ ได้เพราะลิมิตสนใจแค่ค่าที่ ใกล้ $3$ ไม่ใช่ที่ $3$ พอดี — ตรงนั้น $x-3\ne 0$

หา ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

1. ขั้นที่ 1แทนค่าได้ $\frac{0}{0}$
2. ขั้นที่ 2คูณสังยุค $(\sqrt{x+4}+2)$ ทั้งเศษและส่วน
3. ขั้นที่ 3ตัวเศษ: $(x+4)-4=x$
4. ขั้นที่ 4$\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$
5. ขั้นที่ 5แทน $x=0$: $\frac{1}{2+2}$

ตอบ  $\frac{1}{4}$

พิจารณา $f(x)=\frac{|x|}{x}$ ที่ $x\to 0$

1. ขั้นที่ 1$x>0$: $\frac{x}{x}=1$ → ลิมิตขวา $=1$
2. ขั้นที่ 2$x<0$: $\frac{-x}{x}=-1$ → ลิมิตซ้าย $=-1$
3. ขั้นที่ 3สองข้างไม่เท่ากัน

ตอบ  ลิมิตไม่มีค่า

ฟังก์ชัน $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& x<2\\ 5-x& x\ge 2\end{array}$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ หรือไม่

1. ขั้นที่ 1$f(2)=5-2=3$ ✓ มีค่า
2. ขั้นที่ 2ลิมิตซ้าย: $2+1=3$
3. ขั้นที่ 3ลิมิตขวา: $5-2=3$
4. ขั้นที่ 4สองข้างเท่ากันและเท่ากับ $f(2)$

ตอบ  ต่อเนื่องที่ $x=2$

หา $f^{\prime }(x)$ เมื่อ $f(x)=3x^4-5x^2+7x-2$

1. ขั้นที่ 1$\frac{d}{dx}3x^4=12x^3$
2. ขั้นที่ 2$\frac{d}{dx}(-5x^2)=-10x$
3. ขั้นที่ 3$\frac{d}{dx}7x=7$
4. ขั้นที่ 4$\frac{d}{dx}(-2)=0$

ตอบ  $f^{\prime }(x)=12x^3-10x+7$

หาอนุพันธ์ของ $y=(2x+1{)}^5$

1. ขั้นที่ 1ใช้กฎลูกโซ่ — ข้างนอกคือยกกำลัง $5$ ข้างในคือ $2x+1$
2. ขั้นที่ 2อนุพันธ์ข้างนอก: $5(2x+1{)}^4$
3. ขั้นที่ 3คูณด้วยอนุพันธ์ข้างใน: $\times 2$

ตอบ  $10(2x+1{)}^4$

💡 กฎลูกโซ่ = “ข้างนอกก่อน แล้วคูณอนุพันธ์ข้างใน” — ลืมคูณตัวข้างในคือความผิดพลาดอันดับหนึ่งของบทนี้

หาสมการเส้นสัมผัสของ $y=x^2$ ที่จุด $x=3$

1. ขั้นที่ 1$y^{\prime }=2x$ → $m=2(3)=6$
2. ขั้นที่ 2จุดสัมผัส: $(3,9)$
3. ขั้นที่ 3$y-9=6(x-3)$
4. ขั้นที่ 4$y=6x-9$

ตอบ  $y=6x-9$

หาค่าต่ำสุดของ $f(x)=x^2-6x+11$

1. ขั้นที่ 1$f^{\prime }(x)=2x-6$
2. ขั้นที่ 2$2x-6=0\Rightarrow x=3$
3. ขั้นที่ 3$f^{\prime \prime }(x)=2>0$ → เป็นจุดต่ำสุด
4. ขั้นที่ 4$f(3)=9-18+11=2$

ตอบ  ค่าต่ำสุดคือ $2$ ที่ $x=3$

💡 ข้อนี้ทำด้วยจุดยอดพาราโบลา (ม.3) ก็ได้คำตอบเดียวกัน — แต่แคลคูลัสใช้ได้กับฟังก์ชันทุกแบบ ไม่ใช่แค่พาราโบลา

มีลวดยาว $40$ ซม. ดัดเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้พื้นที่มากที่สุดเท่าใด (ใช้อนุพันธ์)

1. ขั้นที่ 1ให้กว้าง $x$ → ยาว $20-x$ → $A(x)=x(20-x)=20x-x^2$
2. ขั้นที่ 2$A^{\prime }(x)=20-2x$
3. ขั้นที่ 3$20-2x=0\Rightarrow x=10$
4. ขั้นที่ 4$A^{\prime \prime }=-2<0$ → เป็นค่าสูงสุด
5. ขั้นที่ 5$A(10)=100$

ตอบ  พื้นที่มากที่สุด $100$ ตร.ซม. (รูปจัตุรัส)

วัตถุเคลื่อนที่ตาม $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (เมตร) จงหาความเร็วที่ $t=2$ และเวลาที่วัตถุหยุดนิ่ง

1. ขั้นที่ 1$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$
2. ขั้นที่ 2$v(2)=12-24+9=-3$ ม./วินาที (ติดลบ = เคลื่อนที่ถอยหลัง)
3. ขั้นที่ 3หยุดนิ่งเมื่อ $v=0$: $3t^2-12t+9=0$
4. ขั้นที่ 4$t^2-4t+3=0\Rightarrow (t-1)(t-3)=0$

ตอบ  $v(2)=-3$ ม./วินาที · หยุดนิ่งที่ $t=1$ และ $t=3$ วินาที

หา $\int (6x^2-4x+3)dx$

1. ขั้นที่ 1$\int 6x^{2}dx=6\cdot \frac{x^3}{3}=2x^3$
2. ขั้นที่ 2$\int (-4x)dx=-4\cdot \frac{x^2}{2}=-2x^2$
3. ขั้นที่ 3$\int 3dx=3x$
4. ขั้นที่ 4ใส่ $+C$

ตอบ  $2x^3-2x^2+3x+C$

💡 ตรวจ: อนุพันธ์ของ $2x^3-2x^2+3x+C$ คือ $6x^2-4x+3$ ✓ ตรงกับโจทย์

หา ${\int }_1^{3}2xdx$

1. ขั้นที่ 1ปฏิยานุพันธ์: $F(x)=x^2$
2. ขั้นที่ 2$F(3)-F(1)=9-1$

ตอบ  $8$

หาพื้นที่ใต้กราฟ $y=x^2$ ตั้งแต่ $x=0$ ถึง $x=3$

1. ขั้นที่ 1$A={\int }_0^3{x}^{2}dx$
2. ขั้นที่ 2ปฏิยานุพันธ์: $\frac{x^3}{3}$
3. ขั้นที่ 3$=\frac{27}{3}-\frac{0}{3}$

ตอบ  $9$ ตารางหน่วย

หาพื้นที่ระหว่าง $y=x$ กับ $y=x^2$ ในช่วง $x=0$ ถึง $x=1$

1. ขั้นที่ 1ในช่วงนี้ $x\ge x^2$ → เส้นบนคือ $y=x$
2. ขั้นที่ 2$A={\int }_0^1(x-x^2)dx$
3. ขั้นที่ 3$={\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

ตอบ  $\frac{1}{6}$ ตารางหน่วย

💡 ต้องรู้ก่อนว่าเส้นไหนอยู่บน — ลองแทนค่าสักจุดในช่วงนั้นก็รู้แล้ว เช่นที่ $x=0.5$: $0.5>0.25$ ✓

วัตถุมีความเร็ว $v(t)=6t+2$ ม./วินาที และอยู่ที่ตำแหน่ง $s=5$ เมตร เมื่อ $t=0$ จงหา $s(t)$

1. ขั้นที่ 1$s(t)=\int (6t+2)dt=3t^2+2t+C$
2. ขั้นที่ 2ใช้เงื่อนไข $s(0)=5$: $3(0)+2(0)+C=5\Rightarrow C=5$

ตอบ  $s(t)=3t^2+2t+5$

💡 ตรงนี้เห็นประโยชน์ของ $+C$ ชัดมาก — มันคือ ตำแหน่งเริ่มต้น ที่โจทย์ให้มา ถ้าลืมใส่จะตอบผิด